数学分析试题库证明题

1、数学分析题库（1-22章）五证明题1设A，B为R中的非空数集，且满足下述条件：（1）对任何有；（2）对任何，存在，使得.证明：2.设A，B是非空数集，记，证明：（1）；（2）3. 按定义证明4.如何用-N方法给出的正面陈述？并验证|和|是发散数列.5.用方法验证：.6 用方法验证：.7 . 设，在某邻域内，又证明.8.设在点的邻域内有定义.试证：若对任何满足下述条件的数列，（1），（2），都有，则.9. 证明函数在处连续，但是在处不连续.10.设在（0，1）内有定义，且函数与在（0，1）内是递增的，试证在（0，1）内连续.11. 试证函数，在上是不一致连续的.12. 设函数在（a,b）内连续，

2、且=0，证明在（a,b）内有最大值或最小值.13. 证明：若在有限区间（a,b）内单调有界函数是连续的，则此函数在（a,b）内是一致连续的.14 . 证明：若在点a处可导，f（x）在点a处可导.15. 设函数内可导，在a,b上连续，且导函数严格递增，若证明，对一切均有16. 设函数在内可导，并且，试证：若当时，有则存在唯一的使得，又若把条件减弱为，所述结论是否成立？17. 证明不等式18.设为上的连续函数，对所有，且，证明必能取到最大值.19. 若函数在上二阶可导, 且，则存在使得.20. 应用函数的单调性证明21. 设函数 （为实数），试问：（1）等于何值时，在连续；（2）等于何值时，在可导

3、； （3）等于何值时，在连续；22. 设在上具有二阶导数，且满足条件，其中都是非负常数，是内的任一点，证明23. 设函数上连续，在（a,b）内二阶可导，则存在使得24. 若在点的某个领域上有阶连续导函数,试由泰勒公式的拉格朗日型余项推导佩亚诺型余项公式.25. 用泰勒公式证明:设函数在上连续,在内二阶可导,则存在,使得.26. 设函数在上二阶可导,且在上,.证明在上成立.27. 设是开区间I上的凸函数,则对任何,在上满足利普希茨(Lipschitz)条件,即存在,对任何,成立.28. 设在 上满足Lipschitz条件：, 证明在上一致连续.29. 试证明方程在区间内有唯一实根。30. 设函数

4、在点具有连续的二阶导数，试证明：31. 设在上可导，且.求证：存在，使.32. 设在上连续，在内有阶导数，且存在个点满足：求证：存在，使. 33. 设函数在点存在左右导数，试证在点连续.34. 设函数在上可导，证明：存在，使得.35应用拉格朗日中值定理证明下列不等式：，其中.36.证明:任何有限数集都没有聚点.37.设是一个严格开区间套,即满足,且.证明:存在唯一的一点,使得.38.设为单调数列.证明:若存在聚点,则必是唯一的,且为的确界.39.若函数在闭区间上连续,证明在上一致连续.40.若函数在闭区间上连续, 证明在上有界.41.若函数在闭区间上连续,证明在上有最大值.42.若函数在闭区间

5、上连续且单调增加,证明为上的增函数.43.函数在闭区间上连续.证明.44.若函数在闭区间上单调,证明在上可积.45.若函数在闭区间上连续,且不恒等于零,证明.46.设函数为上以为周期的连续周期函数.证明对任何实数,恒有.47.若函数在上连续,且,证明.48.若函数和在上可积,证明.49.若函数在上可积,且为偶函数,证明.50.若函数在上可积,证明函数在上连续.51.若函数在闭区间上连续,且.若为介于与之间的任何实数,则存在,使得.52. 若函数在上连续,证明函数在上处处可导,且.53.若数列有,则级数发散.54.设为正项级数,且存在常数,使得对一切,成立.证明级数收敛.55.设和为正项级数,且

6、对一切,成立.级数收敛.证明级数也收敛.56.设正项级数收敛.证明级数也收敛.试问反之是否成立?57.设,且有界,证明级数收敛.58.设级数收敛.证明级数也收敛.59.若,且级数绝对收敛,证明级数也收敛. 若上述条件中只知道级数收敛,能推得级数也收敛吗?60.设,证明级数收敛.61. . 证明在内, .62. 设数列单调收敛于零.试证明:级数在区间 上一致收敛.63. 几何级数 在区间上一致收敛；但在内非一致收敛.64. 设数列单调收敛于零 . 证明 : 级数 在区间 上一致收敛.65. 证明级数在R内一致收敛 . 66. 证明函数满足微分方程 .67. 设 证明对存在并求其值.68. 证明：

7、幂级数的和函数为,.并求级数和Leibniz级数的和.69. 证明：幂级数的和函数为 , .并利用该幂级数的和函数求幂级数的和函数以及数项级数的和.70. 证明幂级数的和函数为，并利用该幂级数的和函数求数项级数的和.71. 设是以为周期的分段连续函数, 又 满足.求证 的Fourier系数 满足72. 设是以为周期的分段连续函数, 又设 是偶函数，且满足.求证： 的Fourier系数73求证函数系是上的正交函数系.74设是以为周期的连续的偶函数。又设关于对称，试证：的傅立叶系数：.75. 设是以为周期的可微周期函数，又设连续，是的Fourier系数.求证：.76. 证明极限不存在。77. 用极

8、限定义证明： 78. 证明极限不存在.79. 设在 连续，证明：对在连续.80. 证明：如果在 连续，且，则对任意,对一切有81. 证明：在点处连续且偏导数不存在.82. 证明； 在点连续，且不存在.83. 证明在 点处连续且偏导数存在.84. 设 函数在的某邻域内存在偏导数，若属于该邻域，则存在和 ， 使得 。85. 证明： ,在点不可微.86. 证明: 对任意常数, 球面与锥面是正交的.87. 证明: 以为参数的曲线族是相互正交的(当相交时).88. 证明: 由方程所确定的隐函数满足,其中二阶可导.89. 设, 证明90. 证明含参量反常积分在上一致收敛，但在内不一致收敛。91. 证明含参

9、量的反常积分为常数是一致收敛的.92. 证明含参量的反常积分是一致收敛的.93. 若在内可积, 证明.94.证明在整个XY平面上是某个函数的全微分, 并找出这样一个原函数. 95.设一力场为 F i +j . 证明质点在此力场内移动时, 场力所作的功与路径无关. 96.证明, 其中L是球面 与平面 的交线 ( 它是圆周 ) , 从X轴的正向看去, 此圆周呈逆时针方向.97.证明, 其中L是圆柱面与平面 的交线(它是椭圆 ) , 从X轴的正向看去, 此椭圆周呈逆时针方向.98.证明=,其中L是圆柱面与平面( )的交线( 它是椭圆 ) , 从X轴的正向看去 , 此椭圆周呈逆时针方向.99.证明：若为有界闭区域D上的非负连续函数，且在D上不恒为零，则. 100.证明二重积分=，其中.101.设是上的正值连续,则.102.设在