数字IIR滤波器的设计与研究j

1、实验总成绩： 装 订 线报告份数： 通信与信息工程学院 科研训练论文数字IIR滤波器的设计与研究The IRR digital filter design and research摘 要随着信息化的推进，数字信号处理的地位和作用变得越来越重要。因为信息化的基础是数字化，而数字化的核心技术就是数字信号处理。而数字滤波器在需要进行数字信号处理的许多系统中起着重要作用。实际上，语音处理设备、图像处理设备和数字通信系统等各种系统中都使用数字滤波器。在进行DSP系统设计时，往往先采用MATLAB等对算法进行仿真，确定最佳算法和参数。利用MATLAB的信号处理工具箱可以直接设计数字滤波器，也可以建立模拟原

2、型，离散化设计数字滤波器。本文在深刻理解数字滤波器的基础上，充分利用MATLAB强大的信号处理功能，对IIR数字滤波器进行设计。在IIR数字滤波器设计过程中，本文介绍了IIR数字滤波器的特点、结构、设计原理以及在MATLAB中的实现。1Design Of IIR Digital Filter Based On MATLABAbstractAlong with the information advancement, the digital signal processing status and the function changes more and more importantly. B

3、ecause the information foundation is the digitization, but the digitized core technology is the digital signal processing. In fact, the pronunciation handling equipment, the picture handling equipment and the digital communication system and so on in each kind of system all uses the digital filter.W

4、hen we design DSP system，usually used for such MATLAB simulation algorithm, so that best algorithms and parameters can be determinedThe digital filter can be designed and the analog filter model can be built by signal processing toolbox of MATLABThis paper introduces design principle of digital filt

5、er，procedures and rea1ization with MATLAB.This article in the profound understanding numeral filter foundation, fully uses the MATLAB formidable signal processing function, carries on the design to the IIR numeral filter. In the IIR numeral filter design process, this article introduced the IIR nume

6、ral filter characteristic, the structure, the principle of design as well as in the MATLAB realization.Keywords : IIR digital filter,Digital signal processing(DSP),MATLAB 引言1.1 IIR滤波器的设计的问题的提出随着信息化的推进，数字信号处理的地位和作用变得越来越重要。因为信息化的基础是数字化，而数字化的核心技术就是数字信号处理。半个世纪以来，在如此强有力的需求牵引下，伴随着计算机技术、微电子技术日新月异的突破，数字信号处理

7、的方法和应用越来越广泛和深入，发展十分迅速。“数字信号处理(DSP)”是研究数字序列信号的表示方法，并对信号进行运算，以提取包含在其中的特殊信息的一门学科。DSP是一门理论和实践密切结合的理论性和工程性都很强的学科，其理论性体现在，它综合应用数学、电路理论、信号与系统等领域的基础理论和方法，发展并形成了自己的理论体系，成为通信、雷达、声纳.、电声、电视、测控、生物医学工程的众多学科和领域的重要理论与技术基础。其工程性体现在，它的应用极为广泛，从科学技术的各个领域到国民经济的各个行业，从国防建设的各种武器到装备到林林总总的消费类电子产品的设计与生产，都是数字信号处理技术的应用领域。5而数字滤波器

8、在需要进行数字信号处理的许多系统中起着重要作用。实际上，语音处理设备、图像处理设备和数字通信系统等各种系统中都使用数字滤波器。一种强大的科学计算和工程仿真软件MATLAB就产生，它的交互式集成界面能帮助用户快速的完成数据分析，矩阵运算，数字信号处理，建模仿真等。在国际学术界，MTATLAB 已经被确认为准确、可靠的科学计算标准软件。在许多国际一流学术刊物上，（尤其是信息科学刊物），都可以看到 MTATLAB 的应用。MTATLA 作为计算工具和科技资源，可以扩大科学研究的范围、提高工程生产的效率、缩短开发周期、加快探索步伐、激发创造活力。以此为背景，本论文以MTATLAB对IIR的滤波器的设计

