备战中考数学直角三角形的边角关系(大题培优易错难题)含详细答案

1、备战中考数学直角三角形的边角关系(大题培优易错难题)含详细答案一、直角三角形的边角关系1.如图，某无人机于空中 A处探测到目标B、D的俯角分别是30 >60，此时无人机的飞 行高度AC为60m ,随后无人机从 A处继续水平飞行30 J3 m到达A'处.(1)求A、B之间的距离(2)求从无人机 A'上看目标口的俯角的正切值【答案】(1) 120米；(2) H3.5【解析】 【分析】E,连接A'D ,于是得到 A'E AC 60, DC=Y3AC=20j3 ,然后根据三角函数的定义(1)解直角三角形即可得到结论；过A'作A'E BC交BC的延长

2、线于CE AA' 30 £,在 RtABC中，求得即可得到结论.【详解】解：(1)由题意得：/ABD=30, /ADC=60,在 RtABC 中，AC=60m,60AB= AC = 1 =120 (m)sin30 一2(2)过A'作A'E BC交BC的延长线于E,连接A'D , 则 A' E AC 60, CE AA' 30 币,在 RtA ABC 中,AC=60m, / ADC=60 ,DC= - AC=20、3 3DE=50,3A'E 602 -tan Z A A' D= tanZ A'DC= = -v 3D

3、E 50-3 5答：从无人机 A'上看目标D的俯角的正切值是 243.5【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，添加辅助线建立直角三角形是解题的关键2 .小红将笔记本电脑水平放置在桌子上，显示屏OB与底板OA所在水平线的夹角为 120时，感觉最舒适(如图 1),侧面示意图为图 2；使用时为了散热，她在底板下面垫入散热 架ACO 后，电脑转到 AO，B，位置(如图3),侧面示意图为图 4.已知OA=OB=24cm, 。/ C± OA 于点 C,。/ C=12cm.(1)求/ CAO/的度数.(2)显示屏的顶部 B/比原来升高了多少？(3)如图4,垫入散热架后，要使显示屏。/ B，

4、与水平线的夹角仍保持 120。，则显示屏。/ B，应绕点。/按顺时针方向旋转多少度？【答案】(1) / CAO =30； (2) (36 方向旋转30°.【解析】-12x13) cm； (3)显示屏 O'域绕点O按顺时针试题分析：(1)通过解直角三角形即可得到结果；(2)过点B作BD, AO交AO的延长线于D,通过解直角三角形求得、反 j-BD=OBsinZ BOD=24X=1273 ,由C、O'、B'三点共线可得结果；(3)显示屏O而绕点O'按顺时针方向旋转 30°,求得/EO B'/干OA=30；既是显示屏O'应绕点O&#

5、39;按顺时针方向旋转 30°.试题解析：(1) ;。'(1OA 于 C, OA=OB=24cm,O'C O'C 12 1,-.sinZCAO/cao' =q 0(2)过点 B 作 BD, AO交 AO 的延长线于 D, 1. sinZ BOD=- , . . BD=OBsin/ BOD,OjD / AOB=120 ,° Z BOD=60 : 二 BD=OBsin/ BOD=24 xl =12O' LOA,/CAO' =30 ° ./AO' C=6 0：/AO' B' =120 Z AO

6、9; 叱 AO' C=1& 0 °.O， B' +OB D=24+12- 12 冉=36-12/，显示屏的顶部 B比原来升高了( 36-12后)cm；(3)显示屏O面绕点O'按顺时针方向旋转 30°,理由：显示屏O'内水平线的夹角仍保持 120。， ./EO' F=120 ° ./FO' A=CAO' =30 ° / AO' B' = 120 ° ./EO' BT FO' A=3 0 ° 显示屏O'底绕点O'按顺时针方向旋转

