椭圆经典例题

1、高考复习椭圆一、知识归纳：1椭圆的定义._.定义中“距离的和”记为_，焦距记为_。则当_时，轨迹为椭圆；则当_时，轨迹为线段；则当_时，轨迹不存在。2.椭圆的方程.(1)标准方程_, _；(2)一般方程_.3.椭圆的几何性质：以方程为例. 范围_；对称轴_、对称中心_；顶点坐标_；焦点坐标_；离心率的取值范围_.二、例题讲评：例1. (1). 已知椭圆的两个焦点是, 且点在椭圆上, 则椭圆的标准方程是（ A ） A. B. C. D. (2).已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过点和点，则椭圆的方程为_.(3).点与点的距离和它到直线的距离的比是，则点的轨迹方程_.例2.(1).已知

2、椭圆的左焦点为，右顶点为，点在椭圆上，且轴， 直线交轴于点若，则椭圆的离心率是（ ）A B C D D解析:对于椭圆，因为，则 (2).已知椭圆+y2=1（a1）的两个焦点为F1、F2，P为椭圆上一点,且F1PF2=60，则|PF1|PF2|的值为（ D ）A.1 B.C.D.(3).椭圆的焦点为，点P在椭圆上，若，则 ；的大小为 .解析. ，又， 又由余弦定理，得，故应填.(4)椭圆=1上一点P到两焦点的距离之积为m，当m取最大值时，P点坐标为A. B.（）（）C.（）（） D. 例3.已知椭圆和直线：上取一点，经过点且以已知椭圆的焦点为焦点作椭圆，求作出的所有椭圆中长轴最短的椭圆的方程.解

3、：由已知椭圆得其焦点为和，它们也是所求椭圆焦点，所求椭圆方程可设为依条件知l与椭圆相切，由消去y得： 方程的 化简得 又和得 由联立解得 故所求的方程为例4.(青岛模拟)已知F1、F2是椭圆C：1(ab0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且.若PF1F2的面积为9，则b_.审题视点 关键抓住点P为椭圆C上的一点，从而有|PF1|PF2|2a，再利用，进而得解解析由题意知|PF1|PF2|2a，|PF1|2|PF2|2|F1F2|24c2，(|PF1|PF2|)22|PF1|PF2|4c2，2|PF1|PF2|4a24c24b2.|PF1|PF2|2b2，SPF1F2|PF1|PF2|2b2b2

4、9.b3.答案3例5. (1)求与椭圆1有相同的离心率且经过点(2，)的椭圆方程(2)已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P到两焦点的距离分别为5、3，过P且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程审题视点 用待定系数法求椭圆方程，但应注意椭圆的焦点位置是否确定解(1)由题意，设所求椭圆的方程为t(t0)，椭圆过点(2，)，t2，故所求椭圆标准方程为1.(2)设所求的椭圆方程为1(ab0)或1(ab0)，由已知条件得解得a4，c2，b212.故所求方程为1或1.例6. (1)求长轴是短轴的3倍且经过点A(3,0)的椭圆的标准方程(2)已知椭圆1(ab0)的一个焦点是F(1,0)，若椭

5、圆短轴的两个三等分点M，N与F构成正三角形，求椭圆的方程解(1)若椭圆的焦点在x轴上，设方程为1(ab0)，椭圆过点A(3,0)，1，a3，2a32b，b1，方程为y21.若椭圆的焦点在y轴上，设椭圆方程为1(ab0)，椭圆过点A(3,0)，1，b3，又2a32b，a9，方程为1.综上所述，椭圆方程为y21或1.(2)由FMN为正三角形，则c|OF|MN|b1.b.a2b2c24.故椭圆方程为1.例7.已知椭圆和直线：上取一点，经过点且以已知椭圆的焦点为焦点作椭圆，求作出的所有椭圆中长轴最短的椭圆的方程.解：由已知椭圆得其焦点为和，它们也是所求椭圆焦点，所求椭圆方程可设为依条件知l与椭圆相切，

6、由消去y得： 方程的 化简得 又和得 由联立解得 故所求的方程为例8. 已知椭圆G：y21.过点(m,0)作圆x2y21的切线l交椭圆G于A，B两点(1)求椭圆G的焦点坐标和离心率；(2)将|AB|表示为m的函数，并求|AB|的最大值审题视点 (1)由椭圆方程可直接求出c，从而求出离心率(2)可设出直线方程与椭圆方程联立得一元二次方程，由弦长公式列出|AB|长的表达式从而求出|AB|的最大值解(1)由已知得，a2，b1，所以c.所以椭圆G的焦点坐标为(，0)，(，0)，离心率为e.(2)由题意知，|m|1.当m1时，切线l的方程为x1，点A，B的坐标分别为，此时|AB|.当m1时，同理可得|A