9、，通过MATLAB的信号处理工具箱的应用，让我们认识到数字信号处理的重要性。对数字信号处理技术在工程技术领域的认识有进一步的了解。本文首先介绍了MATLAB的基本内容，从理论上IIR数字滤波器进行深入细致的研究是非常必要的。本文对滤波器设计中的一些重要环节，包括IIR滤波器的原理、设计步骤等做了详细的阐述。31本论文主要研究内容现代社会发展要求通信系统功能越来越强，性能越来越高，构成越来越复杂；另一方面，要求数字信号处理技术研究和产品开发缩短周期，降低成本，提高水平。这样尖锐对立的两个方面的要求，只有通过使用强大的计算机辅助分析设计技术和工具才能实现。IIR数字滤波器在数字信号处理中有举足轻重

10、的地位，可以满足社会发展的要求。 本论文针对IIR滤波器的研究主要做了以下的工作：（1）介绍了数字滤波器的相关内容，包括数字滤波器分类、技术指标以及设计的一般方法。（2）对IIR滤波器的主要环节，包括基本结构以及IIR滤波器设计原理、特点，方法和过程进行了详细的阐述。（3）在理解IIR滤波器理论的基础上，利用MATLAB强大的仿真功能，用两种不同方法对IIR进行设计及分析。滤波器介绍数字滤波技术是数字信号处理中的一个重要环节，滤波器的设计则是信号处理的核心问题之一。而数字滤波器是通过数字运算实现滤波具有处理精度高、稳定、灵活、不存在阻抗匹配问题，可以实现模拟滤波器无法实现的特殊滤波功能。数字滤

11、波器根据其冲击响应函数的时域特性可分为两种，即无限长冲击响应（）数字滤波器和有限长冲击响应（）数字滤波器。实现滤波器的阶次较低，可以用较少的阶数获得很高的选择特性，所用的存储单元较少，效率高，精度高，而且能够保留一些模拟滤波器的优良性能，因此应用很广。与此同时，由于滤波器是递归结构，极点必须在平面的单位圆内才能稳定，所以滤波器适用于对相位要求不太严格的场合，如语音通信等。目前，数字滤波器的设计常借助计算机，利用软件来实现。可以采用函数直接设计法、脉冲响应不变法及双线性变换法等3种不同方法快速有效地完成了对数字低通、带通、全通的切比雪夫型滤波器的设计，并实现了结果的仿真。本文将根据滤波器的设计原

12、理，在环境下采用函数直接设计法等方法根据指定指标完成对滤波器的设计仿真，并给出相应的设计实例，仿真结果表明出设计的各项性能指标均可达到指定要求，反映出仿真设计的优越性。4 2.iir滤波器有以下几个特点1 iir数字滤波器的系统函数可以写成封闭函数的形式。2 iir数字滤波器采用递归型结构，即结构上带有反馈环路。iir滤波器运算结构通常由延时、乘以系数和相加等基本运算组成，可以组合成直接型、正准型、级联型、并联型四种结构形式，都具有反馈回路。由于运算中的舍入处理，使误差不断累积，有时会产生微弱的寄生振荡。3 iir数字滤波器在计上可以借助成熟的模拟滤波器的成果，如巴特沃斯、契比雪夫和椭圆滤波器

13、等，有现成的设计数据或图表可查，其设计工作量比较小，对计算工具的要求不高。在设计一个iir数字滤波器时，我们根据指标先写出模拟滤波器的公式，然后通过一定的变换，将模拟滤波器的公式转换成数字滤波器的公式。4 .iir数字滤波器的相位特性不好控制，对相位要求较高时，需加相位校准网络。在matlab下设计iir滤波器可使用buttterworth函数设计出巴特沃斯滤波器，使用cheby1函数设计出契比雪夫i型滤波器，使用cheby2设计出契比雪夫II型滤波器，使用ellipord函数设计出椭圆滤波器。下面主要介绍前两个函数的使用。与fir滤波器的设计不同，iir滤波器设计时的阶数不是由设计者指定，而