7、 30：5就J* >PJ * R:./ / 卢F:y/ ：/ :c o D考点：解直角三角形的应用；旋转的性质.3.如图，在平行四边形ABCD中，"平分,交"于点"，"厂平分乙，交仞于点F, "E与"F交于点P,连接EF PD.(1)求证：四边形是菱形；若= < /ID T一4"=町，求山山DP的值.【答案】(1)证明见解析【解析】试题分析：(1)根据AE平分/ BAD> BF平分/ABC及平行四边形的性质可得 AF=AB=BE 从而可知ABEF为平行四边形，又邻边相等，可知为菱形(2)由菱形的性质可知 A

8、P的长及/PAF=60,过点P作PHI± AD于H,即可得到PH、DH的长，从而可求tan/ADP试题解析：(1).AE平分/ BAD BF平分/ABC/ BAE=Z EAF / ABF=Z EBF1.AD/BC/ EAF=Z AEB ZAFB=Z EBF/ BAE=Z AEB Z AFB=Z ABF.AB=BE AB=AF.AF=AB=BE1.AD/BC.ABEF为平行四边形又 AB=BE.ABEF为菱形(2)作 PH，AD于 H由/ABC=60 而已（1）可知 /PAF=60, PA=2,贝U有 PH=73 , AH=1, . DH=AD-AH=5/ 小tanZ ADP= 考点：

9、1、平行四边形；2、菱形；3、直角三角形；4、三角函数4.如图，某公园内有一座古塔 AB,在塔的北面有一栋建筑物，某日上午 水平面的夹角为32 ,此时塔在建筑物的墙上留下了高3米的影子CD.与地面的夹角为45。，此时塔尖A在地面上的影子 E与墙角C的距离为 一条直线上），求塔 AB的高度.（结果精确到0.01米）参考数据：sin32 ° =0.5299cos32° = 0.8480tan32 ° =0.6249血 1.41429时太阳光线与中午12时太阳光线15 米（B、E、C 在【答案】塔高 AB约为32.99米.【解析】【分析】过点D作DHLAB,垂足为点H,

10、设AB= x,则AH= x- 3,解直角三角形即可得到结论.【详解】解：过点D作DHXAB,垂足为点 H.°/ ADH = 32 .=BC, /ABC =/ AHD = 90；设 AB = x,贝U AH = x - 3.在 RtABE 中,Z AEB = 45 ；得 tan AEBtan45AB 1EBEB = AB = x.HD = BC = BE + EC= x + 15.在 RtAHD 中,/ AHD = 90 ；得 tan ADHAHHD即得tan32x 15解得x15 tan32 3 32.99 .塔高【点睛】1 tan32AB约为32.99米.本题考查的是解直角三角形的

11、应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题 的关键.5 .如图，AB是。的直径，E是。上一点，C在AB的延长线上，ADLCE交CE的延长 线于点D,且AE平分/ DAC.(1)求证：CD是。的切线；(2)若 AB= 6, /ABE= 60°,求 AD 的长.9【答案】(1)详见解析；(2)-2【解析】【分析】(1)利用角平分线的性质得到 / OAE= / DAE,再利用半径相等得 / AEO= / OAE,等量代 换即可推出OE/AD,即可解题，(2)根据30。的三角函数值分别在 RtAABE中，AE= AB cos30 ； 在 RtA ADE 中，AD=cos30 1 A

12、即可解题.【详解】证明：如图，连接 OE, . AE 平分 / DAC,/ OAE= / DAE.,.OA=OE,/ AEO= / OAE./ AEO= / DAE. .OE/ AD. .DCXAC, OEXDC. .CD是。O的切线. D(2)解：.AB是直径,/ AEB= 90 ； / ABE= 60 :/ EAB= 30 ；在 RtMBE 中，AE=ABcos30 =6X立=3折2在 RtA ADE 中,/ DAE= / BAE= 30°,J39 .AD=cos30 X。AEjX3d3 = 3 .【点睛】本题考查了特殊的三角函数值的应用，切线的证明，中等难度，利用特殊的三角函数