7、B|.当|m|1时，设切线l的方程为yk(xm)由得(14k2)x28k2mx4k2m240.设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1x2，x1x2.又由l与圆x2y21相切，得1，即m2k2k21.所以|AB|.由于当m1时，|AB|，所以|AB|，m(，11，)因为|AB|2，且当m时，|AB|2，所以|AB|的最大值为2.例9. 如图，已知椭圆E经过点A(2,3)，对称轴为坐标轴，焦点F1，F2在x轴上，离心率e.(1)求椭圆E的方程；(2)求F1AF2的角平分线所在直线l的方程解(1)设椭圆E的方程为1(ab0)，由e，即，得a2c，得b2a2c23c2.椭圆方程

8、可化为1.将A(2,3)代入上式，得1，解得c2，椭圆E的方程为1.(2)由(1)知F1(2,0)，F2(2,0)，直线AF1的方程为y(x2)，即3x4y60，直线AF2的方程为x2.由点A在椭圆E上的位置知，直线l的斜率为正数设P(x，y)为l上任一点，则|x2|.若3x4y65x10，得x2y80(因其斜率为负，舍去)于是，由3x4y65x10，得2xy10，直线l的方程为2xy10.例10. 设椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2.点P(a，b)满足|PF2|F1F2|.(1)求椭圆的离心率e；(2)设直线PF2与椭圆相交于A，B两点，若直线PF2与圆(x1)2(y)216相交

9、于M，N两点，且|MN|AB|，求椭圆的方程(1)设F1(c,0)，F2(c,0)(c0)，因为|PF2|F1F2|，所以2c.整理得2210，得1(舍)，或.所以e.(4分)(2)由(1)知a2c，bc，可得椭圆方程为3x24y212c2，直线PF2的方程为y(xc)A、B两点的坐标满足方程组消去y并整理，得5x28cx0.解得x10，x2c.(6分)得方程组的解为不妨设A，B(0，c)，所以|AB|c.(8分)于是|MN|AB|2c.圆心(1，)到直线PF2的距离d.(10分)因为d2242，所以(2c)2c216.整理得7c212c520.得c(舍)，或c2.所以椭圆方程为1.(12分)

10、例11.已知直线yx2和椭圆1(ab0)相交于A、B两点，M为线段AB的中点，若|AB|2，直线OM的斜率为，求椭圆的方程尝试解答设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)则得：.kAB.又kOM，由得a24b2.由得：x24x82b20，x1x24，x1x282b2.|AB|x1x2|2.解得：b24.故所求椭圆方程为：1.椭圆练习题1. 如果方程x2+ky2=2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（ ）A.(0,+)B.(0,2) C.(1,+)D.(0,1)2.椭圆的两个焦点为F1、F2，过F1作垂直于轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则=（ C ）ABCD43.

11、 过椭圆()的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，若，则椭圆的离心率为（B） A B C D w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 解析:因为，再由有从而可得，故选B4. 椭圆的焦点为,点P为其上的动点,当为钝角时,点P横坐标的取值范围是_.5.若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则OPFP的最大值为（ ）A.2B.3C.6D.8解析：设椭圆上任意一点P（x0,y0),则有,即,O(0,0),F(-1,0),则.因为|x0|2,所以当x0=2时，取得最大值为6，故选C.另解：由椭圆参数方程可设P(2cos ,sin ),由题易知F（-1,0），则=2cos (2c

12、os +1)+(sin )2=(cos +1)2+26,故选C.答案：C6.设P是椭圆上的点.若F1、F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|+|PF2|等于 （ ）A.4 B.5 C.8 D.10解析：|PF1|+|PF2|=25=10.答案：D7. 圆心在轴的正半轴上,过椭圆的右焦点且与其右准线相切的圆的方程8、.如图所示，已知A、B、C是长轴长为4的椭圆上的三点，点A是长轴的一个端点，BC过椭圆中心O ，且，|BC|2|AC|求椭圆方程.解： 以O为原点，OA为X轴建立直角坐标系，设A（2，0），则椭圆方程为O为椭圆中心，由对称性知|OC|OB|又，ACBC又|BC|2|AC|OC|AC|AO

13、C为等腰直角三角形点C的坐标为（1，1） 点B的坐标为（1，1）将C的坐标（1，1）代入椭圆方程得， 则求得椭圆方程为9.设F1、F2分别是椭圆E： (0bb0)的左、右焦点，过F2的直线l与椭圆C相交于A、B两点，直线l的倾斜角为60,F1到直线l的距离为.（1）求椭圆C的焦距；（2）如果,求椭圆C的方程.解：（1）设焦距为2c,由已知可得F1到直线l的距离,故c=2.所以椭圆C的焦距为4.（2）设A（x1,y1),B(x2,y2)，由题意知y10,直线l的方程为.椭圆练习题1. 如果方程x2+ky2=2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（ ）A.(0,+)B.(0,2) C.(1,+)D.(0,1)2.椭圆的两个焦点为F1、F2，过F1作垂直于轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则=（ ）ABCD43. 过椭圆()的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，若，则椭圆的离心率为（ ） A B C D 4. 椭圆的焦点为,点P为其上的动点,当为钝角时,点P横坐标的取值范围是_.5.若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则OPFP的最大值为（ ）A.2B.3C.6D.86.设P是椭圆上的点.若F1、F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|+|PF2|等