毕业论文副本

1、1 引言数形结合是贯穿于中学数学教学中的一条主线。最早的时候应该是在古希腊时期，毕达哥拉斯学派他们在研究数形结合的时候就是常常把数同沙石或者是图形在平面上的那些点之间联系起来，按照沙石或者点的形状将那一些数进行分类，然后他们再结合所画出来的图形的性质用来推出那些数的性质。古希腊亚历山大时期的欧几里得运用公理化方法写了流芳千古的著作几何原本，使最早的数学发展以几何为主要特征。在代数发展史上经历了漫长的岁月。数轴的建立使人们对形与数的统一有了初步的认识。这是因为笛卡尔把数轴由原来的一维扩展到后面的平面直角坐标系二维图形，并且把有顺序的数对与平面上的那些点之间一一对应起来，从而就使得平面曲线所对应的

2、点集与二元方程的解集之间一一的对应起来。于是就可以使用代数的方法来研究几何图形的性质，于是就把那些几何研究的问题转换成和它相对应的代数问题的研究，所以就有了解析几何这一学科，它其实就是是数形结合思想的最完美体现。笛卡尔之后数形结合得到长足发展，数与形更进一步紧密结合。其实我国著名的数学大师华罗庚这样说到：“数缺少形少直观，形缺少数难入微，数形结合百年好，割裂分家万事非”。2 数形结合思想介绍数形结合思想其实是一种可以让那些非常复杂的数学问题变得更加的简单化、使那些非常抽象的问题变得更加的具体的一种经常用的数学思想方法。如果我们要想提高学生运用数形结合思想解决数学题这方面的能力，这些都需要我们教

3、师耐心而又细致的引导，让学生必须自己学会联系数形结合思想、并且能够理解数形结合思想、运用数形结合思想、且最终能够掌握数形结合思想解决数学题。其实我们都知道数和形就是中学数学教材中被研究的最多的东西，而且数和形的结合也是一种非常具有数学特点的变换，我们都知道数学研究的东西很多都是用数所具有的抽象性来阐明一些形象的事实，并且同时又需要用图形所具有的性质来加以说明它所对应的数的事实。之所以说数形结合思想是一种非常重要的数学思想。那是因为数形结合就是要把问题中所表达的数量关系与某一形象直观的几何图形之间通过一定的条件有机的结合起来，使它们在解题的方法上面进行相互转化，最终使问题化困难为容易，化复杂为简

4、单，从而最后就达到解决问题的这一目的。我们在平时运用数形结合思想分析问题和解决某些问题的时候，就需要注意下面的三点：第一就是要搞明白某些概念和运算的几何意义以及曲线的代数方面具有的特征，并且要对数学题目中给出的条件和结论既要认认真真分析它们具有的几何意义也要弄明白它们具有的代数方面的意义；第二点就需要我们设定比较合适的参数、并且需要我们合理的运用我们所设定的那些参数，然后就是需要建立相应的对应关系，最后我们就可以由数而想到图形，或者是由图形而想到对应的数，做好数和图形之间的相互转换；第三一点就是需要我们非常正确的确定我们前面所设定的那些参数的取值范围。数形结合研究一直是个热点问题。总体上看国内

5、学者注意集中于对数形结合的优势、功能及解决问题的进行分析归类，其目的都是为了提高学生的学习效果，发展学生的思维能力。3 数和形的转化3.1由数到形，数形结合由于“数”和“形”它们之间其实就是一种相互对应的关系，并且有一些数量非常的抽象，不是很好理解，使得我们不是很好的把握，然而“图形”具有形象，直观这个非常突出的优点，并且能够表达很多非常具体的思路，它有着解决需要我们解决的问题的定性这方面的作用，所以我们就可以把与“数”相对应的“形”给找出来，画出来，最后就利用展现出来的图形来解决需要解决的问题。我们能够从所给问题的情境中辨认出符合问题目标的某个熟悉的“模式”，这种通过把数量问题转化为图形问题