13、表示 出所求线段是解题关键.6.如图，在平面直角坐标系中，直线 DE交x轴于点E (30, 0),交y轴于点D (0, 1、 j、工，、一，一公40),直线 AB: y=-x+5交x轴于点A,交y轴于点B,交直线 DE于点P,过点E作3EF，x轴交直线AB于点F,以EF为一边向右作正方形 EFGHI(1)求边EF的长；(2)将正方形EFGH沿射线FB的方向以每秒 J10个单位的速度匀速平移，得到正方形EiFiGiHi,在平移过程中边 FiGi始终与y轴垂直，设平移的时间为 t秒(t>0).当点Fi移动到点B时，求t的值； 当Gi, Hi两点中有一点移动到直线 DE上时，请直接写出此时正方

14、形日FiGiHi与4APE重叠部分的面积.【答案】(i) EF= i5； (2)i0 ；i20 ；【解析】【分析】(i)根据已知点 E (30, 0),点D (0, 40),求出直线 DE的直线解析式y=-x+40,可3求出P点坐标，进而求出 F点坐标即可；(2)易求B (0, 5),当点Fi移动到点B时，t=i0ji0Ti0=i0；F点移动到F'的距离是而tF垂直x轴方向移动的距离是t,当点H运动到直线DE上时，在RtF'NF中,NF _iNF 一3,EM=NG'=i5-F'N=i5-3t,在RDMH'中，-MH-EM 3 '45t=4, S=

15、- X (i2+j-) Xi023i-;8当点G运动到直线DE上时,在 RtF'PK中，-PK-,F K 3PK=t-3, F'K=3t-9,在 RtPKG'中,PKKG 15 3t 93t=7, S=i5X (i5-7) =i20.【详解】(i)设直线DE的直线解析式 y=kx+b, 将点 E (30, 0),点 D (0, 40),30k b 0b 4040直线AB与直线DE的交点P (2i, i2),由题意知F (30, 15),，EF= 15;(2)易求 B (0, 5),BF=10 .10 ,斤=10；，当点Fi移动到点B时，t=10ji0当点H运动到直线DE

16、上时，F点移动到F'的距离是加,在 RtF'NF 中,NF _1,NF 3.FN=t, F'N=3t,.MH'= FN= t,EM= NG'= 15- F'N= 15- 3t, 在 RtDMH'中，MH 4EM 3 't 4-，15 3t 3t=4,.EM = 3, MH'= 4,F点移动到F'的距离是济0t,PF=3/0,1 -PF'= >A0t-3 加, 在 RtF'PK 中，PK 1一,F K 3.PK= t-3, F'K= 3t9,在 RtA PKG中,PKKGt 34，15

17、3t 932 .t = 7,3 .S= 15 x(15-7) = 120.【点睛】本题考查一次函数图象及性质，正方形的性质；掌握待定系数法求函数解析式，利用三角 形的正切值求边的关系，利用勾股定理在直角三角形中建立边之间的联系，准确确定阴影 部分的面积是解题的关键.1 27.如图，已知二次函数 y x bx c的图象经过点 A (-3, 6),并与x轴交于点B (21, 0)和点C,顶点为点P.(1)求这个二次函数解析式;(2)设D为x轴上一点，满足 /DPO/BAQ求点D的坐标;(3)作直线AP,在抛物线的对称轴上是否存在一点M,在直线AP上是否存在点 N,使AM+MN的值最小？若存在，求出

18、 M、N的坐标：若不存在，请说明理由.【答案】(1)点C坐标为(3,0),点 P (1, -2) ; (2)点 P(7,0); ( 3)点 N (7, 14) .55【解析】【分析】(1)将点A、B坐标代入二次函数表达式，即可求解；(2)利用-11BH 221Sabc= x ACX BH= x BCMy 求出 sin a = -(= (=,则 tan22yAB2 加 &上 MD PMD 中，tan a =一PMxx 2/212 ,即可求解;M、(3)作点A关于对称轴的对称点 A' (5, 6),过点A作A吐AP分别交对称轴与点 交AP于点N,此时AM+MN最小，即可求解.【详解

