类比探究性问题

1、1.（2012年河南年河南22）如图如图1，在四边形，在四边形ABCD中，点中，点E是是BC边的中点，点边的中点，点F是线段是线段AE上上一点，一点，BF的延长线交射线的延长线交射线CD于点于点G。 若若 = 3, 求求 的值的值.EFAF(1)尝试探究尝试探究在图在图1中，过点中，过点E作作EH / AB交交BG于点于点H，则，则AB和和EH的数量关系的数量关系是是_，CG和和EH的数量关系是的数量关系是_， 的值是的值是 _.初步感知初步感知CGCDCGCD(2)类比延伸类比延伸如图如图2，在原题的条件下，若，在原题的条件下，若 = m (m0), 则则 的值是的值是_（用含（用含m的代数

2、式表示），试写出解答过程的代数式表示），试写出解答过程.EFAFCGCD(3)拓展迁移拓展迁移如图如图3，梯形，梯形ABCD中，中，DC / AB，点，点E是是BC的延长线上一点，的延长线上一点，AE和和BD相交于点相交于点F，若，若 = a, = b (a0,b0), 则则 的值的值是是_（用含（用含a、b的代数式表示）的代数式表示）.CDABBEBCEFAFEDCABGFEDCABGFEDCABF 2.（2013河南河南22）如图如图1，将两个完全相同的三角形纸片，将两个完全相同的三角形纸片ABC和和DEC重合放置，其重合放置，其中中C=90，B=E=30. （1）操作发现操作发现 如图如

3、图2，固定，固定ABC，使，使DEC绕点绕点C旋转，旋转， 当点当点D恰好落在恰好落在AB边上时，填空：边上时，填空： 线段线段DE与与AC的位置关系是的位置关系是_； 初步感知初步感知 （2）猜想论证猜想论证 当当DEC绕点绕点C旋转到图旋转到图3所示的位置时，小明猜想（所示的位置时，小明猜想（1）中）中 与与 的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了BDC和和 AEC中中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想边上的高，请你证明小明的猜想.1S2S（3）拓展探究拓展探究 已知已知ABC=60，点，点D是其角平分线上一点，是其角平分线上一点，BD=CD=4，DE

4、/AB交交 BC于点于点E（如图（如图4）.若在射线若在射线BA上存在点上存在点F，使，使 ，请直接，请直接 写出相应的写出相应的BF的的长长.BDEDCFSSECBA D1S2S2S设设BDC的面积为的面积为 ，AEC的面积为的面积为 ， 则则 与与 的数量关系是的数量关系是_.1SA(D)B(E)CACBDMABCDEN题型特征题型特征 类比探究题以类比探究题以几何综合题几何综合题为主，题目一般有三问或为主，题目一般有三问或更多，每小问的更多，每小问的条件条件、结论结论和和图形相似度图形相似度很高，由很高，由特特殊殊情形到情形到一般一般情形（或由情形（或由简单简单情形到情形到复杂复杂情形）

5、逐步情形）逐步深入。深入。问题探究问题探究例例.(2010河南河南22）（1）操作发现）操作发现 如图，矩形如图，矩形ABCD中，中，E是是AD的中点，将的中点，将ABE沿沿BE折叠后得到折叠后得到GBE， 且点且点G在矩形在矩形ABCD内部小明将内部小明将BG延长交延长交DC于点于点F，认为，认为GF=DF，你同意吗？，你同意吗？说明理由；说明理由；（3）类比探究）类比探究 保持（保持（1）中的条件不变，若）中的条件不变，若DC=nDF，求，求 的值的值.ABAD（2）问题解决）问题解决 保持（保持（1）中的条件不变，若）中的条件不变，若DC=2DF，求，求 的值；的值；ABADEABCDF

6、G（1）操作发现）操作发现 如图，矩形如图，矩形ABCD中，中，E是是AD的中点，将的中点，将ABE沿沿BE折叠后得到折叠后得到GBE，且点，且点G在矩形在矩形ABCD内部小明将内部小明将BG延长交延长交DC于点于点F，认为，认为GF=DF，你同意吗？说明理，你同意吗？说明理由；由；ABCDEFGABCDEFG1243（2）问题解决）问题解决 保持（保持（1）中的条件不变，）中的条件不变， 若若DC=2DF，求，求 的值；的值；ABADBCADEFG（3）类比探究）类比探究保持（保持（1）中的条件不变，）中的条件不变，若若DC=nDF，求，求 的值；的值；ABADABCDEFG（2）问题解决）

7、问题解决 保持（保持（1）中的条件不变，若）中的条件不变，若DC=2DF，求，求 的值；的值；ABADBCADEFGxaABCDEFG（3）类比探究）类比探究保持（保持（1）中的条件不变，若）中的条件不变，若DC=nDF，求，求 的值；的值；ABAD类比过程示范：过程示范：naaan) 1（naaan2ABCDEFG解：解：设设FD=a,由（由（1）知，）知，GF=DF,则则GF=a又又在矩形在矩形ABCD中，中，CF=a, AB=CD=2a由折叠可知，由折叠可知，BG=AB=2a在在RtBFC中，中，aaaFCBFBC22 )3( 22222222aaABADDC=2DFDC=nDFCF=(

