极值点偏移拐点偏移

1、极值点偏移问题专题拐点偏移52例1已知函数fx2lnxxx,假设正实数Xi,X2满足fXi+fX2=4,求证：x1x22。证明：注意到f1=2,fxi+fx2=2f1fx1+fx2=2f12fx=+2x10xfx=-222,f1=0,则1,2是fx图像的拐点，假设拐点1,2也是fxx想到了 “极值点偏移”，想到了 “对称化构造”，的对称中心，则有x1x2=2，证明xx22则说明拐点发生了偏移，作图如下类似地，不妨将此问题命名为“拐点偏移”，仍可用“对称化构造”来处理.不妨设0x11x2,要证x1x22x22x11fx2f2x14fxif2%4fx1f2x1fxf2x,x0,1,则f2x2x 1

2、222x12x41x10,x2x得Fx在0,1上单增，有FxF12、极值点偏移PK拐点偏移常规套路1、极值点偏移f%0f x1f x22 f x0x22x0f K f x22f x0x22x0 x12xo极值点偏移问题专题1对称化构造常规套路例12010天津已知函数f xxxe1求函数fx的单调区间和极值;2已知函数gx的图像与fx的图像关于直线x1对称，证明：当x1时,3如果XiX2,且fXifX2,证明:x1x22.解回，得/（了）在上/，在上、值t无极小值；e（2）g（x）的图像与F（x）的图像关于直装工二1对称，则g的解析式为J=一工）,构造辅助图数产（幻=兑卜式耳=/（力一2-工）r

3、（x）=r（x）+r（2-x）=门1）+尸1）=（凭_】）4_门当1时，x-L0ex-1-e-r0,则产（力10，得产在（1,一）上单增,司尸a尸（1）=0r即/）目（工）-（3）由的尸三）,结合力的单调性可设而clc修将均代入（2）中不等式得/（三）J（2-巧）t又（两）二了（9，故门看），/（2-9）.又近G2一1.在（）上单塔，放园2一/rX+两2.来源:微信公众号中学数学研讨部落点评：该题的三问由易到难，层层递进，完整展现了处理极值点偏移问题的一般方法一一对称化构造的全过程，直观展示如下:例1是这样一个极值点偏移问题：对于函数f x xe x,已知 f x1证明Kx22.再次审视解题过

4、程，发现以下三个关键点:1Xi ,X2的范围0X11X2 ；2不等式fxf2xx1;3将X2代入2中不等式，结合fx的单调性获证结论.把握以上三个关键点，就可轻松解决一些极值点偏移问题.例22016新课标I卷已知函数 f X2 ex2有两个零点.1求a的取值范围;2设 x1 ,x2是f x的两个零点，证明:xix22.解：10,2由1,1上、，在1,x1可设x11x2.构造辅助函数fx2a2 x e2axexe1 时，x 1 00,得F x在,1，又F10,将x1代入上述不等式中得f x1f x22 x1，又 x2x11, f1, 上/,故 x12x1 x2 2.通过以上两例，相信读者对极值点

5、偏移问题以及对称化构造的一般步骤有所了解.但极值点偏移问题的结论不一定总是xx22x0,也可以是x1x22x2,借鉴前面的解题经验，我们就可给出类似的过程.求证:已知函数fxxlnx的图像与直线ym交于不同的两点A x1,必,b &,y2xx2-e证明:i f xm 一 ， 一 1ln x 1,得 f x 在 0,- e上/;当0 x 1时,0； f 10；当 x 1 时，f x 0 ；当 x 0 时，fx 0洛必达法则；当x时，f x1x2 1 .小结：用对称化构造的方法解极佳点偏移问题大致分为以下三步:stepl :求导，获彳导f x的单调性,极值情况，作出f x的图像，由f x1f x2 得 x1,x2的取值范围数形结合；step2:构造辅助函数对结论x1x22x0,构造Fxfxf2x0x；对