19、】6 - 3b 3b 12(1)将点A、B坐标代入二次函数表达式得:2(，解得：3,0- b cc 22故：抛物线的表达式为：y=lx2-x-3,22令 y=0,则 x=-1 或 3,令 x=0,则 y=-3 ,2故点C坐标为(3, 0),点P (1, -2);设：/DPC=/BAC=a,(2)过点B作BH, AC交于点H,过点P作PGJ±x轴交于点G,由题意得：AB=2 而'，AC=6j2, BC=4, PC=2 衣，S>A ABC=1 >AC 汨H=1 >BC xyA, 22解得：BH=2 6，sinBH 2.21“AB 2105由题意得：GC=2=PG

20、,故 / PCB=45°,延长PC,过点D作DM，PC交于点M,则 MD=MC=x,在 PMD中,MDtan a-PMx _1 x 2.2-2解得：x=2j2,则 CD=J2x=4,故点 P (7, 0);(3)作点A关于对称轴的对称点 A' (5, 6),过点A作ANAP分别交对称轴与点 M、交AP于点N,此时AM+MN最小,直线AP表达式中的k值为： 2=-2,则直线AN表达式中的k值为1,42设直线AN的表达式为：y= x+b,2将点A'坐标代入上式并求解得：b=-,2故直线A N的表达式为：y=x+22当 x=1 时，y=4,故点 M (1 , 4),同理直线

21、AP的表达式为：y=-2x，联立 两个方程并求解得：x=-, 5故点 N (-7, 14). 55【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、解直角三角形等知识，其中( 用对称点求解最小值，是此类题目的一般方法.AB以每B重合)，8.如图，在 RtABC中，ZC= 90°, /A=30°, AB= 4,动点P从点A出发，出 秒2个单位长度的速度向终点 B运动.过点P作PD, AC于点D(点P不与点A, 作/DPQ= 60°,边PQ交射线DC于点Q.设点P的运动时间为t秒.(1)用含t的代数式表示线段 DC的长： ；(2)当t =时，点Q与点C重合时；(3

22、)当线段PQ的垂直平分线经过 4ABC一边中点时，求出t的值.II 3 51【答案】(1) 2v3一,0；(2)1； (3) t的值为歹或孑或不【分析】(1)先求出AC,用三角函数求出 AD,即可得出结论;(2)利用AQ=AQ即可得出结论；(3)分三种情况，利用锐角三角函数，即可得出结论.【详解】(1) AP= 21 , AB=4,/A=30° .AC= ., AD=二. CD=2% M-(2) AQ=2AD=2A；3i当AQ=AC时，Q与C重合即 =.(3) 如图，当PQ的垂直平分线过 AB的中点F时,. PF= 2PG= 2t,如图，当PQ的垂直平分线过111II/ PGF= 9

23、0 ； PG= PQ= ,AP= t, AF=AB= 2. / A= / AQP= 30 °,/ FPG= 60 ；/ PFG= 30 °,II.AP+PF= 2t + 2t = 2, .1.t=AC的中点N时, ./QMN = 90 ： AN=AC=>/3, QM=jPQ= AP=t.在 RtA NMQ 中，.AN + NQ= AQ, 如图，当PQ的垂直平分线过 BC的中点F时,/ H= 30 ： / BFHk 30 = / H,BH= BF= 1. / ABC= 60 ；在 RtA PEH 中,PH=2PE= 2t.5. AH=AP+ PH=AB+ BH, ，2t