14、是根据设计者输入的各个滤波器参数（截止频率、通带滤纹、阻带衰减等），由软件设计出满足这些参数的最低滤波器阶数。在matlab下设计不同类型iir滤波器均有与之对应的函数用于阶数的选择。iir单位响应为无限脉冲序列fir单位响应为有限的iir幅频特性精度很高，不是线性相位的，可以应用于对相位信息不敏感的音频信号上；fir幅频特性精度较之于iir低，但是线性相位，就是不同频率分量的信号经过fir滤波器后他们的时间差不变。这是很好的性质。另外有限的单位响应也有利于对数字信号的处理，便于编程，用于计算的时延也小，这对实时的信号处理很重要3. IIR数字滤波器设计方法比较31 概述IIR数字滤波器的最通

15、用的方法是借助于模拟滤波器的设计方法。模拟滤波器设计已经有了相当成熟的技术和方法，有完整的设计公式，还有比较完整的图表可以查询，因此设计数字滤波器可以充分利用这些丰富的资源来进行。对于IIR数字滤波器的设计具体步骤如下：(1)按照一定的规则将给出的数字滤波器的技术指标转换为模拟低通滤波器的技术指标。(2)根据转换后的技术指标设计模拟低通滤波器G(s)(G(s)是低通滤波器的传递函数)。(3)再按照一定的规则将G(s)转换成H(z)(H(z)是数字滤波器的传递函数)。若设计的数字滤波器是低通的，上述的过程可以结束，若设计的是高通、带通或者是带阻滤波器，那么还需要下面的步骤：将高通、带通或带阻数字

16、滤波器的技术指标转换为低通模拟滤波器的技术指标，然后设计出低通G(s)，再将G(s)转换为H(z)。数字滤波器技术指标模拟滤波器技术指标变换 模拟滤波器设计方法模拟滤波器数字滤波器Matlab信号工具箱提供了几个直接设计IIR数字滤波器的函数，直接调用这些函数就可以很方便地对滤波器进行设计。这里选取巴特沃斯法、切比雪夫I、切比雪夫、椭圆法四种方法进行比较。给出用上述方法设计数字滤波器的函数如下：其中：Wp表示通带截止频率；Ws表示阻带截止频率；Rp表示通带纹波系数；Rs表示阻带纹波系数；N表示滤波器最小阶数；Wn表示截止频率。b，a分别表示阶次为N+1的数字滤波器系统传递函数的分子和分母多项式

17、系数向量；Fs为采样频率；n为在区间O Fs频率范围内选取的频率点数；f记录频率点数。n取2的幂次方，可以提高运算的速度，因为freqz函数采用基2的FFT算法。ftype=high时，为高通滤波器；ftype=bandpass时，为带通滤波器；ftype=stop时，为带阻滤波器。32 四种设计方法比较(1)在低通滤波器中的比较假如：Wp=20 Hz，Ws=50 Hz，Fs=200，Rp=1 dB，Rs=30 dB，分别用Butterworth低通滤波器、Chebyshev I型低通滤波器、Chebyshev型低通滤波器、椭圆低通滤波器四种方法进行设计，如图1所示。(2)在带通滤波器中的比较

18、假如：Wp=100，200，Ws=50，250，Rp=3 dB，Rs=30 dB，Fs=1 000，分别用Butterworth带通滤波器、Chebyshev I型带通滤波器、Chebyshev型带通滤波器、椭圆带通滤波器四种方法进行设计，如图3所示。(3)比较结果分析通过对各种类型的滤波器通过不同的方法进行设计，可以使一些结论得到验证。利用Butterworth滤波器、Chebysheve I型滤波器、Che-bysheve型滤波器、椭圆滤波器都可以进行低通和带通滤波器的设计，但是各有特点。Butterworth滤波器通带内的幅频响应曲线能得到最大限度的平滑，但牺牲了截止频率的坡度。Cheb

