第二章1信号与系统-课后答案

1、第二章2.1已知描述系统的微分方程和初始状态如下，试求其零输入相应(1) y'(t)+5y'(t)+6y(t)=f(t), y(0.)=l, y'(0.)=-l解：微分方程对应的特征方程为入2+5入+6=0其特征根为入1=-2,入2=-3,系统的零输入 响应可写为yzi(t)=Cie-2t+C2e-3t又(O-)=y(0-)=1,，:(")=；(。)=-1则有1="C Cr,-1=-2 -3由以上两式联立，解得'' '1 =2匚=-1即系统的零输入响应为(t)=2-：,t-°(2广微分方程的特征方程为尸- 2/ S计

2、其特征根 八=一 1 ±八系统的零输入响应可写为%(£) = Cre + C2e zsin(2f)又"''：1：) ：'(。)=(。)=2，则有/(。.)=% + 2Q=-2以上两式联立，解得6 -("因此系统的零输入响应为y<t)= 2e - %us(2t), £之0(3)'：.门-1(3)微分方程对应的特征方程为A2 + 24 + 1 = 0其特征根为，12=-1 ,系统的零输入响应可写为%（£） = '又为（。一 尸次-）=1，（°-）=y（°-）j 则有%（。-

3、）=% = 1 ,%（O_）=.g + g=i以上两式联立，解得% = 1, C2 = 2因此系统的零输入响应为匕二（1 + 20t>0,微分方程对应的特征方程为A2 +1 = 0其特征根为“墟二士工系统的零输入响应可写为yzf（t） = G cost + C2sint又力（0 一尸次一户 2, %（0 一）=y（o _） = o,则有）=（°）= =0因此系统的零输入响应为yzi（t） = 2costtt > 0）”川；L/（0.）=-1微分方程对应的特征方程为A3 + 4A2 + 52 + 2 = 0其特征根为乙工=-1，4 =-2,系统的零输入响应可写为：+又r。尸

4、以n 1(,-,-.=>)=vi：d i一。； i则有尸一；(。)="y：(o_) =_ 2g + q + 4c3 =- i以上三式联立，解得% = 2, g =- 1 Q = 1因此系统的零输入响应为2.2已知描述系统的微分方程和初始态度如下，试求其 °+值y(°+) 和近。+)输入“亡)=£(£)，则方程右端不含冲激函数项，则f(t)及其导数在t=0 处均不发生跃变，即>(。+ ) =y(o_) = L 4。十)=y(o.) = 1一f = 5(t)将f(t)二aD代入微分方程，有y)+ 6y© + 8ya)=

5、3;.d由于方程右端含有£'项，则/中含有,，设炉=aS+ b8+ q其中Q ©不含灰t)及其导数项。对式两边从-8到t积分，得y(t) = G6；t)+b <5+七(£)其中 丁2«)= C£«)+T J)(t),而"J)(t)= -8 (T)幅故不含 火。及其导数项。同理，对式两边从-8到t积分，得加“F其中飞(t)= b E+( /不JW)及其导数项将(4式代入。)式，整理得a。1 "山 "：(t)+(8a+6b+c)$ +r1(t) + 6r2(t) + 8r3(t) = 3 (t)

6、比较上式两端火D及其 各阶导数前的系数，有a=16a+b=08a+6b+c=0以上三式联立，解得a=1,b=-6,c=28对两式两端从。-到。+积分，得y(O + )-/(O,) = c=28=b6则有yr(0 + ) = y(0_) + 28= 29y(° + ) = y(0_) -6=-5-2(3)/("*) + 3y=十 f(£) ,y(0_) = 2,y (。.)二= 5(0将/=5 代入微分方程，有FFVi Py (t) + 4y (t) + 3y(t) = 6 (t) + 6(f)由于方程右端含有 "D项,则V,。）中含有£），设&