24、+2t=5, ，t =季即当线段PQ的垂直平分线经过 ABC一边中点时,【点睛】t的值为13 5百或.或不此题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的判定和性质，锐角三角函数，垂直平分线 的性质，正确作出图形是解本题的关键.9.如图1,在RtABC中，ZACB= 90°, AC=3, BC= 4,动点P在线段BC上，点Q在线 段AB上，且PQ= BQ,延长QP交射线AC于点D.(1)求证：QA=QD;(2)设/ BAP= "，当2tan ”是正整数时，求 PC的长；(3)作点Q关于AC的对称点Q',连结QQ, AQ, DQ ,延长BC交线段DQ于点E,连结AE, QQ

25、分别与AP, AE交于点M, N (如图2所示).若存在常数 k,满足k?MN =PE?QQ,求k的值.【答案】(1)证明见解析(2)【解析】(1)由等腰三角形的性质得出/ B= / BPQ= / CPD,由直角三角形的性质得出 /BAC=ZD,即可得出结论；1(2)过点 P 作 PH, AB 于 H,设 PH= 3x, BH=4x, BP= 5x,由题意知 tan a= 1 或一，当2tan肝1时，HA= PH= 3x,与勾股定理得出 3x+4x= 5,解得x= 5,即可求出PC长;7当tan a 1时，HA= 2PH- 6x,得出6x+4x=5,解得x= 1 ,即可求出 PC长；22(3)

26、设QQ与AD交于点O,由轴对称的性质得出 AQ'= AQ= DQ= DQ；得出四边形一，一 ,1 、一一 一一一AQDQ是菱形，由菱形的性质得出QQ ± AD, A0= 一 AD,证出四边形 BEQQ是平行四边2形，得出 QQ = BE,设 CD= 3m,贝U PC= 4m, AD=3+3m,即 QQ - BE= 4m+4, PE= 8m,MOPC由三角函数得出 =tanZ PA4,即可得出结果.AOAC【详解】(1)证明：PQ= BQ,Z B= Z BPQ= Z CPD, Z ACB= Z PCEU 90 ,Z A+Z BAO 90 , Z D+Z CPD= 90 ；Z B

27、AC= Z D,QA = QD;(2)解：过点 P作PHXABT H,如图1所示：设 PH=3x, BH=4x, BP= 5x,4由题意得：tan Z BAO - , Z BAP< Z BAG, 312tan 是正整数时，tan先1或一，2当 tan a=1 时，HA=PH= 3x,3x+4x=5,5 x=一,73即 PC=4-5x=-；71当 tan a=时，HA= 2PH- 6x,26x+4x= 5,1 x=,23即 PC= 4 - 5x=;233综上所述，PC的长为它或3； 72(3)解：设QQ与AD交于点0,如图2所示：由轴对称的性质得：AQ = AQ= DQ= DO,四边形AQ

28、DQ是菱形，,1. .QQ ±AD, A0= - AD,2BC± AC,.QQ'/ BE,. BQ/ EQ；四边形BEQQ是平行四边形，.QQ'=BE,设 C4 3m,贝U PC= 4m, AD=3+3m,即 QQ BE= 4m+4, PE= 8m,MO = tanZPAC=里, AOAC3MOm = 4m,M 3即 MN= 2MO = 4m (1+m),PEgQQ'8m(4 4m)- k= 8本题是三角形综合题目，考查了等腰三角形的性质与判定、三角函数、勾股定理、菱形的 判定与性质、平行线的性质以及分类讨论等知识；本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的

29、 判定与性质，灵活运用三角函数是解题关键.10.在RtABC中，/ACB= 90°, CD是AB边的中线，DE± BC于E,连结 CD,点P在射线CB上（与B, C不重合）（1）如果 /A= 30°,如图1, /DCB等于多少度；如图2,点P在线段CB上，连结DP,将线段DP绕点D逆时针旋转60。，得到线段DF,连结BF,补全图2猜想CP、BF之间的数量关系，并证明你的结论；（2）如图3,若点P在线段CB的延长线上，且 /A= a （0°< a< 90°）,连结DP,将线段DP绕点逆时针旋转2 a得到线段DF,连结BF,请直接写出D

