高三数学大一轮复习讲义正态分布

1、12.7正态分布1.A.B.C.D.解析通过正态分布对称性及已知条件得1-P 2WXW41 - 0.6826P(X>4)=0.1587 ,故选、选择题已知随机变量 X服从正态分布 N(3,1),且R2WXW4) = 0.6826,则P(X>4)=()0.15880.15870.15860.1585答案 B2.设随机变量服从正态分布N(1,f(x)2x 不存在零点的概率为() A.14B.C.D.解析函数f (x)2x不存在零点，则0,1,因为 N(1, 2),所以1,P答案3 .以 中（x）表示标准正态总体在区间（一8, x）内取值的概率，若随机变量己服从正态分d 2）,则概率P（

2、|己6V （T ）等于（）.A.（W+b） （l（t）B.（1）（1）1 一！C.-D. 2（w + b）（J解析由题意得，R| E 仙v。）= P | 乂 一 " | <1 =（1）（1） . （T答案 B4 .已知随机变量 XN3,2 2）,若X= 2 Tl + 3,则以刀）等于（）.A. 0 B . 1 C . 2 D . 4解析 由 X= 2rl +3,彳# D（X>=4D（刀），而 D（K =屋=4,- D（ 刀）=1.答案 B5 .标准正态总体在区间（一3,3）内取值的概率为（）.A. 0.998 7 B . 0.997 4 C . 0.944 D , 0.8

3、41 3解析标准正态分布 N0，1） , b =1,区间（一3,3）,即（一3。，3。），概率P= 0.997 4.答案 B1X Lt i,6.已知三个正态分布密度函数(J)i(x)=-=e-2-(xCR, i =1,2,3)的图象如、2n 2 皿图所示，则（）.A.(11<科2=科3,(71=(72>(73B. !11>(12=(13,CT1=(T2V(T3C. (11=(12<|13,(T1<(T2=(T3D. (11V(12=(13,(71=(T2V(T3所以其平均数相解析 正态分布密度函数（J） 2（X）和（J） 3（ X）的图象都是关于同一条直线对称,同

4、，故 =3,又巾2（X）的对称轴的横坐标值比巾1（ X）的对称轴的横坐标值大，故有阴V 2=科3.又。越大，曲线越“矮胖”，b越小，曲线越“瘦高”，由图象可知，正态分布密度函数（）1（X）和（）2（X）的图象一样"瘦高"，（）3（X）明显"矮胖"，从而可知（71= 0-2 < (T 3.答案 D7.在正态分布 N 0, 9中，数值前在（一8, 1） U （1 ,+8）内的概率为（）.9A. 0.097 B . 0.046 C . 0.03 D , 0.0026.1斛析 = 0，CT = -3P（Xv 1 或 X>1） = 1 P（1WxW1）

5、=1 Rl3（tWX< + 3（t） = 1 0.997 4 =0.0026.答案 D二、填空题8 .随机变量 七服从正态分布 N1 , 。2）,已知P（ E v 0） = 0.3，则P（ E v 2） =.解析 由题意可知，正态分布的图象关于直线工=1对称，所以/>二尸Re<O尸。.3, HR） = 1-03=0,7.答案0.79 .某班有50名学生，一次考试后数学成绩HN）服从正态分布N100,10 2）,已知R90W己w 100）= 0.3 ,估计该班学生数学成绩在110分以上的人数为 .-1-2P 90WEW100解析 由题意知，R己>110） =2=0.2，该

6、班学生数学成绩在110分以上的人数为 0.2 X 50= 10.答案 1010.在某项测量中，测量结果X服从正态分布 N(1 , (7 2)(T>0).若X在(0,1)内取值的概率为0.4 ,则X在(0,2)内取值的概率为 .解析.X服从正态分布(1 , (T2),X在(0,1)与(1,2)内取值的概率相同均为0.4. X在(0,2)内取值概率为 0.4 + 0.4=0.8答案 0.811.设随机变量 上服从正态分布 N(0,1),记(x) = P(己vx),给出下列结论：(0) =0.5 ;(x) = 1 (一x); P(| 己 |<2) =2 (2) -1.则正确结论的序号是.

7、答案12 .商场经营的某种包装大米的质量(单位：kg)服从正态分布 XN(10,0.1 2),任选一袋这种大米，质量在 9.810.2 kg的概率是.解析P(9.8< X<10.2) = P(10 0.2< X<10+ 0.2) = 0.954 4.答案 0.954 4三、解答题13 .某人乘车从 A地到B地，所需时间(分钟)服从正态分布 N(30,100),求此人在40分钟 至50分钟到达目的地的概率.解析 由 w=30, (r = 10,<Xw w + d) = 0.682 6 知，此人在20分钟至40分钟到达目的地的概率为0.682 6 ,又由于 P(w2(

8、t<X< w+2(t) = 0.954 4 ,所以此人在10分钟至20分钟和40分钟至50分钟到达目的地的概率为0.954 4 - 0.682 6 =0.271 8 ,由正态曲线关于直线x=30对称得此人在 40分钟至50分钟到达目的地的概率为 0.135 9.，(x)14 .若一批白炽灯共有 10 000只，其光通量 X服从正态分布，其概率密度函数是巾"21x-209=e方 ,x C ( 8 + 00 ) 试求光通量在下列范围内的灯泡的个数.6、2 兀72(1)2096209+ 6;(2)20918 209+ 18.解析由于X的概率密度函数为2 x (8, +OO ),

9、1x-209屋"(x) = nz=e-6 2 兀72(i = 209, cr = 6. b =209 6,+(T =209+6.-3(r=209-6X3= 209-18, + 3(r=209 + 6X3= 209+18.因此光通量 X的取值在区间(209 6,209 + 6) , (209 18,209 + 18)内的概率应分别是 0.682 6 和 0.997 4.(1)于是光通量X在209 6209+6范围内的灯泡个数大约是10 000 X0.682 6 = 6 826.(2)光通量在209 18209 + 18范围内的灯泡个数大约是10 000 X0.997 4 = 9 974

10、.15.在某次数学考试中，考生的成绩 己服从正态分布，即己N(100,100),已知满分为150分.(1)试求考试成绩己位于区间(80,120内的概率；(2)若这次考试共有2 000名考生参加，试估计这次考试及格(不小于90分)的人数.解析 (1)由己尺100,100)知 =100, )=10.P(80 V E <120)= P(100 20V 己 <100+ 20) = 0.954 4 ,即考试成绩位于区间(80,120内的概率为0.954 4.(2) P(90 v 己 <110)= P(100 10v 己 <100+ 10) = 0.682 6 ,1.P(E >

11、;110) = 2(1 0.682 6) =0.158 7 ,.P(>90)= 0.682 6 +0.158 7 = 0.841 3.，及格人数为 2 000 X 0.841 31 683(人).16.在某市组织的一次数学竞赛中全体参赛学生的成绩近似服从正态分布N(60,100),已知成绩在90分以上的学生有13人.(1)求此次参加竞赛的学生总数共有多少人？(2)若计划奖励竞赛成绩排在前228名的学生，问受奖学生的分数线是多少？解析设学生的得分情况为随机变量X, XN(60,100).则！ = 60, (7=10.(1) P(30 vXw90)= P(60 -3X 10< X<60+3X 10)= 0.997 4. 1P( X> 90) = 21 P(30 v X< 90) = 0.001 3，学生总数为:=10 00