矩阵特征值（课堂PPT）

1、.1矩阵的特征值及特征向量一、特征值与特征向量的概念二、特征值与特征向量的性质三、特征值与特征向量的求法.2说明说明., 0. 1言言的的特特征征值值问问题题是是对对方方阵阵而而特特征征向向量量 x .0,0,. 2 的的特特征征值值都都是是矩矩阵阵的的即即满满足足方方程程值值有有非非零零解解的的就就是是使使齐齐次次线线性性方方程程组组的的特特征征值值阶阶方方阵阵AEAxEAAn 一、特征值与特征向量的概念., , 1的特征向量的特征向量的对应于特征值的对应于特征值称为称为量量非零向非零向的特征值的特征值称为方阵称为方阵这样的数这样的数那末那末成立成立使关系式使关系式维非零列向量维非零列向量和

2、和如果数如果数阶矩阵阶矩阵是是设设定义定义 AxAxAxxnnA .30. 3 EA 0212222111211 nnnnnnaaaaaaaaa次次方方程程为为未未知知数数的的一一元元称称以以n 0 EA . 的的为为A特征方程特征方程,次多项式次多项式的的它是它是n 记记 EAf 称其称其. 的的为为方方阵阵A特征多项式特征多项式.4 则则有有的的特特征征值值为为阶阶方方阵阵设设,. 4 21nijaAn ;)1(221121nnnaaa .)2(21An .5解解例例1 1 .3113的特征值和特征向量的特征值和特征向量求求 A的特征多项式为的特征多项式为A 31131)3(2 )2)(4

3、(682 . 4, 221 的的特特征征值值为为所所以以A,00231123,2211 xx对应的特征向量应满足对应的特征向量应满足时时当当 .6 . 0, 02121xxxx 即即,21xx 解解得得.11 1 p取取为为所所以以对对应应的的特特征征向向量量可可,001111,00431143,421212 xxxx即即由由时时当当 .11 ,221 pxx取为取为所以对应的特征向量可所以对应的特征向量可解得解得.7例例 .201034011的特征值和特征向量的特征值和特征向量求矩阵求矩阵 A解解,)1( )2(201034011 2 EAA的特征多项式为的特征多项式为. 1, 2321 的

4、的特特征征值值为为所所以以A由由解解方方程程时时当当. 0)2(,21 xEA .8,0000100010010140132 EA,1001 p 得基础解系得基础解系.2)0(11的的全全部部特特征征值值是是对对应应于于所所以以 kpk由由解解方方程程时时当当. 0)(,132 xEA ,000210101101024012 EA.9,1212 p 得得基基础础解解系系.1)0(322的全部特征值的全部特征值是对应于是对应于所以所以 kpk.10例例 设设,314020112 A求求A的特征值与特征向量的特征值与特征向量解解 314020112EA ,2)1(2 02)1(2 令令. 2, 1

5、321 的特征值为的特征值为得得A.11 由由解解方方程程时时当当. 0,11 xEA ,000010101414030111 EA,1011 p得基础解系得基础解系的的全全体体特特征征向向量量为为故故对对应应于于11 ).0( 1 kpk.12 由由解解方方程程时时当当. 02,232 xEA ,0000001141140001142 EA得基础解系为：得基础解系为：,401,11032 pp :232的的全全部部特特征征向向量量为为所所以以对对应应于于 ).0,(323322不不同同时时为为kk pkpk .13例例 证明：若证明：若 是矩阵是矩阵A的特征值，的特征值， 是是A的属于的属于

6、的特征向量，则的特征向量，则 x .)1(是是任任意意常常数数的的特特征征值值是是mAmm .,)2(11的的特特征征值值是是可可逆逆时时当当 AA 证明证明 xAx 1 xAxxAAxA xxA22 再继续施行上述步骤再继续施行上述步骤 次，就得次，就得2 mxxAmm .,征征向向量量的的特特对对应应于于是是且且的的特特征征值值是是矩矩阵阵故故mmmmAxA .14可得可得由由xAx xAxAAxA111 xxA11 , 0,2 可可逆逆时时当当A., 1111的的特特征征向向量量对对应应于于是是且且的的特特征征值值是是矩矩阵阵故故 AxA.15.,., 121212121线线性性无无关关

7、则则各各不不相相等等如如果果向向量量依依次次是是与与之之对对应应的的特特征征个个特特征征值值的的是是方方阵阵设设定定理理mmmmppppppmA 证明证明使使设设有有常常数数mxxx,21. 02211 mmpxpxpx则则 , 02211 mmpxpxpxA即即, 0222111 mmmpxpxpx 类推之，有类推之，有. 0222111 mmkmkkpxpxpx 1, 2 , 1 mk二、特征值和特征向量的性质.16把上列各式合写成矩阵形式，得把上列各式合写成矩阵形式，得 11221112211111,mmmmmmmpxpxpx 0 , 0 , 0 于于是是有有可可逆逆从从而而该该矩矩阵阵