19、ysheve I型滤波器通带内等波纹，阻带内单调；Chebysheve型滤波器通带内单调，然而阻带内等波纹；椭圆滤波器阻带和通带内都是等波纹的，但下降的坡度更大，而且可以以更低的阶数实现和其他两类滤波器一样的性能指标。2(4)IIR数字滤波器应用假定信号的采样频率是600 Hz，输入信号的频率为100 Hz，180 Hz和250 Hz的合成频率波信号f(t)=sin(200t)+sin(360t)+sin(500t)，通过截止频率是120 Hz的巴特沃斯低通滤波器，通过滤波前后频谱的对比，可以发现信号通过滤波器后，两个高频的信号180 Hz和250 Hz的正弦信号被滤掉，达到了滤波的效果。图5

20、和图6给出了巴特沃斯低通滤波器滤波前后的频谱图。(5)IIR数字滤波器设计及实现设计IIR数字滤波器一般采用脉冲响应不变法和双线性变换法。 脉冲响应不变法：根据设计指标求出滤波器确定最小阶数N和截止频率Wc；计算相应的模拟滤波器系统函数；将模拟滤波器系统函数转换成数字滤波器系统函数 双线性变换法：根据数字低通技术指标得到滤波器的阶数N；取合适的T值，几遍校正计算相应模低通的技术指标；根据阶数N查表的到归一化低通原型系统函数，将代入，去归一化得到实际的；用双线性变换法将转换成数字滤波器6主要方法：(5.1)用脉冲响应不变法设计(5.2)、用双线性变换法完成上述设计结 论数字滤波器的应用十分广泛，

21、利用MATLAB语言，很容易地设计出IIR滤波器IIR滤波器可以用较少的阶数获得很高的选择特性，所用的存储单元少、运算次数少，具有经济、高效的特点在相位要求不敏感的场合，如语音通信等，适合用IIR滤波器。利用MATLAB的强大运算功能，基于MATLAB信号处理工具箱（Signal Processing Toolbox）的数字滤波器设计法可以快速有效的设计由软件组成的常规数字滤波器，设计方便、快捷，极大的减轻了工作量。通过本文的研究，对比了脉冲响应不变法和双线性变化法各自特点，以及适用场合，脉冲响应不变法的优点是：它是一个稳定的设计，主要用于设计某些要求在时域上能模仿模拟滤波器功能的数字滤波器。

22、这种变换法的主要特点是频率坐标的变换是线性的，即由于混叠现象，阻带边缘的衰减要比模拟滤波器稍差一点，但仍能满足指标的要求。脉冲响应不便映射要求这个模拟滤波器基本上是带限到某一低通或者带通，这种方法在阻带没有起伏的情况下才是有用的。双线性变换法的优点是：它是一种稳定的设计，不存在混叠现象，对能够变换的滤波器类型没有限制。但是这种方法也有缺点：模拟频率和数字频率之间是非线性的关系，它使得频率的标度弯曲，不能够保持原来的模拟滤波器的相频特性：的频率响应与模拟的有明显的差别。一般情况下，可以通过频率的预畸变进行校正，但总的来说，双线性变换法的仿真结果要比脉冲响应不变法的更加理想。 参考文献 

23、1 董长虹，余啸海Matlab信号处理与应用M国防工业出版社，2005232 韩得竹，王 华MATLAB电子仿真与应用M国防工业出版社，200145-463 邹鲲，袁俊泉，龚享铱MATLAB6x信号处理M清华大学出版社，2002123-1404 张立材，吴冬梅数字信号处理M北京邮电大学出版社2004170-1725 吴振扬数字信号处理的原理与实现M东南大学出版社，2002169-1706 丁玉美，高西全数字信号处理M西安电子科技出版社，20053-207 陈怀琛，高西全MATLAB及在电子信息课程中的应用M电子工业出版社，20038 张圣勤Matlab 7.0实用教程M机械工业出版社，2006