30、E、BF、BP三者的数量关系 （不需证明）【答案】（1）/DCB= 60°. 结论：CP= BF.理由见解析；（2）结论：BF- BP= 2DE?tan ”理由见解析.【解析】【分析】(1) 根据直角三角形斜边中线的性质，结合ZA=30°,只要证明4CDB是等边三角形即可； 根据全等三角形的判定推出 4DC百DBF,根据全等的性质得出CP= BF,(2)求出 DC= DB = AD, DE/ AC,求出 Z FDB= Z CDP= 2a 匕 PDB, DP= DF,根据全等三 角形的判定得出 ADC国DBF,求出CP= BF,推出BF- BP= BC,解直角三角形求出 CE

31、= DEtan ”即可.【详解】(1)Z A=30°, / ACB= 90°,/ B= 60 °, .AD= DB,-.CD=AD= DB, .CDB是等边三角形，/ DCB= 60 :如图1,结论：CP= BF,理由如下：图1 . /ACB= 90； D 是 AB 的中点，DEL BC, Z DCB= 60 °, .CDB为等边三角形./ CDB= 60 °二线段DP绕点D逆时针旋转60得到线段DF, / PDF= 60 ； DP= DF,/ FDB= / CDP,在 DCP和4DBF中DC DBCDP BDF , DP DF.,.DCFAD

32、BF, .CP= BF.(2)结论：BF- BP= 2DEtana.理由：/ACB= 90°, D 是 AB 的中点，DEL BC, / A= a,-.DC=DB= AD, DE/ AC,/ A= / ACD= a, / EDB= / A= a, BC= 2CE,/ BDC= / A+Z ACD= 2 a, / PD已 2 %/ FDB= / CDP= 2 a 廿 PDB,二线段DP绕点D逆时针旋转2 a得到线段DF,.DP= DF,在 DCP和4DBF中DC DBCDP BDF ,DP DF.,.DCFADBF,.CP= BF,而 CP= BC+BR .BF- BP= BC,在 R

33、tA CDE 中,/ DEO 90°, tanZ CDE= CE , DE .CE= DEtan / .BC= 2CE= 2DEtan ,a即 BF- BP= 2DEtana.【点睛】本题考查了三角形外角性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的性质和判定，直角三角形的性质，旋转的性质的应用，能推出 DC® DBF是解此题的关键，综合性比较强，证明过程类似.11 .已知：在 4ABC 中，ZACB=90°, CD± AB于 D, BE: AB=3: 5,若 CE=五 ,【答案】tan Z AEC=3, CD=12V?25【解析】解：在 RTA ACD 与

34、 RTA ABC 中4 / ABC+Z CAD=90 , / ACD+Z CAD=90 / ABC=Z ACD, cos/ ABC=cos/ ACD-5BC 4在 RTA ABC 中， 令 BC=4k,AB=5k 贝U AC=3kAB 5BE 3由 一 一，BE=3k 贝U CE=k且 CE=J2 贝U k= J2 , AC=3j2AB 5RT-A ACE中，tan Z AEC=C- =3ECCD 4_ 12 RT-A ACD 中 cos/ ACD=- , CD=阮.AC 55AD的垂直平12.如图，RtAABC, CA±BC, AC= 4,在 AB边上取一点 D,使 AD= BC,作 分线，交AC边于点F,交以AB为直径的。于G, H,设BC= x.(1)求证：四边形 AGDH为菱形；(2)若EF= y,求y关于x的函数关系式；(3)连结 OF, CG. 若4AOF为等腰三角形，求 。的面积；若BC= 3,则v/30CG+A.(直接写出答案).（2 后+2）【答案】(1)证明见解析；(2) y= 1x2 (x>0) ； ( 3)16兀或8兀或 83兀；4 727