8、该该行行列列式式不不等等于于不不相相等等时时当当各各式式列列阵阵的的行行列列式式为为范范德德蒙蒙行行上上式式等等号号左左端端第第二二个个矩矩., 0,i ,0 ,0 ,0,2211 mmpxpxpx ., 2 , 10mjpxjj 即即, 0 jp但但 ., 2 , 10mjxj 故故.,21线性无关线性无关所以向量组所以向量组mppp.17注意注意.属于不同特征值的特征向量是线性无关属于不同特征值的特征向量是线性无关的的.属于同一特征值的特征向量的非零线性属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量组合仍是属于这个特征值的特征向量.矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征矩阵

9、的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的，一个特征值具有的特征向量不唯一；值而言的，一个特征值具有的特征向量不唯一；一个特征向量不能属于不同的特征值一个特征向量不能属于不同的特征值.18 即即有有的的特特征征向向量量的的的的属属于于特特征征值值同同时时是是如如果果设设因因为为,2121 Ax xAxxAx21, xx21 , 021 x , 021 由由于于, 0 x则则.与定义矛盾与定义矛盾.19例例5 5 设设A是是 阶方阵，其特征多项式为阶方阵，其特征多项式为n 0111aaaAEfnnnA .的特征多项式的特征多项式求求AT解解 AEfTAT 0111aaannn TAE AE 三、特征

10、值与特征向量的求法.20求矩阵特征值与特征向量的步骤：求矩阵特征值与特征向量的步骤： ;det . 1EAA 的的特特征征多多项项式式计计算算 ;,0det . 2 21的的全全部部特特征征值值就就是是的的全全部部根根求求特特征征方方程程AEAn .,0 , . 3 的的特特征征向向量量就就是是对对应应于于的的非非零零解解求求齐齐次次方方程程组组对对于于特特征征值值iiixEA 四、小结.21 ., 0det,2, 0A3Edet :4 的一个特征值的一个特征值求求满足条件满足条件阶方阵阶方阵设设 AAEAAAT思考题.22思考题解答知知由由可可逆逆故故因因为为0)3det( ., 0det

11、EAAA解解,3的的一一个个特特征征值值是是A .31 1值值的一个特征的一个特征是是从而从而A 即即得得又由又由,16)2det()det( 2 EAAEAATT, 4det, 0det, 4det,16)(det2 AAAA因此因此但但于是于是.34有有一一个个特特征征值值为为故故A .235、3 相似矩阵一、相似矩阵与相似变换的概念一、相似矩阵与相似变换的概念二、相似矩阵与相似变换的性质二、相似矩阵与相似变换的性质三、利用相似变换将方阵对角化三、利用相似变换将方阵对角化.24一、相似矩阵与相似变换的概念.,., , 111的相似变换矩阵的相似变换矩阵变成变成称为把称为把可逆矩阵可逆矩阵进

12、行相似变换进行相似变换称为对称为对行运算行运算进进对对相似相似与与或说矩阵或说矩阵的相似矩阵的相似矩阵是是则称则称使使若有可逆矩阵若有可逆矩阵阶矩阵阶矩阵都是都是设设定义定义BAPAAPPABAABBAPPPnBA .251. 等价关系等价关系 . 22111211PAPPAPPAAP ., . 3为为正正整整数数相相似似与与则则相相似似与与若若mBABAmm二、相似矩阵与相似变换的性质.本身相似本身相似与与AA.,相似相似与与则则相似相似与与若若ABBA.,相相似似与与则则相相似似与与相相似似与与若若CACBBA反身性反身性)1()2(对称性对称性传递性传递性)3(.26证明证明相似相似与与

13、BA PEPAPPEB 11 PEAP 1PEAP 1.EA PAPkPAPkPAkAkP21211122111. 4 .,21是是任任意意常常数数其其中中kkBAPPP 1,使使得得可可逆逆阵阵., 1的特征值亦相同的特征值亦相同与与从而从而式相同式相同的特征多项的特征多项与与则则相似相似与与阶矩阵阶矩阵若若定理定理BABABAn.27推论推论 若若 阶方阵阶方阵A A与对角阵与对角阵n n 21.,21个个特特征征值值的的即即是是则则相相似似nAn .28利用对角矩阵计算矩阵多项式利用对角矩阵计算矩阵多项式,1PPBA 若若PPEaPPBaPBPaPBPannnn11111110 Ak的的

14、多多项项式式AEaAaAaAaAnnnn 1110)( .)(1PBP .1PBPk 则则PEaBaBaBaPnnnn11110)( PPB1 PPB1 PPB1 PPB1 k个个.29,1为为对对角角矩矩阵阵使使若若可可逆逆矩矩阵阵特特别别地地 APPP, 1PPAkk 则则.)()(1PPA 有有对于对角矩阵对于对角矩阵, ,21 knkkk,)()()()(111 利用上利用上述结论可以述结论可以很方便地计很方便地计算矩阵算矩阵A 的的多项式多项式 .)(A .30.)(,)(OAfAf 则则的的特特征征多多项项式式是是矩矩阵阵设设 定理定理证明证明.与对角矩阵相似的情形与对角矩阵相似的

