必修二立体几何证明题

1、必修二立体几何经典证明试题11.如图，二棱枉 ABC AiBiCi中，侧棱垂直底面，/ ACB=90 , AC=BC=AAi, D是棱AAi的中点(I )证明：平面 BDCi,平面BDC(n )平面BDC i分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比i.【解析】(I)由题设知 BC± CCi,BC±AC, CCi AC C , . BC DCi BC,由题设知 AiDCi ADC 45°,， CDC 二900，即 DCi DC , 又.DC BC C, DCi，面 BDC,DCi 面 BDC1，面 BDC，面 BDCi ;i(n)设棱锥 B DACCi的体积为Vi, A

2、C =i,由题意得，Vi二3由三棱柱 ABC AB1cl的体积V =i, (V Vi) :Vi=i：i ,平面BDCi分此棱柱为两部分体积之比为1:1.AD , E是PB的中点，F是2.如图5所示，在四B P ABCD中，AB 平面PAD , AB/CD , PD1 一,CD上的点且DF -AB, PH为乙PAD中AD边上的高. 2(1)证明：PH 平面ABCD ;(2)若PH 1, AD J2, FC 1,求三棱锥E BCF的体积;(3)证明：EF 平面PAB.【解析】(1)证明：因为 AB 平面PAD,所以PH AB。因为PH为乙PAD中AD边上的高，所以 PH AD。因为ABIAD A,

3、所以PH 平面ABCD。(2)连结BH ,取BH中点G ,连结EG 。因为E是PB的中点，所以EG / PH o因为PH 平面ABCD所以EG 平面ABCD 。则 EG 1PH21 _ 一 1 1 一2Ve bcf- S bcf EG - - FC AD EG 。1ME 一 AB。233 212(3)证明：取PA中点M ,连结MD , ME。因为E是PB的中点，所以一，1因为DF 一 AB ,所以ME / DF ,所以四边形 MEDF是平行四边形，所以 EF / MD。 2因为PD AD ,所以MD PA。因为AB 平面PAD ,所以MD AB。因为PAI AB A,所以MD 平面PAB,所以

4、EF 平面PAB。3.如图，在直三棱柱ABC AB1C1中，ABiACi , D , E分别是棱BC , CCi上的点(点D不同于点C ),且AD DE,F为PG的中点.求证：(1)平面ADE 平面BCC1B1 ；(2)直线AF /平面ADE .【答案】 证明：(1) ABC AB£是直三棱柱，CC1平面ABC。又 AD 平面 ABC ,CC1 AD。又 AD DE , CC1, DE 平面 BCC1B1, CC1 I DE E , . AD 平面 BCC1B1。又 AD 平面ADE，平面ADE 平面BCC1B1。(2) A1Bi ACi , F 为 B1C1 的中点，AiFB,G。

5、又 CCi平面 AiBiCi，且 AF 平面 ABCi ,，CCi AF 。又CC1,B1C1平面 BCC1B1, CC1 IB1C1C1 , .A1F平面A1B1C1O由(1)知，AD 平面 BCC1B1,A1F / AD 。又 AD 平面ADE, A1F 平面ADE ,，直线 A1F 平面ADE1分4.如图，四棱锥 P-ABCD中，ABCD为矩形， PAD为等腰直角三角形，/ APD=90 ° ,面PAD，面ABCD ,且AB=1 , AD=2 , E、F分别为PC和BD的中点.(1)证明：EF/面 PAD ;(2)证明：面 PDCXW PAD ;(3)求四棱锥P-ABCD的体积

6、.如图，连接 AC , , ABCD为矩形且F是BD的中点，AC必经过F又E是PC的中点，所以，EF/AP2分. EF在面PAD外，PA在面内，EF/面PAD(2) .面 PADXW ABCD , CD LAD,面 PAD I 面 ABCD=AD , . CD，面 PAD ,又 AP W PAD , API CD 又APPD, PD 和 CD 是相交直线， AP±W PCD又AD 面PAD,所以，面 PDCXM PAD(3)取AD中点为O,连接PO,因为面PADXW ABCD及 PAD为等腰直角三角形，所以 POL面ABCD ,即PO为四棱锥P-ABCD的高1ADPB、PC 的中点，

