数学分析课本华师大三习题及答案

1、第二章 数列极限习题§1数列极限概念1、设=，n=1，2，a=0。（1）对下列分别求出极限定义中相应的N： =0.1，=0.01，=0.001；（2）对，可找到相应的N，这是否证明了趋于0？应该怎样做才对；（3）对给定的是否只能找到一个N？2、按N定义证明：（1）=1；（2）；（3）； （4）sin=0；（5）=0（a>0）。3、根据例2，例4和例5的结果求出下列极限，并指出哪些是无穷小数列：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）。4、证明：若= a，则对任一正整数k，有= a。5、试用定义证明：（1）数列不以1为极限；（2）数列发散。6、证明定理2.1，并应用

2、它证明数列的极限是1。7、证明：若= a，则|= |a|。当且仅当a为何值时反之也成立？8、按N定义证明：（1）=0； （2）=0； （3）=1，其中 n为偶数，=，n为奇数。§2收敛数列的性质1、求下列极限：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）。2、设= a，= b，且a<b。证明：存在正数N，使得当n>N时有<。3、设为无穷小数列，为有界数列，证明：为无穷小数列。4、求下列极限：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）。5、设与中一个是收敛数列，另一个是发散数列。证明±是发散数列，又问和（0）是否必为发散数列？6、证明以下数列发散：（1

3、）；（2）；（3）。7、判断以下结论是否成立（若成立，说明理由；若不成立，举出反例）：（1）若和都收敛，则收敛；（2）若，和都收敛，且有相同极限，则收敛8、求下列极限：（1）；（2）；（3）；（4）。9、设为m个正数，证明： =max。10、设= a 。证明：（1）= a ；（2）若a>0，>0，则=1。§3数列极限存在的条件1、利用= e求下列极限：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）。2、试问下面的解题方法是否正确：求。解：设=及= a。由于= 2，两边取极限（n）得a = 2 a，所以a = 0。3、证明下列数列极限存在并求其值：（1）设=，=，n=1，2，；

4、（2）设=（c>0），=，n=1，2，；（3）=（c>0），n=1，2，。4、利用为递增数列的结论，证明为递增数列。5、应用柯西收敛准则，证明以下数列收敛：（1）=；（2）=。6、证明：若单调数列含有一个收敛子列，则收敛：7、证明：若>0，且=l>1，则=0。8、证明：若为递增（递减）有界数列，则 =sup（inf）。又问逆命题成立否？9、利用不等式->（n+1）（b-a），b>a>0证明：为递减数列，并由此推出为有界数列。10、证明：|e-|<。提示：利用上题可知e<；又易证<+。11、给定两正数与（>），作出其等差中项=与等

5、比中项，一般地令，n=1，2，。证明：与皆存在且相等。12、设为有界数列，记 =sup，=inf，。证明：（1）对任何正整数n，；（2）为递减有界数列，为递增有界数列，且对任何正整数n，m有；（3）设和分别是和的极限，则；（4）收敛的充要条件是=。总练习题1、求下列数列的极限：（1）；（2）；（3）。2、证明：（1）=0（|q|<1）；（2）=0（a1）；（3）=0。3、设= a，证明：（1）= a（又问由此等式能否反过来推出= a）；（2）若>0（n=1，2，），则= a。4、应用上题的结论证明下列各题：（1）=0；（2）=1（a>0）； （3）=1； （4）=0；（5）=

6、 e； （6）=1；（7）若= a（>0），则= a； （8）若（-）= d，则= d。5、证明：若为递增数列，为递减数列，且（-）=0，则与都存在且相等。6、设数列满足：存在正数M，对一切n有 M。证明：数列与都收敛。7、设a>0，>0，=，n=1，2，。证明：数列收敛，且其极限为。8、设>>0，记 =，=，n=2，3，。证明：数列与的极限都存在且等于。9、按柯西收敛准则叙述数列发散的充要条件，并用它证明下列数列是发散的：（1）=；（2）=；（3）=。10、设= a，= b。记 = max，= min，n=1，2，。证明：（1）= max a ，b ；（2）=

7、min a ，b 。提示：参考第一章总练习题1。习题答案§1数列极限概念3、（1）0，无穷小数列；（2）1；（3）0，无穷小数列；（4）0，无穷小数列；（5）0，无穷小数列；（6）1；（7）1。§2收敛数列的性质1、（1）；（2）0；（3）；（4）；（5）10；（6）2。4、（1）1；（2）2；（3）3；（4）1；（5）0；（6）1。8、（1）0（提示：先证明<）；（2）1（提示：）；（3）0（提示：先证明0<）；（4）（提示：记，则）。§3数列极限存在的条件1、（1）；（2）e；（3）e；（4）；1。3、（1）2；（2）；（3）0。总练习题1、（1）

8、3；（2）0；（3）0。典型习题解答1、（§1第2（1）题）按N定义证明：=1证明：由于|-1|=<，所以对于任给的，取N=+1，则当n>N时，|<，所以=1。2、（§1第4题）证明：若= a，则对任一正整数k，有= a。证明：若= a，则由定义知：任给，存在N，当n>N时，|- a|<。于是当n>N时，n+k>n>N，所以|-a|<，故= a。3、（§2第1（4）题）。解：=。4、（§2第2题）设= a，= b，且a<b。证明：存在正数N，使得当n>N时有<。证明：取=（b-a）> 0，根据两个已知极限分别存在的、，当n>时，|- a|<，从而< a +=（a + b）；当n>时，|- b|<，从而> b -=（a + b）。取N = max，当n>N时，必有<（a + b）<。因此当n>N时有<。5、（§2第4（4）题）。解：当n>2时，<1-<1，且=1。故由迫敛性定理知，=1。6、（§3第3（1）题）证