导数与函数单调性-函数的极值-最值的关系

1、导数的应用 学案学习目标：内容：导数与函数单调性、函数的极值、最值的关系；能力：掌握应用导数求解函数的单调区间、极值与最值，并讨论函数的单调性；情感、态度、价值观： 提高学生应用数形结合思想与分类讨论思想的能力和意识；学习重点：求解三次函数、分式函数、对数式函数的单调性问题；学习难点：应用分类讨论与转化思想解决含字母系数的问题。教学过程一、基础练习：一_ _2_ 、,、一1、函数f(x) x (x 3)的单调增区间为 ；单调减区间为。2_解：f (x) 3x 6x2x0令 f (x) 0 x2或x 0； f (x) 0f(x)的增区间分别为(2)、(0,);减区间为(2,0)15其中，极大值f

2、( 2) 4,极小值f(0) 0。注：(1)依据导数和极限的思想，可以作出函数的草图。函数的图像主要 有两个方面：关键点：函数与 x轴的交点为点(0, 0)、( 3,0);函数的极值点为点(2, 4)、(0, 0)。函数图像的整体走势：函数的单调性与奇偶性等；无穷远处函数的取值趋势。当x时,当x时,则函数f(x)像大致为：作出函数的图像，可以更好地解决函数相关问题。例如：讨论方程x2(x 3) a (a是常数)根的情况。当a 4或a 0时，方程存在唯一的实根；当a 4或a 0时，方程有两个不同的实根；当0 a 4时，方程有三个不同的实根，即a得值在两个极值之间。(2)导函数图像与原函数图像间的

3、关系：原函数看单调，导函数看正负。导数f (x) 3x2 6x的图像为、2i;f (x)应用：根据导数图像分析原函数的性质J、，一 yf 单调性：f(x)的增区间分别为(，2)、2 .(0,);减区间为(2,0) /极值情况：极大值 f( 2) 4,极小值f (0) 0。32、函数f(x) x的单调增区间为解：f (x) 3x2,则 f (x) 3x2 0 , x R注：(1)四种三次函数的图像;-2以上是三次函数图像主要的四种类型，其它的可以看作是由此经过竖 直方向或水平方向的平移后得到的。(2)已知f(x)在X X0处可导，则f (Xo) 0是f(x)在x X0处取得极值的 条件。练习：函

4、数f(x)的定义域为(a,b),导函数f (x)在(a,b)内的图象如图 所示，则函数f(x)在开区间(a,b)内极小值点的个数为 。6 . 6x 3、函数f (x) 的增区间为 ,减区间为 x 16(x2 1) 6x 2x 6 6x2解：f (x) 222(x2 1)2(x2 1)2令 f (x) 01 x 1 ; f (x) 0 x1或x 1f(x)的增区间为(1,1),减区间分别为(，1)、(1,)。其中，极小值f( 1)3,极大值f (1) 3。注：(1)依据导数和极限作出函数草图：关键点：函数与 x轴的交点为点(0, 0)、；函数的极值点为点(1, 1)、(1, 3)。函数图像的整体

5、走势：函数的单调性与奇偶性等；无穷远处函数的取值趋势。当x时,f(x)0, f(x)0;时,f(x)0, f(x)0。即，x轴是f(x)的渐进线。6x则函数f (x)的图像大致为:x 1f (x)在R上是奇函数，在对称的区域内，函数的图像关于原点对称,进而可以判断函数的单调性与极值情况。(2)应用得到的图像可以深入探讨函数的相关问题。例如:函数的值域为3,3 ;6x方程a ( a为常数)实数根的分布情况；x2 16x6x不等式a或a恒成立时，a的取值范围等。x2 1 x2 1. 2x 1 4、函数f (x) r的增区间为 ,减区间为 (x 1)22(x 1) 2(2x 1)(x 1)3解：由题

6、得，x 1一2-一f (x)2(x 1)2(x 1)(2x 1)(x 1)4f (x)2x(x 1)3令 f (x) 02x(x 1) 00 x 1f (x) 02x(x 1) 0 x 0或 x 1f(x)的增区间为(0,1),减区间分别为(，0)、(1,)。其中，极小值f (0)1 ,但x 1不是极值点。注：作出函数的草图1关键点：与x轴的交点为点(一,0)；2极值点为(0, 1), x 1不是极值点，而是渐进线。函数图像的整体走势：当 x时，f(x) 0, f (x)当 x时，f(x) 0, f (x)由x 1是f(x)的渐进线，则当 x 1 时，f(x)i2x 1则f(x) 2的图像大致

