高三数学一轮复习必备求数列通项公式的常规解法

1、求数列通项公式的常规解法1、由数列前几项写出其通项公式例1、写出下面各数列的一个通项公式 1 ,2 ,3,4,5, 2 ,4 ,6,8 ,10, 1 ,3 ,5,7,9, 1 ,2 ,4,8 ,16,L的通项公式为an n ,L的通项公式为an 2n,L的通项公式为an 2n 1,L的通项公式为an 2n 1,0-1 1 1 11,-,-,-, L的通项公式为an2 4 8 161,4,9,16,25, L的通项公式为ann2, 1)1) 1)1) 1)1)L的通项公式为an( 1)n 1 1, 。，1, 。，1,。，L的通项公式为an1 ( 1)n1n n2 2nn n 1 n 1an-12

2、341 ,2 ,3 - ,4 ,L L的通项公式为an2345n 2 ( 1)nL 的通项公式为 an ( 1) 一或 n1、, 一一-,门为正整数n3, n为正偶数n2、定义法直接利用等差数列或等比数列的定义求通项.例1、等差数列an是递增数列，前n项和为Sn,且a，a3, a9成等比数列，S5 a2.求数列an 的通项公式解：设数列an公差为d(d 0) 2- a1，a3, a9成等比数列， a3 a1a9,即(a 2d)2 2俎 8d),得 d2 add 0 , a1 d S5 a55 425a1 d (a1 4d)2由得:ai(n1)例2、已知 an满足an353n5112 an，而

3、a12 ,求 an .an 1anan是以2为首项，公式为1 一，一1的等比数列2an23、累加法 对形如ananf (n)(f(n)为等差或等比数列)的数列通项，可用累加法求出例1、已知数列an中,a1=1,对任意自然数n都有an an 1n(n1)'求 an.解:由已知得anan 1n(n 1)an 1a3an 2(n 1)n1a23a1得ana1(n 2)(n 1)一 ,(n 1)n n(n 1)2 n 1an例2、已知 an中解由已知可得an 1 a n_1 4n2(a2一 an1,2,a1)a114n2 1，求 an.2 2n 112n,(n(a31),代入得(n1)个等式累

4、加，即a2)(anan 1)a12(12n 3 2n 1一 an即an4n 212n 14n 34n 2评注：只要和f(1) f (2)f(n 1)是可求的，就可以由a。1 an f(n)以n 1,2,(n 1)代入，可得n 1个等式累加而求an ,称为累加法.例3、已知数列an, a1 7,an 1 2an 1 ,求数列an的通项公式.分析：由题目可知an 1与an的系数不相等，直接累加不能达到前后相消的目的，故可构造新 的数列，使相邻项的系数相等，然后再考虑使用这种方法解：Q an 1 2an 1 ,an 12 an2n令bn12nan12n 1 .bn2n(bnbnbn1)1bn(bna

5、n 12n 112n 1，bn 2)blan2na1212n 1722 1.4、累乘法f (n)的数列的通项，可用累乘求出对形如aan例1、已知a13,an 11),求 an 。3n 1.;ran (n3n 2解：an亚山3(n 1)3(n 2) 1L3(n2) 23 2 13 1a13 2 2 3 23n 43n 13n 3n 45-38 56O3n 1例2.设数列an是首项为2的正项数列，且满足(n 1)an 12nan an 1an求通项公式an解：由anW0 在等式两边同除以a2整理得(n1)(且)2ana2a3a2a4a3ann 1, r相乘得n所以，an =2 n5、公式法ana4

6、ai a2 a3an 1an1a11，即ana1nnn点评:f(n)类型的题，可用累乘法n(2n 1)3,求通项公式an.1例3、已知数列an中，a1 -,前n项和Sn与an的关系是Sn 3解：由 Sn n(2n 1)an得 S1 (n 1)(2n 3)4 1两式相减得：(2n1)an(2n3)an1,an 2n3412n5a21，,L L , an 1 2n1an 22n1a15将上面n-1个等式相乘得：an(2n 3)(2n 5)(2n 7)L 3 1a1(2n 1)(2n 1)(2n 3)L 7 53(2n 1)(2n 1)1an-(2n 1(2n 1)n 1例3：在数列J a n中，a

7、1 =2, an 1 =an，求数列J a n的通项公式。n分析：由题意可得:an 1 n 1 =,an n所以,a22=一 , a11a33a44=,=,a22a33an n，=，an 1n 1a把以上各式叠乘，倚 =n,又a1 =2, a1若已知数列的前n项和Sn与an的关系，求数列an的通项an可用公式Snn 1an求解 .n Sn Sn 1 n 2例 1 已知下面数列的前n 项和为Sn ，求其通项公式anSnn2 n 1 ；Sn2n1分析：数列 an中，an与Sn有关系：HnS1 ,SnSn(n=1)利用这一关系，1, (n 2)在知Sn时可求an.2解：(1) Sn n2n1n &g