7、且 AD PD 2MA.p , AD=2 ,PO=1,所以四棱锥 P-ABCD 的体积 V - PO AB35.在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，MA 平面 ABCD , PD/MA, E、G、F 分别为 MB、求证：平面EFG 平面PDC ；(II )求三棱锥P MAB与四锥P ABCD的体积之比.【解析】(I).证明：由已知 MA 平面ABCD , PD? / MA所以 PD C平面ABCDZ BC 平面ABCD因为 四边形ABCM正方形，所以 PD ± BC又在PBC中，因为(n)解:则所以 由于 所以所以 又 因为pd n dc=d因止匕G平分为PC的中点，GF

8、/ BC因止匕GF C平面EFGBC ，平面PDCGF ，平面PDC所以 平面EFGL平面PDC.PDL平面ABCD四边形ABCDME方形，不妨设 MA=1PD=AD=2 , ABCDV p-ABCD=1/3S 正方形 abcd PD=8/3DA，面MABW距离DA即为点P到平面MABW距离,三棱锥 Vp-MAB=1/3 X 1/2 X 1 X2X 2=2/3 ,所以 Vp-MAB: Vp-ABCD=1:4。6 .如图，正方形 ABC的四边形(I)求证：AF/平面BDE(II)求证： CF1平面BDF;证明：(I )设AC于BD交于点所以四边形AGH为平行四边形所以AF/ EG因为EG 平面B

9、DE,AFACEFW在的平面互相垂直。EF/AC , AB=/2 ,CE=EF=1平面BDE,Go 因为 EF/ AG,且 EF=1,所以AF/平面BDE(II)连接FGo因为EF/ CG,EF=CG=1且CE=1,所以平行四边形CEFG为菱形。所以 CF± EG.因为四边形 ABCM正方形，所以 BD±AC.又因为平面 ACEFL平面ABCD且平面ACEFT平面ABCD=A(>以 BD1平面 ACEF.所以 CF± BD.又 BDA EG=GJ以 CFL平面 BDE.7 .如图，在多面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD 是正方形，AB=2EF=2 ,

10、EF / AB,EF ± FB, Z BFC=90° , BF=FC,H 为BC的中点，(I)求证：FH/平面 EDB;(n)求证：AC,平面EDB;(出)求四面体 BDEF的体积；8 .如图，在直三棱柱 ABC AB1cl中，E、F分别是A1B、AC的中点,求证：(1) EF/平面ABC;(2)平面 AFD 平面 BB1c1c.9 .如图4,在边长为1的等边三角形 ABC中，D,E分别是点，AD AE, F是BC的中点，AF与DE交于点得到如图5所示的三棱锥A BCF ,其中AB, ACG ,将ABF沿AF折起，bca(2)证明：DE /平面BCF ;证明：CF 平面AB

11、F ;一2 当AD 一时，求三棱锥F DEG的体积Vf deg3D.AD AE答案】(1)在等边三角形 ABC中，AD AEDB EC ,在折叠后的三棱锥A BCF中也成立,DE/BC , Q DE 平面BCF , BC 平面BCF ,DE/平面 BCF ;1BF CF (2)在等边三角形ABC中，F是BC的中点，所以AF BC，2.BC 222Q 在三棱锥A BCF 中，2 ,BC2BF2CF2CF BF Q BF CF F CF 平面 ABF ；;由(1)可知GE/CF ,结合(2)可彳导ge平面DFG .10.如图，在四 麴t P ABCD 中，AB/CD, AB AD, CD 2AB

12、,平面 PAD底面 ABCD, PA AD , E 和F分别是CD和PC的中点，求证：(1) PA 底面 ABCD ;(2) BE/平面 PAD ;(3)平面 BEF 平面 PCD【答案】(I)因为平面PACL平面ABCD且PA垂直于这个平面的交线 AD所以PA垂直底面ABCD.(II)因为 AB/ CD,CD=2AB,E为 CD的中点所以AB/ DE,且AB=DE所以ABEM平行四边形，所以BE/ AD,又因为 BE 平面PAD,AD 平面PAD所以BE/平面 PAD.(III)因为AB±AD,而且ABE型平行四边形所以BE! CD,ADL CD,由(I)知PAL底面 ABCD,所以PAL CD所以 CDL平面 PAD所以CDL PD