6、，并通过对图形的分析、推理最终解决数量问题的方法，就是图形分析法。数量问题图形化是数量问题转化为图形问题的条件。例3.1.1：求函数 的最小值。本题若用代数直接求值将非常困难，若将题目变为：；构造两点、和同一点、,则易知上式就为两点、的距离与两点、距离的和。题目就化归成了再平面直角坐标系中求一动点使它到两定点、距离之和最小的问题，而动点在轴上。YOP|、/、,Mx如图3.1.1只需作的对称点，可证当的对称点点以及点在一天直线上时取的距离和最短，即是：例3.12：实数满足方程；求的取值范围。因实数、满足，所以点、是圆上的动点，记这个动点为,则可知刚好就是直线的斜率.YXOHA如图3.1.2因为斜

7、率存在，于是可设，则有的方程可以表示为：；将此方程带人圆的方程可得方程为：，因为在圆上也在直线上，即是它们有公共点，于是又方程，即是；由此可得，也即是;例3.1.3正数、满足下列方程组：123求。对式2、3进行分析，可以转化为余弦定理： 于是，我们可以构造几何图形用来求解，AYDXCB如图3.1.3解：作,使，在上取使，则,如图，则根据面积关系可知：有 : 得本题在求解的时候，由于我们可以观察到式子1、2都具有这样的特征，所以联想到余弦定理后就可以由数而到形的转入，这样就使得问题迎刃而解了。可见，在遇到这样的题时应该考虑数形结合来解决。3.2由形到数，数形结合虽然形有形象、直观的优点，但在定量

8、方面还必须借助代数的计算，特别是对较复杂的“形”，不但要正确的把图形数字化，而且还要留心观察图形的特点，发掘题目中的隐含条件，充分利用图形的性质或几何意义，把“形”正确表示成“数”的形式，进行分析计算。例3.2.1 两个单位圆的圆心距为1，在第一个圆上取点B，在第二个圆上取关于连心线对称的两点、,求的最小值。XYBC如图3.2.1我们知道由形到数最重要的工具就是平面直角坐标系，于是我们可以考虑以定点或为原点，建立直角坐标系，从而由形到数的转化，入上图所示。有：以作为原点，于是我们建立相应的直角坐标系，这样就有： 设，于有就有：延伸：若以三角函数知识为工具，则可以设， ，,则可化为。这类题型解题

9、的基本思路就是：首先要弄清楚题目中所给出的条件和需要我们求的东西，然后我们分析已经给出来的这些条件和需要我们求的那些目标它们所具有的特点和性质，弄明白已知条件或所需要求的目标在图形中所具有的重要的几何意义，最后用我们已经学过的数形结合的知识正确的将题目中需要用到的图形用代数式的形式给表达出来，利用相应的公式或定理等。3.3数形结合，相互转化“形”“数”互变是指在有些数学问题中不仅仅是简单的以“数”变“形”或以“形”变“数”而是需要“形”“数”互相变换，不但要想到由“形”的直观变为“数”的严密还要由“数”的严密联系到“形”的直观。解决像这种类型的问题往往就需要我们能够从已知条件和结论两方面同时展

10、开，分析并且找出内在的“数”和“形”之间的互相转变。通常所用到的方法就是看“数”想到“形”、看到“形”就要能够想到“数”。其实就是要能够用“形”变换“数”、以“数”转化成“形”，数形之间的结合。例题3.3.1 在正外接圆的弧内任意取一点，连接,求证：1234CABP如图3.3.1分析：首先由1、2可以知道、应该是一元二次方程的两个根，其中为正的边长，所以就有于是我们可以考虑余弦定理。证明： 记正的边长为，首先当时可以直接验证，当时，分别在、中用余弦定理得及 即是 这表明、是二次方程的两个实数根，所以由韦达定理就有又由方程有实数根可知，由韦达定理就有 即是 又可以由1和2得所以就有4 运用数形结