8、t;2 时,2anSn Sn 1 (n1)(n21)2 (n 1) 1 2n 2a1S11 ，不满足上式1, an 2n(n= 1)2,(n2)Sn2nanSnSn 1(2n 1)(2n 1 1) 2n1又n = 1时,a1S121 11 ，满足上式n1an 2 ,n说明：解这类题时一定要检验a1 是否适合anSnSn 1 ，只有适合时才能合并为一个表达式，如(2)题；不适合时则应用分段函数表示，如(1)题.例 2 ：已知数列a n 前 n 项和 Sn3n5 ，求 a n 。解：由题意，易知a1S132 时， an SnSn 13n 5 3n 1 5 23n 1an22 3n 1n1n2an

9、2Sn 0.求数列an 的通例 3、 已知各项为正数的数列 an 的前 n 项和为Sn ,且满足a2n项公式.1 o解：由 an an 2sn 0,知 S0- (an3n),21,2、当 n2 时,Sn i (an 1 an 1 ),21 oo两式相减得an(ananan 1an J2 a2ana2 1 an 10,.(anan 1)(anan 11)0,.an各项为正，anan 11.又 a1 1 ,an n (n N ).例4、已知数列an的前n项和Sn满足Sn 2an ( 1)n,n1.求数列an的通项公式;解：由 a1 S1 2a1 1,得 a11.当 n 2时，有 an Sn Sn

10、1 2(an am) 2 ( 1)n, n 1an2an12 ( 1),an12an22 ( 1)n 2,a22a12.3 2n1al 2n1 ( 1) 2n 2 ( 12 L 2 ( 1j 12n 1 (2n 1 (22n2 31)n(2)n1( 2)n 21)n21 ( 2)n13(1)".经验证a16、迭代法(2)1也满足上式，所以an -2n 2 ( 1)n 1 3例 1、已知 a1 3,an 1a2, nN ,求an.解：条件 an1 a2 理解为 f(n 1) f2(n),而 f(n) f 2(n 1), L f(2)f2(1),利用函数的迭代得f(n) (f(1)2)K

11、)2=32nn n 1即 an 32例2、已知数列an满足a1 = 1, 且 an+1 = 3an +1 ,求 an .解：an=3an-1+1=3(3a n-2+1)+1=3 解-2+3 1+1 =3n-1 a1+3n-21+3n-3 1 +33n 11+1 =27、分类讨论法1例1、已知数列an中a1=1且anan+1=2(一),求通项公式.4一111a 1 一斛：由 anan+1=2 ()及 an+1an+2=2 ( 一),两式相除，得 =一,贝U a1,a3,a5,必-1 ,和44an 4a2,a4,a6,22n,都是公比为1的等比数列，又a1=1,a2= 1 ,则：(1)当n为奇数时

12、，42.n 11 n. n 21 n1n1 Fk11 -kKan 1 () 24 2 ； (2)当 n 为偶数时，an - (-) 2 4 2 .综合得 an 4 242 48、化归法1例1、已知数列an满足a-,5且当n 1,n N*时，有虫2aq.求防an1 2an解：当n 2时，由2 空八一1 an 1 2an得 an 1 an 4an 冏 0两边同除以anan1得，L JL 4，an an 1即L 1_ 4n 1且n N*成立，an a n 1，1_是以首项为5,公差为4的等差数列.an111一 一 (n 1)d 4n 1,所以，an .an a14n 1例2 已知数列an, a1 5

13、, an 2an 1 3,(n> 2),求an的通项公式.分析：递推公式an项与an 1项的系数不相等，不是等差数列，需构造转化解：: an 2an 1 3(n 1),令 an m 2(an 1 m).与式相比较对应系数相等得m=3.an 3 2(an 1 3).令 bn an 3,则 bn 2由 1, D a1 5 5 3 2.，bn是以2为首项，以2为公比的等比数列. .bn 2g2n 1 2n. an 2n 3.31a (n 1),评注：一般的形如'',(其中a, p, q, r都是常数且p q , p、qwQpan qan 1 r(n 1)都可利用这种方法转化成等

14、比数列来解.同学们可以把例1按这种方法转化一番.例3、已知正项数列an,a11,an1an,求数列an的通项公式.an 2分析：递推公式中一边是整式，一边是分式，可通过分别取倒数，统一成分式解：: an 1 二 , an 212.1.c1.1 1,1 2 1 ,令 bn 1 ,an 1anan 1anan则 bn1 2bn, b1 - 1 2, a1bn 2g2n 1 2n，工 1 2n，故可得 an n.an21a a评注：一般的形如pqn.其中a,p,q,r为常数，且r布，p、rwQ都可运用此种方an 15qan r法；若r p,则取倒数可转化成等差数列.22例8.设 an是首项为1的正项