8、n-1)a, AB=CD=na由折叠可知，由折叠可知，BG=AB=na222222(1)( 1)2BCBFFCnanana22nannaADABnaaaa2a2a22BCADEFG类比解：由（解：由（1）知，）知，3=42+3=90，即，即BEF=90又又在在RtABE中，中，1+5=901+4=90由折叠可知，由折叠可知，1=24=52222aaABADABCDEFGaaa2xx12345RtABERtDEF又又DC=2DF设设FD=a, 则则CF=a,AB=2a又又点点E是是AD的中点的中点设设AE=x, 则则ED=xxaax2ax2aan) 1（naABCDEFGxx又又A=D=90又又

9、DC=nDF设设FD=a, 则则CF=(n-1)a,AB=naaxaxnnxa22nannaADABn变式训练：变式训练： 如图，在矩形如图，在矩形ABCD中，点中，点E是边是边CD的中点，的中点，将将ADE沿沿AE折叠后得到折叠后得到AFE，且点，且点F在矩在矩形形ABCD内部延长内部延长AF交边交边BC于点于点G,若若 ，则则 .17CGGBADAB（2014新乡一模填空第新乡一模填空第15题）题）2课堂检测课堂检测（1）问题背景）问题背景 如图如图1，RtABC中，中，BAC=90，AB=AC,ABC的平分线交直线的平分线交直线AC于于D， 过点过点C作作CEBD，交直线，交直线BD于于

10、E请请直接写出直接写出线段线段BD与与CE的数量关系的数量关系（事事实上，我们可以延长实上，我们可以延长CE与直线与直线BA相交，通过三角形的全等等知识解决问题）相交，通过三角形的全等等知识解决问题）（2）类比探索）类比探索在（在（1）中，如果把）中，如果把BD改为改为ABC的外角的外角ABF的平分线，的平分线，其他条件均不其他条件均不 变（如图变（如图2），（），（1）中的结论还成立吗？）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；（3）拓展延伸）拓展延伸 在（在（2）中，如果）中，如果ABAC，且，且AB=nAC（0n1），

11、其他，其他条件均不变（如图条件均不变（如图3），请你直接写出），请你直接写出BD与与CE的数量关系的数量关系结论：结论：BD= CE（用含（用含n的代数式表示）的代数式表示）（1）问题背景）问题背景 如图如图1，RtABC中，中，BAC=90，AB=AC,ABC的平分线交直线的平分线交直线AC于于D，过点，过点C作作CEBD，交直线，交直线BD于于E请探究线段请探究线段BD与与CE的数量关系（事实上，我们的数量关系（事实上，我们可以延长可以延长CE与直线与直线BA相交，通过三角形的全等等知识相交，通过三角形的全等等知识解决问题）解决问题）M图1 BD=2CE（2）类比探索）类比探索在（在（1）

12、中，如果把）中，如果把BD改为改为ABC的外角的外角ABF的的平分线，其他条件均不变（如图平分线，其他条件均不变（如图2），（），（1）中的结论）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；说明理由；M BD=2CE（3）拓展延伸）拓展延伸 在（在（2）中，如果）中，如果ABAC，且，且AB=nAC（0n1），其他条件均不变（如图其他条件均不变（如图3），请你直接写出），请你直接写出BD与与CE的数量关系结论：的数量关系结论：BD= CE（用含（用含n的代数式的代数式表示）表示）M2nBADCAMBDABnCMACBCM是等腰三

13、角形是等腰三角形即即 BD=nCMCM=2CE BD=2nCE方法总结方法总结BAD CAMBCM是等腰三角形是等腰三角形BADCAMBCM是等腰三角形是等腰三角形MBAD CAMBCM是等腰三角形是等腰三角形类比类比M类比类比MC题型变式：题型变式：（2014新乡一模第新乡一模第22题）题）在正方形在正方形ABCD中，对角线中，对角线AC，BD交于点交于点O，点，点P在线段在线段BC上（不与点上（不与点B重合），重合），BPE= ACB，PE交交BO于点于点E，过点，过点B作作BFPE，垂足为垂足为F，交，交AC于点于点G（1）当点）当点P与点与点C重合时（如图重合时（如图1），求证：），求证：BOG POE； 12MBAD CAM（2）通过观察、测量，猜想：）通过观察、测量，猜想： = ，并结合图并结合图2证明你的猜想；证明你的猜想；BFPEMN21MBD=2CEPE=2BF（3) 把正方形把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变（如图改为菱形，其他条件不变（如图3），），若若ACB= ，请直接写出，请直接写出 的值（用含的值（用含 的式子表示）的式子表示） MNBMNPENBPM是等腰三角形BFPE分析：分析：方法总结方法总结MNMN类比类比类比类比BPM是等腰三角形是等腰三角形BPM是等腰三