第2章§3 3.1　数学归纳法

1、.3数学归纳法与贝努利不等式3.1数学归纳法1理解数学归纳法的原理及其使用范围，掌握数学归纳法证明的步骤重点2可以利用数学归纳法证明一些简单问题难点根底初探教材整理数学归纳法阅读教材P36P37“考虑交流以上部分，完成以下问题1数学归纳法的原理数学归纳法原理是：设有一个关于正整数n的命题，假设当n取第1个值n0时该命题成立，又在假设当n取第k个值时该命题成立后可以推出n取第k1个值时该命题成立，那么该命题对一切自然数nn0都成立2数学归纳法证明的步骤1验证当n取第一个值n0如n01或2等时命题正确2假设当nk时kN，kn0命题正确，证明当nk1时命题也正确在完成了上述两个步骤之后，就可以断定命

2、题对于从n0开场的所有正整数都正确判断正确的打“，错误的打“1用数学归纳法证明命题“多边形的内角和是n2180时，验证的第一个值是3.2用数学归纳法证明只与自然数n有关的命题时，第二步中在假设nkkn成立时，总是证明nk1时也成立3使用数学归纳法时，可以不使用归纳假设【解析】1因为边数最少的多边形是三角形2在证只与正整数有关的命题时，在假设nk成立的前提下，证明nk2时也成立3用数学归纳法证题中必须使用归纳假设【答案】123质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们讨论交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑： 小组合作型数学归纳法的概念用数学归纳法证明：1aa2an

3、1a1，nN，在验证n1成立时， 左边计算的结果是A1B1aC1aa2D1aa2a3【精彩点拨】只需把n1代入，观察式子左边规律即得答案【自主解答】实际是由1即a0起，每项指数增加1，到最后一项为an1，因此n1时，左边的最后一项应为a2，因此左边计算的结果应为1aa2.【答案】C验证n取第一个值n0时命题正确是运用数学归纳法的根底，一定要正确找出nn0时的命题.再练一题1假设fk1，那么fk1fk_. 【导学号：94910035】【解析】fk11，fk1fk.【答案】用数学归纳法证明等式用数学归纳法证明：1nN【精彩点拨】要证的等式左边共2n项，右边共n项，fk与fk1相比左边增二项，右边增

4、一项，而且左、右两边的首项不同因此，由“nk到“nk1时要注意项的合并【自主解答】当n1时，左边1右边，所以等式成立假设nk时等式成立，即1，那么当nk1时， 左边1右边，所以，nk1时等式成立由知，对任意nN，等式成立用数学归纳法证明与正整数有关的一些等式命题关键在于“先看项，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n的取值是否有关.由nk到nk1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项.再练一题2用数学归纳法证明：其中nN【证明】1当n1时，等式左边，等式右边，所以等式成立2假设nkk1，kN时等式成立，即成立 .那么nk1时，即nk1时等式成立由1，2可知，对任意nN等式

5、均成立探究共研型数学归纳法证明猜测探究1数学归纳法有两个步骤，那么它的两个步骤的作用分别是什么？【提示】在数学归纳法中的第一步“验证nn0时命题成立，是归纳的奠基、是推理证明的根底，第二步是归纳递推，保证了推理的连续性，证明了这一步，就可以断定这个命题对于n取第一个值n0后面的所有正整数也都成立探究2如何理解归纳假设在证明中的作用？【提示】归纳假设在证明中起一个桥梁的作用，联结第一个值n0和后续的n值所对应的情形在归纳递推的证明中，必须以归纳假设为根底进展证明否那么，就不是数学归纳法探究3假设数列an中，a11，an2a2n11.那么a2，a3，a4分别是多少？你能猜测出an吗？能否通过数学归

6、纳法证明【提示】由题意可以求出a11，a23，a37，a415，可以猜测an2n1，然后可以用数学归纳法证明设fn0nN，对任意正整数n1和n2总有fn1n2fn1fn2，又f24.1求f1，f3的值；2猜测fn的表达式，并证明你的猜测【精彩点拨】先求f1，f2，f3归纳猜测fn用数学归纳法证明【自主解答】1由于对任意正整数n1和n2，总有fn1n2fn1fn2取n1n21，得f2f1f1，即f214.fn0nN，f12.取n11，n22，得f323.2由f121，f2422，f323，初步归纳猜测fn2n.当n1时，f12成立；假设nk时，fk2k成立当nk1时，fk1fkf12k22k1，

7、这就是说当nk1时，猜测也成立由，得，对一切nN，fn2n都成立1实在掌握“观察、归纳、猜测、证明这一特殊到一般的推理方法2证明代数恒等式的关键是：第二步将式子转化成与归纳假设的构造一样的形式“凑假设，然后利用归纳假设，经过恒等变形，得到结论需要的形式“凑结论再练一题3数列an的第一项a15且Sn1ann2，nN1求a2，a3，a4，并由此猜测an的表达式；2用数学归纳法证明1中的猜测【解】1a2S1a15，a3S2a1a210，a4S3a1a2a3551020，猜测an2证明：当n1时，猜测显然成立当n2时，a252225，猜测成立假设nk时猜测成立，即ak52k2k2，kN，当nk1时，由

8、条件和假设有ak1Ska1a2a3ak551052k2552k152k12.故nk1时猜测也成立根据可知，对任意n2，nN，有an52n2.所以数列an的通项an构建体系1用数学归纳法证明1232n1n12n1时，在验证n1成立时，左边所得的代数式为A1B13C123D1234【解析】当n1时左边有2113项，所以左边所得的代数式为123.【答案】C2在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为nn3条时，第一步检验第一个值n0等于A1B2C3D0【解析】边数最少的凸n边形是三角形【答案】C3用数学归纳法证明等式“1352n1n2时，从k到k1左边需增加的代数式为A2k2B2k1C2kD2k1【解析】等式“1352n1n2中， 当nk时，等式的左边1352k1，当nk1时，等式的左边1352k12k111352k12k1，从k到k1左边需增加的代数式为2k1.【答案】D4用数学归纳法证明：“当n为奇数时，xnyn能被xy整除时，在归纳假设中，假设当nk时命题成立，那么下一步应证明n_时命题也成立【解析】两个奇数之间相差2，