24、15-30附录一：(5.1)用脉冲响应不变法设计（1）根据设计指标求出滤波器确定最小阶数N和截止频率Wcclear;close all;clc; % 开始准备fp=3400;fs=5000;Fs=22050;Rp=2;Rs=20;T=1/Fs; % T=1s的模拟滤波器设计指标W1p=fp/Fs*2; W1s=fs/Fs*2; % 求归一化频率N, Wn = buttord(W1p, W1s, Rp, Rs, 's'); % 确定butterworth的最小阶数N和频率参数Wn 得到结果为：N =7Wn =0.3266即：该设计指标下的模拟滤波器最小阶数为N=7，其截至频率为W

25、n =0.3266；（2） 计算相应的模拟滤波器系统函数clear;close all;clc; % 开始准备 fp=3400;fs=5000;Fs=22050;Rp=2;Rs=20;T=1/Fs; % T=1s的模拟滤波器设计指标 W1p=fp/Fs*2; W1s=fs/Fs*2; % 求归一化频率N, Wn = buttord(W1p, W1s, Rp, Rs, 's'); % 确定butterworth的最小阶数N和频率参数Wn B,A=butter(N,1,'s') %计算相应的模拟滤波器系统函数得到结果为：B = 1.0e-003 * 0 0 0 0

26、0 0 0 0.3966A =1.0000 1.4678 1.0773 0.5084 0.1661 0.0375 0.0055 0.0004>> 将模拟滤波器系统函数转换成数字滤波器系统函数 clear;close all;clc; % 开始准备 fp=3400;fs=5000;Fs=22050;Rp=2;Rs=20;T=1/Fs; % T=1s的模拟滤波器设计指标 W1p=fp/Fs*2; W1s=fs/Fs*2; % 求归一化频率 N, Wn = buttord(W1p, W1s, Rp, Rs, 's'); % 确定butterworth的最小阶数N和频率参数

27、Wn B,A=butter(N,1,'s')； %计算相应的模拟滤波器系统函数 Bz,Az=impinvar(B,A) %用脉冲相应不变法将模拟滤波器转换成数字滤波器 sys=tf(Bz,Az,T)； %得到传输函数Bz =1.0e-004 *-0.0000 0.0045 0.2045 0.8747 0.7094 0.1090 0.0016 0Az =1.0000 -5.5415 13.2850 -17.8428 14.4878 -7.1069 1.9491 -0.2304即：由Bz和Az可以写出数字滤波器系统函数为：Transfer function: -9.992e-015

28、 z7 + 4.454e-007 z6 + 2.045e-005 z5 + 8.747e-005 z4 + 7.094e-005 z3 + 1.09e-005 z2 + 1.561e-007 z- z7 - 5.541 z6 + 13.28 z5 - 17.84 z4 + 14.49 z3 - 7.107 z2 + 1.949 z - 0.2304Sampling time: 4.5351e-005>>（3） 绘图clear;close all;clc; % 开始准备fp=3400;fs=5000;Fs=22050;Rp=2;Rs=20;T=1/Fs; % T=1s的模拟滤波器设计

29、指标W1p=fp/Fs*2; W1s=fs/Fs*2; % 求归一化频率N, Wn = buttord(W1p, W1s, Rp, Rs, 's'); % 确定butterworth的最小阶数N和频率参数Wn B,A=butter(N,Wn,'s'); %计算相应的模拟滤波器系统函数Bz,Az=impinvar(B,A); %用脉冲响应不变法将模拟滤波器转换成数字滤波器sys=tf(Bz,Az,T)； %得到传输函数H,W=freqz(Bz,Az,512,Fs); % 生成频率响应参数plot(W,20*log10(abs(H); % 绘制幅频响应grid on

30、; % 加坐标网格得到结果为：观察实验结果图可看到：在频率为3402Hz处频率为衰减2.015db，在频率为5017Hz处幅度衰减21.36db。且相位不满足线性。附录二：双线性变换法5.2)、用双线性变换法完成上述设计clear;close all;clc; % 开始准备fp=3400;fs=5000;Fs=22050;Rp=2;Rs=20;T=1/Fs; % 设计指标Wp=2*tan(2*pi*fp*T/2)/pi;Ws=2*tan(2*pi*fs*T/2)/pi; % 求归一化频率N, Wn = buttord(Wp, Ws, Rp, Rs, 's') %设计过渡模拟滤波

31、器结果为：N =6Wn =0.3749clear;close all;clc; % 开始准备fp=3400;fs=5000;Fs=22050;Rp=2;Rs=20;T=1/Fs; % 设计指标Wp=2*tan(2*pi*fp*T/2)/pi;Ws=2*tan(2*pi*fs*T/2)/pi; % 求归一化频率N, Wn = buttord(Wp, Ws, Rp, Rs, 's');B,A=butter(N,Wn,'s')； %计算相应的模拟滤波器系统函数Bz,Az=bilinear(B,A,Fs) %用双线性变换法转换成数字滤波器结果为>>Bz =

32、1.0e-014 *0 0 -0.1776 0.7105 -0.7105 0.4441 -0.0777Az =1.0000 -5.9999 14.9997 -19.9993 14.9993 -5.9997 0.9999>> clear;close all;clc; % 开始准备fp=3400;fs=5000;Fs=22050;Rp=2;Rs=20;T=1/Fs; % 设计指标Wp=2*tan(2*pi*fp*T/2)/pi;Ws=2*tan(2*pi*fs*T/2)/pi; % 求归一化频率N, Wn = buttord(Wp, Ws, Rp, Rs, 's');B

33、,A=butter(N,Wn,'s');Bz,Az=bilinear(B,A,Fs);sys=tf(Bz,Az,T)结果为：Transfer function:-1.776e-015 z4 + 7.105e-015 z3 - 7.105e-015 z2 + 4.441e-015 z - 7.772e-016- z6 - 6 z5 + 15 z4 - 20 z3 + 15 z2 - 6 z + 0.9999 Sampling time: 4.5351e-005>>N, Wn = buttord(Wp, Ws, Rp, Rs, 's')z,p,k = b

34、uttap(N); % 设计模拟低通原型的零极点增益参数Bp,Ap = zp2tf(z,p,k); % 将零极点增益转换成分子分母参数Bs,As = lp2lp(Bp,Ap,Wn*pi*Fs); % 将低通原型转换为模拟低通Bz,Az = bilinear (Bs,As,Fs);结果为：Bz = 0.0047 0.0280 0.0700 0.0933 0.0700 0.0280 0.0047Az = 1.0000 -1.9161 2.1559 -1.3866 0.5585 -0.1257 0.0125sys=tf(bz,az,T) % 给出传输函数H（z）结果为：Transfer functi

35、on: .004664 z6 + 0.02798 z5 + 0.06996 z4 + 0.09328 z3 + 0.06996 z2 + 0.02798 z + 0.004664-z6 - 1.916 z5 + 2.156 z4 - 1.387 z3 + 0.5585 z2 - 0.1257 z + 0.01252Sampling time: 4.5351e-005freqz(Bz,Az,512,Fs); % 生成频率响应参数grid on; % 加坐标网格title('双线性变换法');结果为：由图可以看出，设计满足要求，在频率为3402Hz处衰减1.009db，在频率为5017Hz处幅度衰减20.26 db。且相位不满足线性。正弦加性高斯白噪声通过双线性IIR低通滤波器clear allclcN1=1024;t=0:1:N1-1;fs=5000;s=(sin(2*100*pi*t/fs)+sin(2*pi*500*t/fs)+