11、合解题时易犯的错误例题4.1 求方程的根的个数，我们可以令，于是我们就可以画出它们的图像。xxxY如图4.1我们容易知道它们一定有一个交点，但是在这个交点左右两侧是否还有交点我们不知道。如果有，是一个还是两个现在都无法确定。这就是数形结合的盲区，因为它本身是一个宏观的现象，无法做到细化，无法精确刻画曲线所处的准确的位置。所以，在遇到一些情况的时候还要结合代数的方法去解决，例如上图，用形助数但还是不能完全解决问题，所以只能用求导数的方法来解决。我们可以设，所以，当即是时，函数为增函数，当即是时，函数为减函数，所以函数在时可以取得极小值，所以方程只有一个实数根，也就是说两个函数图象只能有一个交点。

12、5 对比代数与几何方法解题例题 5.1 一个研究单位一共拥有三个科研小组，其中参加光谱小组的科学家有20人，参加激光小组的科学家有24人，参加色谱小组的科学家有31人，同时参加光谱和激光两个小组的科学家有5人，同时参加激光和色谱两个小组的科学家有6人，同时参加光谱和色谱两个小组的科学家有7人，三个小组都参加的科学家有3人。那么这个研究单位一共有多少位科学家？方法一（代数方法）：设：只参加光谱研究小组的科学家有人，只参加色谱研究小组的科学家有人，只参加激光研究小组的科学家有人，共有科学家人。则有：解得：；。于是有即是这个科研所共有人。方法二（几何方法）： 202431光谱激光色谱7356上图中有

13、表示两两重叠的部分，是、，三组重叠的部分的是3所表示的图形，所以我们只需要从三个小组的总人数中减去重复的部分。即是：（人）从这个例题我们可以知道，代数问题可以借助几何图形、图象来解决，但是在遇到某些情况的时候还需要再用到代数方法，也充分说明数和形的紧密程度。6 总结6.1中学阶段常用数形结合解决的数学题型1 构造两点之间的距离，求无理函数的最值如图。2 构造直线的斜率，求代数式的取值范围。3 利用直线和圆的位置关系，求方程中字母的取值范围如图4 利用三角函数和对数函数的图像，求方程根的个数的问题。5 利用绝对值的几何意义，求取值范围。6 利用基本函数的图像，解不等式。7 利用圆与直线的图像，求

14、值域的问题。6.2运用数形结合解题时应注意的问题1 就是在数形转化的时候，要避免定义域的缩小或扩大。2 在做证明题时，要注意形不能作为证明的依据。3 观察图像的时候一定要非常仔细，避免漏掉可能的情况。4 做题时，要注意数形结合的合理性，不能凭感觉、臆断、更加不能无中生有。数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。从上面的几个例子中我们可以看出，在运用数形结合的时候有从数到形的运用、有从形到数的运用、也有同时结合两种方式的应用。本文通过对数形结合在中学数学教学中常见题型的探索和总结，让我们更加清楚这一

15、思想、方法在中学数学中地位之重要。让我懂得了，要想成为一名优秀的中学教师，有一点很重要，那就是怎样把知识用最好的方法传递给学生，而数形结合又是贯穿于整个中学数学中的。所以说，能够准确的在解题中运用数形结合就显得尤为重要，充分体现出教师的能力。参考文献1 范永利. 数学思想的渗透于训练 J. 北京广播学院出版社, 1997,(02) .2 范良帮.初中数学创新学习方略 J. 宁波出版社, 2002,(08) 3 莫红梅. 谈数形结合在中学数学中的应用J. 教育实践与研究 , 2003,(12) .4 刘培杰 .中学数学解题方法 J .哈尔滨工业大学出版社 , 2008,(01) .5 王银篷. 浅谈数形结合的方法J. 中学数学 , 2004,(12) .6 卢丙仁. 数形结合的思想方法在函数教学中的应用J. 开封教育学院学报 , 2003,(04) .7 郑菊美. 数形结合在中学数学教学中的应用J. 丽水师范专科学校学报 , 2003,(02) .8 刘焕芬. 巧用数形结合思想解题J. 数学通报 , 2005,(01)9 李晋彪. 谈谈数形结合的实际应用J. 太原教育学院学报 , 2003,(03) . .致 谢此次论文的撰写是在鄢丽老师的认真指导和帮助下完成的，经过这次毕业论文的撰写，我在很多方面的能力都得到了提高，比如严密的思维能