15、情形只证明只证明A使使则则有有可可逆逆矩矩阵阵与与对对角角矩矩阵阵相相似似若若,PA),(11 ndiagAPP . 0)(, iifA的的特特征征值值为为其其中中有有由由,1PPA )(Af.1OPPO PPf1)( PffPn11)()( .31., 1对对角角化化这这就就称称为为把把方方阵阵为为对对角角阵阵使使若若可可找找到到可可逆逆矩矩阵阵阶阶方方阵阵对对AAPPPAn 证明证明,1为为对对角角阵阵使使假假设设存存在在可可逆逆阵阵 APPP .,21npppPP 用用其其列列向向量量表表示示为为把把三、利用相似变换将方阵对角化.)( 2个个线线性性无无关关的的特特征征向向量量有有的的充

16、充分分必必要要条条件件是是能能对对角角化化即即与与对对角角矩矩阵阵相相似似阶阶矩矩阵阵定定理理nAAAn.32 nnnppppppA 212121,即即 .,2211nnppp nnApApAppppA,2121 ., 2 , 1nipApiii 于于是是有有 nppp ,211 ,1 PAPAPP得得由由.33., 的的特特征征向向量量的的对对应应于于特特征征值值就就是是的的列列向向量量而而的的特特征征值值是是可可见见iiiApPA .,21线线性性无无关关所所以以可可逆逆又又由由于于npppP命题得证命题得证., PAPPnnnA使使阵阵个个特特征征向向量量即即可可构构成成矩矩这这个个特特

17、征征向向量量得得并并可可对对应应地地求求个个特特征征值值恰恰好好有有由由于于反反之之.34说明说明 如果如果 阶矩阵阶矩阵 的的 个特征值互不相等，个特征值互不相等，则则 与对角阵相似与对角阵相似推论推论nAAn如果如果 的特征方程有重根，此时不一定有的特征方程有重根，此时不一定有 个线性无关的特征向量，从而矩阵个线性无关的特征向量，从而矩阵 不一定能不一定能对角化，但如果能找到对角化，但如果能找到 个线性无关的特征向量，个线性无关的特征向量， 还是能对角化还是能对角化AAnnA.35例例1 1 判断下列实矩阵能否化为对角阵？判断下列实矩阵能否化为对角阵？ 242422221)1(A 2013

18、35212)2(A解解EA 由由)1( 722 0 242422221. 7, 2321 得得.36 得得方方程程组组代代入入将将, 02121 EA 04420442022321321321xxxxxxxxx解之得基础解系解之得基础解系.110,10221 .37 , 0, 73 xEA 由由对对求得基础解系求得基础解系 2 , 2 , 13T , 0211210102 由由于于.,321线线性性无无关关所所以以 .,3 化化可可对对角角因因而而个个线线性性无无关关的的特特征征向向量量有有即即AA,同理同理.38 201335212EA 31 201335212)2(A. 1321 的特征值

19、为的特征值为所以所以A , 01 xEA 代代入入把把解之得基础解系解之得基础解系,) 1, 1 , 1 ( T 故故 不能化为对角矩阵不能化为对角矩阵.A.39 163053064A设设A能否对角化？若能对角能否对角化？若能对角,P则则求求出出可可逆逆矩矩阵阵化化例例2 2.1为为对对角角阵阵使使APP 解解 163053064EA 212 . 2, 1321 的的全全部部特特征征值值为为所所以以A.40 得得方方程程组组代代入入将将0121 xEA 063063063212121xxxxxx解之得基础解系解之得基础解系,0121 .1002 .41 解解系系得得方方程程组组的的基基础础代代

20、入入将将, 02 3 xEA .1 , 1 , 13 T .,321线线性性无无关关由由于于 110101102, 321 P令令.200010001 1 APP则则有有所以所以 可对角化可对角化.A.42注意注意 , ,213 P若若令令111 012 100. 1 APP则则有有00 00002 11即矩阵即矩阵 的列向量和对角矩阵中特征值的位置的列向量和对角矩阵中特征值的位置要相互对应要相互对应P.43);det()det(,)1(BABA 则则相相似似与与;,)2( 11相相似似与与且且也也可可逆逆则则可可逆逆且且相相似似与与若若 BABABA;,)3( 为为常常数数相相似似与与则则相相似似与与kkBkABA.)()(,)(,)4( 相相似似与与则则是是一一多多项项式式而而相相似似与与若若BfAfxfBA四、小结相似矩阵相似矩阵 相似是矩阵之间的一种关系，它具有很多良好