7、quot;（t）+c ）口 +口其中q ©不含文。及其导数项。对式两端从-8到t积分，得"I M（t）+b*）JW其中/） = ce+ £,）,不含6（。及其导数项。对式两端从-8到t积分，得y（t） =。5（0 + 7 3其中7©=b £（t）+丁（二产住）,不含5（t）及其导数项。将式代入。）中，整理得：一| 二",8''（t）+（3a+4b+c）3'口 + 1H：+ 力 1：）+ * "）J+6比较上式两端火士）及其导数前的系数，有a=1 4a+b=0 3a+4b+c=1以上三式联立，解得a=1

8、,b=-4,c=14对两断从。-到。+积分，得y0 + )-y(0_) = c= 14y(0 + ) -= b =- 4则有火。+)= y(0_)-4=-2"以。；I。)=2, f(t)= L ""由 f(t)= e-2%a)求得f (t) =- Ze - 2t<£) -F e- 2t 5(t) =- 2e-2t + 5(t)将上式代入微分方程，得y CO + 4y'(t) + 5y(t) =- 2e'2t + 5(0由于方程右端含火土)项，则V”。)中含火D,设/«)=说 6(£) + 一(七) 其中q

9、69;不含及其导数项。对式两端从-8到t积分，得m；，)=H)-其中2©=a£(t) + r( (t)(t),不含穴D及其导数项 将与上式代入 式，整理得a；h)J 山+4，.：山+5%)=-2一 比较上式两端灰D前系数，知a=1对式两端从。-到° +积分，得：a=1y(O + )-y(O_) = O因此，C，门。.I2.3OR如图所示RC电路中，已知R=1。，+C=0.5F,电容的初始状态”(。+)=%()-1V,试求激励电压源"式')为下列函数时1 - 电容电压的全响应"(t)(1)("=i口 (2)解：根据电路列出微分方

10、程，有duc(t)%(t)十 RCf二 4«)Uv L代入元件参数值，整理得u；(t) + 2/=2us(t)当/=时，系统的微分方程为uc(t) + 2HM = 2e(t)由于方程右端不含冲激项，故%(。十)二%(。.)二1 微分方程的齐次解为%(。= ge - 2t易求其特解为%（£） = 1/ > 0故微分方程的完全解为%（£）=+ 说= Cre2t + lf t>0代入初始值故C1 =-2因此，电路在艮式“=&t）的激励作用下的全响应为uc（t） =-2e-2£+lt t>0（2）当%©=十时系统的微分方程为%

11、（t） + 2uc（t） = 2e t£（t）由于方程右端不含冲激项，故%（0 十）二%（。.）=-1微分方程的齐次解为“入住）=%e 2£易求其特解为U卬= 22”，t > 0故微分方程的完全解为%= uc/iCO + 卬=Me _ 2t + 2e ", £ 工 0代入初始值“（°十）=T,有C1 + 2=-1,艮|1匚1=-3因此电路在%©二丁,式。时全响应为uc(t) =- 3e2t + 2e t > 0(3)当=时，系统的微分方程为u'(0 + 24 = 2e - %由于方程右端不含冲激项，故%(0 十)=

12、"(0.)=-1微分方程的齐次解为”&) = C产易求其特解为%(£) = 2te2t, t>0故微分方程的完全解为%«)= 4/) + &p(£) = q-2t+ 2te-2tft>0代入初始值/(°十)二一1,有%(0 + ) = C1 = 1因此电路在%©二限2%时全响应为uc(t) =-e-2t + 2te-2tf t>0(4)当与=匕时，系统的微分方程为ue(t) + 2ue(t) = 2 生由于方程右端不含冲激项，故%(° + )=4°.)=一1微分方程的齐次解为=2t易求其特解为ucp(t) = t - 0.5, t > 0故微分方程的完全解为uc(t) = uch(t) + %© = Ge-" + t L 0.5, t 之 0代入初始值(°十)二一1,有+ ) = ci - 0.5 =- 1,即=L 0.5因此电路在虱® =匕«)时全响应为1/匚(&#