7、为:(x 1)以具体的函数为载体，深入细致地研究函数的相关性质，并发现其中的规律。进而应用于含参类型的抽象函数问题中。二、巩固提高：一 -1 Q例1： f (x) -x ax 3a x 1,求f(x)的单倜区间。分析：健康管理师 三次函数确定单调区间，求导转化为二次不等式时，须注意：(1)二次函数的开口方向；(2)二次方程中，两根的大小关系；(3)根据需要，对字母系数的分类讨论；0a03a ( a) 4a0a0。0a0解：f (x) x2 2ax 3a2 (x a)(x 3a)当a 0时,f (x) x2 0,则f(x)在R上是增函数;当a 0时,令 f

8、(x)0 x 3a 或 xf (x)3a则f(x)的增区间分别为(3a,(a,3a);当a 0时，a 3a令 f (x) 0 xa或x3a ；f (x)3a则f(x)的增区间分别为(,3a)、(a,(3a, a);巩固练习：1、f (x)2x b /；一升,求 f (x), (x 1)并确定f (x)的单调区间。分析：(1)(2)(3)分式函数、根式函数与对数式函数问题中，先明确函数定义域;分式不等式的求解一一转化为整式不等式(同解变形) 根据需要，对字母系数的分类讨论；解：由题得,f (x)f (x)(b 1) 1 b 20022(x 1)2 (2x b) 2(x 1)(x 1)42(x 1

9、) 2(2x b)(x 1)32x(x2(x(b 1) 1)32时，f(x)2x (b 1)(x 1)3f(x)在(,1)、(1,当b 2时，b1) 2(2x b) (x 1)3(TV0)上分别为减函数;f(x)的增区间为(1,b令 f (x) 0(xf (x) 0(xf (x)的增区间为(b当b 2时，b 1 1令 f (x) 0(xf (x) 0(x1)x (b 1)01)x (b 1)01,1),减区间分别为1)x (b 1)01)x (b 1)01),减区间分别为b 1x 1x b 1或 x1(,b 1)、(1,)；1 x b 1x 1或 x b 1(,1)、(b 1,)；当 a 2时

10、，f (x)2x22x0开口向下;(x 2)(a 2)x (a 1)13122、函数 f (x) -(a 2)x-(3a 5)x2(a 1)x,求 f (x),并确32定f(x)的单调区间。分析：在求解含字母系数的二次不等式的过程中，须注意(1)若x2系数含字母，判断是否二次;(2)对应二次函数的开口方向:当a 2 0,开口向上；当a (2)对应二次方程两根的大小关系；解：f (x) (a 2)x2 (3a 5)x 2(a 1)f(x)的增区间为(，2),减区间为(2,);.一 .一- 2一当 a 3时，f (x) (x 2)0f (x)在R上是增函数;当a 3时，a 2令 f (x) 0U

11、2 a 2 a 1 或x 2； 2f (x) 0f(x)的增区间分别为当2 a 3时，a令 f (x) 0f (x)的增区间分别为当a 2时，a令 f (x) 0f (x)的增区间为备用例题:例 1 ： f (x)(1)； (2)1 3 一 x3若xa 1 ,aT2 a 1)、2 0,a 1a 2口a 2(2,),减区间为2(:2 a 1 a-2?a2、J1 2x 2； f (x)(x)减区间为(2,a 1a 2a 1,)；,2),减区间分别为(ax2 3a2x 1,a 1,a2恒有f (x)3a分析：转化与化归思想的应用, 通过等价转化解决问题。尤其在函数与不等式的解：(2) f (x) x

12、2 2ax3a2 (x a)(x 3a)由x a 1,a 2恒有f (x)(x) mina 1,a 2f (x)在a,)上是增函数，由f (x)在a得：1 4a2)、(2,求正数a的取值范围。 “恒成立”问题中,1,a 2上是增函数，f (x) min f (a 1) 13a转化4a2由 a 0,得：0 a 1。巩固练习：已知函数f (x) in x x2 ax ,(1)若f (x)在定义域内为增函数，求实数 a的取值范围;_2(2)设 g(x) f(x) x 1,当 a 1 时，求证：g(x) 0恒成(1)解：由题得：x 0r 1f (x) 2x ax1 一八一则 f (x) 2x a 0, x 0x得：f (x)min 0, x 0 转化2.1 2xx2x即x拦时，取2得