15、数列，且 (n 1)an 1 nan an 1 an 0(n 1,2,3,L ),求数列的通项公式an.解：: an是首项为1的正项数列an an 10在已知式两边同除以 an an 1得 (n加1 里1 0anan 1令 a1At，得(n 1)t2 t n 0an分解因式得(n 1)t n(t 1) 0t ,t 1 (舍去)，即a,到此可采用:n 1ann 1法一：累乘法a2a3a4a5La1 a2 a3a4即 an1 ,又 a11 ,an1 .a1nn法二：迭代法n an 1 an3= Ln 1 n 1 n 1 n 2 an an 1 an 2nn n 1n 1 n 2 n 3 . 1La

16、1n n 1 n 221 n 法三：特殊数列法.Jnann 1(n 1闻1nan.数歹U ( n1）an 1是一个以a1为首项，1为公比的等比数列nan a11 an n9、待定系数法（构造法）（1）构造等差数列或等比数列例1设各项均为正数的数列由于等差数列与等比数列的通项公式显然，对于一些递推数列问题，若能构造等差数列或 等比数列，无疑是一种行之有效的构造方法.an的前n项和为 Sn,对于任意正整数n,都有等式:%+2双刊=4£上田、生工p*”成立，求an的通项an.af +2a - 45.& m &,凡+2口口 ="：一：+2% = 4（ &口一

17、 ）二解：I I 1, X X XT ' R 一 比 h 2） = 0"h/0 a -= 2?.即卜j是以2为公差的等差数列，且咛+% =4的=%=?.",1+ 2 （厅 - 1）2打例2数列况）中前n项的和工=2壮一% ,求数列的通项公式 .解：力"'I1当n*时，一%=2吁即一做一 1）一%=乜+2+/% =；聋A1+1 = % Z = ；（4T 2）A = A 九二胡.一2a= 1 - 2 = -1令塾R ，则 * ，且11优是以I为公比的等比数列,=-1广尸例3、已知数列 an满足ai1, an 1 2an 1(n N ) .求数列 an的

18、通项公式.解：因为 an i 2an 1 ,所以 an i 1 2(an 1),所以数列an 1是以小1 2为首项，以2为公比的等比数歹U.所以an 12n,即an 2n1.(n N )例4、已知数列 an , a11a22，an 1 3an 2an1 0 (n N解an 13an2an1 0,一 an 1an2( an an 1).一 an 1一 anan 2(anan(an是以2为公比，a?a1为首项的等比数列.2n 1an2n设an 2)a n 11)(an 1an 2)2120(a2 a1) ai2n 1pan 1qan可an,则可从形为：an 2 an 1(anp解得qan是公比为

19、的等比数列，就转化为前面的类型(2)构造差式与和式解题的基本思路就是构造出某个数列的相邻两项之差，然后采用迭加的方法就可求得这一 数列的通项公式.例1、设也是首项为1的正项数列，且d - “3 -S J 二° , (ne N*),求数 列的通项公式an.解：由题设得J一aK = % + (% zt)+ (%一) -I (% %4)1 +2 -b3 5 ='(二 +1)例2、数列W中, 式an.2心=3,且见初二(片+ 3)%.1 .(丙+ 2)% , (ne N*),求通项公解：;4 喊=(鹿+ 2)(%“一.)=(附 + 2)5.1)(。=(打+2)(加 + 1)*-4x3

20、(£z2= (/i+2)!,4 门+ (门上一门 i ) + (" j -? )+"' + n., 一 . t)1 + 2-KH3 3)、构造商式与积式构造数列相邻两项的商式，然后连乘也是求数列通项公式的一种简单方法1例5数列an中，an ,前n项的和6 n%n ,求an1.2解：口 w.i”二),、一“,，j血 "一1=> =建 2n +1?%a2fl_ 1 2111iXg = 1- -口 = * - X = "I"一口nil笃321(4)、构造对数式或倒数式有些数列若通过取对数，取倒数代数变形方法，可由复杂变为简单，

21、使问题得以解决a例 an 1 (n 2)的两边取倒数，转化为2an 11 ：数列 an 满足 a1 1, an (n 2),求 an。2a n i 1解：将an1,1 十2(n 2),则为首项an 1an1、，为工,公差为2的等差数歹U,a1111-(n 1) 2 2n 1, an ana12n 1例2:数列an满足a1八2 ,3, anan 1 (n 2)，求 an.解：将an an12(n 2)的两边取常用对数，可得lg an 2lg an 1(n 2)，则 ig an 为首项为lg a1,2n 1公比为2的等比数列，则igan 2n 1 lg3 ,an3。例3、已知数列an中a =1且an 1 -an(n N),求数列的通项公式。 1an 1即an1 an 11斛：an 1 =(n N)1an 1an 1ana n设bn1 6一人Jbn 1bn 1an则bn一 1,、一是以b1_1 1为首项,a11 n 1 n11bn n1为公差的等差数列例4:数列an满足a11, an 2an 11(n 2),求 an。解：可将an 2an 1 1(n 2)的两边同加1,转化为an 1 2(an 1 1),(n 2),可知an 1为首项为a1 1,公比为2的等比数列，an 1 (a1 1) 2n1 2n,. an 2n 1o(5)、构