高中数学论文巧解外接球的问题

1、快速解决巧解外接球问题如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多 面体，这个球称为多面体的外接球 .有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也 是高考考查的一个热点.考查学生的空间想象能力以及化归能力.研究多面体的外接球 问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元 素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作 用.、直接法（公式法）1、求正方体的外接球的有关问题例1 （2006年广东高考题）若棱长为 3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表 面积为.解析：要求球的表面积，只要知道球的半径

2、即可.因为正方体内接于球，所以它的体对角线正好为球的直径，因此，求球的半径可转化为先求正方体的体对角线长，再计算半径.故表面积为27 .例2 一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24,则该球的体积为.解析：要求球的体积，还是先得求出球的半径，而球的直径正好是正方体的体对角线， 因此，由正方体表面积可求出棱长，从而求出正方体的体对角线是 2百所以球的半径为0. 故该球的体积为4巧.2、求长方体的外接球的有关问题例3 （2007年天津高考题）一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为l2,3 ,则此球的表面积为解析：关键是求出球的半径，因为长方体内接于球，

3、所以它的体对角线正好为球的直径。 长方体体对角线长为 J14,故球的表面积为14 .例4、（2006年全国卷I）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4,体积为16,则这个球的表面积为（A. 16B. 20C. 24D. 32解析：正四棱柱也是长方体。由长方体的体积 16及高4可以求出长方体的底面边长为 2,因此，长方体的长、宽、高分别为2, 2, 4,于是等同于例3,故选C.3.求多面体的外接球的有关问题例5. 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为8 ,底面周长为3 ,则这个球的体积为6x 3,9.3 2.6 x h, 解 设正

4、六棱柱的底面边长为x，高为h ,则有 84正六棱柱的底面圆的半径12 ,球心到底面的距离、.32 .，外接球的半径R r2 d2 12小结本题是运用公式R2 .2r d求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式二、构造法（补形法）1、构造正方体例5 （2008年福建高考题）若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为M ,则其外接球的表面积是.解析：此题用一般解法，需要作出棱锥的高， 然后再设出球心，利用直角三角形计算球 的半径.而作为填空题，我们更想使用较为便捷的方法，所以三条侧棱两两垂直，使我们很 快联想到长方体的一个角，马上构造长方体，且侧棱长均相等，所以可构造正方体模型，如图1,则ac=b

5、c=cd 33 那么三棱锥的外接球的直径即为正方体的体对角线，故所求表面积是9 .（如图1）例3若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为J3,则其外接球的表面积是解据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直,，把这个三棱锥可以补成一个棱长为的正方体，于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球设其外接球的半径为R,则有2R2百2百T329.,R24.2-故其外接球的表面积S 4 R 9小结 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a、b、c,则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R,则有2R后 b2 出现“墙角”结构利用补形

6、知识，联系长方体。【原理】：长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为,则体对角线长为,几何体的外接球直径为2式体对角线长,即【例题】：在四面体ABCD中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分别为若该四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的表面积。解：因为：长方体外接球的直径为长方体的体对角线长所以：四面体外接球的直径为 &的长即:4* =十处+心X所以球的表面积为例6 （2003年全国卷）一个四面体的所有棱长都为J2 ,四个顶点在同一球面上，则解析：一般解法，需设出球心，作出高线，构造直角三角形，再计算球的半径.在此,由于所有棱长都相等，我们联想只有正方体中有这么多相等的线段，所以构造一个正方体,D

7、再寻找棱长相等的四面体，如图 2,四面体A BDE满足条件，即AB=AD=AE=BD=DE BE J2,由此可求得正方体的棱长为1,体对角线为J3 ,从而外接球的直径也为 百，所以此球的表面积便可求得，故选A.（如图2）例7 （2006年山东高考题）在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2 , DAB=60 0, E为AB的中点，将 ADE与BEC分布沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P,则三棱奉| P-DCE的外接球的体积为（）4、. 3 6. 66A./B.万C.D.五解析：（如图3）因为AE=EB=DC=1 ,DAB= CBE= DEA=60 0 ,所以AD AE=EB=BC=DC=D

8、E=CE=1 ,即三棱锥A、B、C、D, DA 平面 ABC例8 （2008年浙江高考题）已知球 0的面上四点图3AB BC, DA=AB=BC=6，则球。的体积等于解析：本题同样用一般方法时，需要找出球心，求出球的半径.而利用长方体模型很快便可找到球的直径，由于 DA 平面ABC, AB BC ,联想长方体中的相应线段关系， 构造如图4所示的长方体，又因为 DA=AB=BC= J3,则此长方体为正方体，所以 CD长9即为外接球的直径，利用直角三角形解出CD=3 .故球O的体积等于2 .（如图平面BCDBC DC ,若AB 6,AC=2而,AD=8 ,则球的体积是解析：首先可联想到例 8,构造

9、下面的长方体，于是 AD为球的直径，。为球心,OB=OC=4为半径，要求b、C两点间的球面距离，只要求出BOC即可，在Rt ABC中,求出BC=4,所以 BOC=600a故B、C两点间的球面距离是3 .（如图5）图5三.多面体几何性质法例2已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4,体积为16,则这个球的表面积是A.16B.20C.24D.322解 设正四棱柱的底面边长为 x ,外接球的半径为 R,则有4x 16,解得x 2.,2R收22 422拒R而.这个球的表面积是4 R2 24 .选C.小结本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的四.寻求轴截面圆半径法例4

10、正四棱锥S ABCD的底面边长和各侧棱长都为 72,点S、A B、C、D都在同一球面上，则此球的体积为解 设正四棱锥的底面中心为 。1,外接球的球心为 ,如图1所示.，由球的截面的性质，可得OO1平面ABCD .又SO1平面ABCD，球心必在SO1所在的直线上.ASC的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径2 一_2_ _ 2在 ASC 中，由 SA SC V2, AC 2,得 SA SC AC .ASC是以AC为斜边的RtAC 12是外接圆的半径，也是外接球的半径V球.故小结 根据题意，我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴截 面圆，于是该圆的半径就

11、是所求的外接球的半径.本题提供的这种思路是探求正棱锥外接球半径的通解通法，该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.这种等价转化的数学思想方法值得我们学习.五.确定球心位置法例5在矩形ABCD中，AB 4,BC 3沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B AC D ,则四面体ABCD的外接球的体积为125125125125A. 12B. 9C. 6D. 3解设矩形对角线的交点为0 ,则由矩形对角线互相平分，可知0A OB OC OD .点O到四面体的四个顶点 aR如图2所示.，外接球的半径-543OAV 球一R32.故31256.选 C.B C、D的距离相等，即点 O为四面体的外接球的球心,出现两个垂直关系，利用直角三角形结论。【原理】：直角三角形斜边中线等于斜边一半。球心为直角三角形斜边中点。【例题】：已知三棱锥的四个顶点都在球 0的球面上， 工且以二7严三5 , 尸C -任,AC = I 口，求球0的体积。解：|松13。且利1 = 7 ,月=5|,改=百，-10 ,因为十回1Q二所以知用= FA1 +FC、所以畏41所以可得图形为: