抛物线及其标准方程教案

1、 抛物线及其标准方程 我们知道，与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数e的点的轨迹，当0e1时是椭圆，当e1时是双曲线那么，当e1时它是什么曲线呢？把一根直尺固定在图板上直线l的位置(图819)把一块三角尺的一条直角边紧靠着直尺的边缘，再把一条细绳的一端固定在三角尺的另一条直角边的一点A，取绳长等于点A到直角顶点C的长(即点A到直线l的距离)，并且把绳子的另一端固定在图板上的一点F用铅笔尖扣着绳子，使点A到笔尖的一段绳子紧靠着三角尺，然后将三角尺沿着直尺上下滑动，笔尖就在图板上描出了一条曲线从图819中可以看出，这条曲线上任意一点P到F的距离与它到直线l的距离相等把图板绕点F旋转90&#

2、176;，曲线就是初中见过的抛物线平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线下面根据抛物线的定义，我们来求抛物线的方程如图820，建立直角坐标系xOy，使x轴经过点F且垂直于直线l，垂足为K，并使原点与线段KF的中点重合 设点M(x，y)是抛物线上任意一点，点M到l的距离为d由抛物线的定义，抛物线就是集合P=M|MF|=d将上式两边平方并化简，得y22px(p0) 方程叫做抛物线的标准方程它表示的抛物线的焦点在x轴的一条抛物线，由于它在坐标平面内的位置不同，方程也不同所以抛物线的标准方程还有其他几种形式：y2=2px，x2=2py

3、，x2=2py这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程列表如下：例1 (1)已知抛物线的标准方程是y2=6x，求它的焦点坐标和准线方程；(2)已知抛物线的焦点坐标是F(0，2)，求它的标准方程线的标准方程是：x2=8y抛物线的简单几何性质 我们根据抛物线的标准方程y22px(p0)来研究它的几何性质1范围因为p0，由方程可知，这条抛物线上的点M的坐标(x，y)满足不等式x0，所以这条抛物线在y轴的右侧；当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸2对称性以y代y，方程不变，所以这条抛物线关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴3顶点抛物线和它的轴的交点叫

4、做抛物线的顶点在方程中，当y=0时，x=0，因此抛物线的顶点就是坐标原点4离心率抛物线上的点M与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e表示由抛物线的定义可知，e=15，焦点弦：若抛物线的焦点弦为AB，则；6.若OA、OB是过抛物线顶点O的两条互相垂直的弦，则直线AB恒经过定点例1 已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过解：因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在原点，并且经过点M(2，y2=2px(p0)因为点M在抛物线上，所以即p=2因此所求方程是y2=4x的范围内几个点的坐标，得描点画出抛物线的一部分，再利用对称性，就可以画出抛物线的另一部分(图823)在本题的画

5、图过程中，如果描出抛物线上更多的点，可以发现这条抛物线虽然也向右上方和右下方无限延伸，但并不能像双曲线那样无限地接近于某一直线，也就是说，抛物线没有渐近线这就是标准方程中2p的一种几何意义(图824)利用抛物线的几何性抛物线基本特征的草图例1、(1)抛物线C:y2=4x上一点P到点A(3,4)与到准线的距离和最小,则点 P的坐标为_ (2)抛物线C: y2=4x上一点Q到点B(4,1)与到焦点F的距离和最小,则点Q的坐标为 。分析：（1）A在抛物线外，如图，连PF，则，因而易发现，当A、P、F三点共线时，距离和最小。（2）B在抛物线内，如图，作QRl交于R，则当B、Q、R三点共线时，距离和最小

6、。解：（1）（2，）连PF，当A、P、F三点共线时，最小，此时AF的方程为 即 y=2(x-1),代入y2=4x得P(2,2)，（注：另一交点为()，它为直线AF与抛物线的另一交点，舍去）（2）（）过Q作QRl交于R，当B、Q、R三点共线时，最小，此时Q点的纵坐标为1，代入y2=4x得x=，Q()点评：这是利用定义将“点点距离”与“点线距离”互相转化的一个典型例题，请仔细体会。练习、已知抛物线y2=2x的弦AB所在直线过定点p(-2，0)，则弦AB中点的轨迹方程是 直线与圆锥曲线的位置关系一， 相交：直线与椭圆相交； 直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有，当直线与双曲线的渐近

7、线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。（1）直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点；如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点；（2）过双曲线1外一点的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下：P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两

8、支相切的两条切线，共四条；P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；P在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；P为原点时不存在这样的直线；（1） 过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线。常用知识点：1、焦半径（圆锥曲线上的点P到焦点F的距离）的计算方法：利用圆锥曲线的第二定义，转化到相应准线的距离，即焦半径，其中表示P到与F所对应的准线的距离。2、焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题：常利用第一定义和正弦、余弦定理求解。设

9、椭圆或双曲线上的一点到两焦点的距离分别为，焦点的面积为，则在椭圆中， ，且当即为短轴端点时，最大为；，当即为短轴端点时，的最大值为bc；对于双曲线的焦点三角形有：；。3、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质：（1）以过焦点的弦为直径的圆和准线相切；（2）设AB为焦点弦， M为准线与x轴的交点，则AMFBMF；（3）设AB为焦点弦，A、B在准线上的射影分别为A，B，若P为AB的中点，则PAPB；（4）若AO的延长线交准线于C，则BC平行于x轴，反之，若过B点平行于x轴的直线交准线于C点，则A，O，C三点共线。4、弦长公式：若直线与圆锥曲线相交于两点A、B，且分别为A、B的横坐标，则，若分别为

10、A、B的纵坐标，则，若弦AB所在直线方程设为，则。特别地，焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。5、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。在椭圆中，以为中点的弦所在直线的斜率k=；在双曲线中，以为中点的弦所在直线的斜率k=；在抛物线中，以为中点的弦所在直线的斜率k=。因为是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验！例2、定长为3的线段AB的两个端点在y=x2上移动，AB中点为M，求点M到x轴的最短距离。分析：（1）可直接利用抛物线设点，如设A(

11、x1,x12)，B(x2，X22)，又设AB中点为M(x0y0)用弦长公式及中点公式得出y0关于x0的函数表达式，再用函数思想求出最短距离。（2）M到x轴的距离是一种“点线距离”，可先考虑M到准线的距离，想到用定义法。解法一：设A(x1，x12)，B(x2，x22)，AB中点M(x0，y0)则由得(x1-x2)21+(x1+x2)2=9即(x1+x2)2-4x1x2·1+(x1+x2)2=9 由、得2x1x2=(2x0)2-2y0=4x02-2y0代入得 (2x0)2-(8x02-4y0)·1+(2x0)2=9， 当4x02+1=3 即 时，此时法二：如图， 即， 当AB经

12、过焦点F时取得最小值。M到x轴的最短距离为【同步练习】1、已知：F1，F2是双曲线的左、右焦点，过F1作直线交双曲线左支于点A、B，若，ABF2的周长为（ ）A、4a B、4a+m C、4a+2m D、4a-m 2、若点P到点F(4,0)的距离比它到直线x+5=0的距离小1，则P点的轨迹方程是 （ ）A、y2=-16x B、y2=-32x C、y2=16x D、y2=32x3、已知ABC的三边AB、BC、AC的长依次成等差数列，且，点B、C的坐标分别为(-1，0)，(1，0)，则顶点A的轨迹方程是（ ）A、 B、 C、 D、4、过原点的椭圆的一个焦点为F(1，0)，其长轴长为4，则椭圆中心的轨

13、迹方程是 （ ）A、 B、C、 D、5、已知双曲线上一点M的横坐标为4，则点M到左焦点的距离是 6、抛物线y=2x2截一组斜率为2的平行直线，所得弦中点的轨迹方程是 7、过双曲线x2-y2=4的焦点且平行于虚轴的弦长为 8、直线y=kx+1与双曲线x2-y2=1的交点个数只有一个，则k= 9、设点P是椭圆上的动点，F1，F2是椭圆的两个焦点，求sinF1PF2的最大值。10、已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，左焦点到坐标原点、右焦点、右准线的距离依次成等差数列，若直线l与此椭圆相交于A、B两点，且AB中点M为(-2，1)，求直线l的方程和椭圆方程。11、已知直线l和双曲线及其渐近线的交点从左

14、到右依次为A、B、C、D。求证：。【参考答案】 1、C，选C2、C点P到F与到x+4=0等距离，P点轨迹为抛物线 p=8开口向右，则方程为y2=16x，选C3、D，且点A的轨迹为椭圆在y轴右方的部分、又A、B、C三点不共线，即y0，故选D。4、A设中心为(x，y)，则另一焦点为(2x-1，2y)，则原点到两焦点距离和为4得， 又c<a,(x-1)2+y2<4 ，由，得x-1，选A5、左准线为x=-，M到左准线距离为 则M到左焦点的距离为6、设弦为AB，A(x1，y1)，B(x2，y2)AB中点为(x，y)，则y1=2x12，y2=2x22，y1-y2=2(x12-x22) 2=2&

15、#183;2x，将代入y=2x2得，轨迹方程是(y>)7、y2=x+2(x>2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点M(x，y)，则，即y2=x+2又弦中点在已知抛物线内P，即y2<2x，即x+2<2x，x>28、4，令代入方程得8-y2=4y2=4，y=±2，弦长为49、y=kx+1代入x2-y2=1得x2-(kx+1)2-1=0(1-k2)x2-2kx-2=0得4k2+8(1-k2)=0，k=1-k2=0得k=±110、解：a2=25，b2=9，c2=16设F1、F2为左、右焦点，则F1(-4，0)F2(4，0)设则 2-得2r1r2(1+cos)=4b2 1+cos= r1+r2， r1r2的最大值为a21+cos的最小值为，即1+coscos， 则当时，sin取值得最大值1，即sinF1PF2的最大值为1。11、设椭圆方程为由题意：C、2C、成等差数列，a2=2(a2-b22DDFFF2+2222222大案要案 000),a2=2b2椭圆方程为，设A(x1，y1)，B(x2，y2)则 -得2222222即