机械振动与机械波复习(答案)

1、 机械振动与机械波复习振动学基础知识点：1 1  简谐振动方程振幅A：取决于振动的能量（初始条件）。角频率w：取决于振动系统本身的性质。初相位f：取决于初始时刻的选择。2 2  振动相位wt+f：表示振动物体在t时刻的运动状态。f：初相位，即t=0时刻的相位。3 3  简谐振动的运动微分方程弹性力或准弹性力 角频率：， A与f由初始条件决定： ， 4 4  简谐振动能量， ， 5 5  同一直线上两个同频率简谐振动的合成合振幅： 同相： ， 反相： ， 重点：1 1  简谐振动的特点，以及简谐振动方程中各物理量振幅A，角频率

2、w，初相位f，相位（wt+f）的意义；2 2  简谐振动的旋转矢量表示法；3 3  由已知初始条件建立简谐振动方程，以及由已知简谐振动方程确定物体的位置、速度、加速度的方法；4 4  在同一直线上两个同频率简谐振动的合成规律。 难点：1 1  相位，初始相位的理解和求解；2 2  建立简谐振动方程, 简谐振动的合成；3 3  拍和拍频。 机械波  知识点：1 1  机械波产生的条件：波源和媒质。通过各质元的弹性联系形成波。2 2  波的传播是振动相位的传播，沿波的传播方向，各质元振动的相位依次落

3、后。3 3  波速u，波的周期T及波长l的关系， 4 4  平面简谐波的表达式（设座标原点O的振动初相位为f）5 5  波的传播是能量的传播平均能量密度 平均能流密度即波的强度 6 6  波的干涉干涉现象：几列波叠加时合成强度在空间有一稳定分布的现象。波的相干条件：频率相同，振动方向相同，相位差恒定。干涉加强条件： 干涉减弱条件： 7 7  驻波：两列振幅相同的相干波，在同一直线上沿相反方向传播时形成驻波。波节：振幅恒为零的各点。波腹：振幅最大的各点。相邻两波节之间各点振动相位相同，同一波节两侧半波长范围内，相位相差p，即反相。驻波的波形不前进

4、，能量也不向前传播。只是动能与势能交替地在波腹与波节附近不断地转换。8 8  半波损失：波从波疏媒质（ru较小）传向波密媒质（ru较大），而在波密媒质面上反射时，反射波的相位有p的突变，称为半波损失，计算波程时要附加±l/2。  重点：1 1  机械波产生的条件及波传播的物理图像。2 2  描述波动的物理量：波长、波速、频率的物理意义及其相互关系。3 3  相位传播的概念，并利用它写出平面简谐波的波动方程（平面简谐波的表达式）。理解波形曲线的意义，并能熟练画出。4 4  已知给定点的振动写出平面简谐波的表达式；已知波的表达式

5、写出空间各点的振动表达式；计算A、T、n、l、u及波线上任意两点的相位差。5 5  波的能量密度、能流、能流密度（即波的强度）等概念。6 6  波的叠加原理，相干波的条件。干涉现象中加强、减弱条件，并运用来计算合振幅最大、最小的位置。  难点：1 1  波动和振动方程及其曲线的联系和差异2 2  相位比较法求波动方程3 3  多普勒效应及其应用4 4  驻波的概念，驻波形成的条件；波腹、波节的意义及位置；各质元振动相位的关系。5 5  半波损失的意义。典型题型（一）振动部分1原长为的弹簧，上端固定，下端挂一质量为的

6、物体，当物体静止时，弹簧长为现将物体上推，使弹簧缩回到原长，然后放手，以放手时开始计时，取竖直向下为正向，写出振动式。（g取9.8）解：振动方程：，在本题中，所以； 。取竖直向下为x正向，弹簧伸长为0.1m时为物体的平衡位置，所以如果使弹簧的初状态为原长，那么：A=0.1m， 当t=0时，x=-A，那么就可以知道物体的初相位为。所以： 即：。2有一单摆，摆长，小球质量，时，小球正好经过处，并以角速度向平衡位置运动。设小球的运动可看作简谐振动，试求：（1）角频率、频率、周期；（2）用余弦函数形式写出小球的振动式。（g取9.8）解：振动方程： 我们只要按照题意找到对应的各项就行了。（1）角频率：，

7、频率： ，周期：；（2）振动方程可表示为：，根据初始条件，时：，可解得：，所以得到振动方程： 。3. 一竖直悬挂的弹簧下端挂一物体，最初用手将物体在弹簧原长处托住，然后放手，此系统便上下振动起来，已知物体最低位置是初始位置下方处，求：（1）振动频率；（2）物体在初始位置下方处的速度大小。解：（1）由题知2A=10cm，所以A=0.05m，选弹簧原长下方0.05m处为平衡位置； 由，知， ，振动频率：；（2）物体在初始位置下方处，对应着是x=0.03m的位置，所以：，由，有：，而，那么速度的大小为： 。4一质点沿轴作简谐振动，振幅为，周期为。当时，位移为，且向轴正方向运动。求：（1）振动表达式；

8、（2）时，质点的位置、速度和加速度；（3）如果在某时刻质点位于，且向轴负方向运动，求从该位置回到平衡位置所需要的时间。解：（1）由题已知 A=0.12m，T=2 s ， 又t=0时，由旋转矢量图，可知：故振动方程为：； （2）将t=0.5 s代入得：，方向指向坐标原点，即沿x轴负向；（3）由题知，某时刻质点位于，且向轴负方向运动，如图示，质点从位置回到平衡位置处需要走，建立比例式：，有： 。5两质点作同方向、同频率的简谐振动，振幅相等。当质点1在 处，且向左运动时，另一个质点2在 处，且向右运动。求这两个质点的位相差。解：由旋转矢量图可知：当质点1在 处，且向左运动时，相位为，而质点2在 处，

9、且向右运动，相位为。所以它们的相位差为。6. 质量为的密度计，放在密度为的液体中。已知密度计圆管的直径为。试证明，密度计推动后，在竖直方向的振动为简谐振动。并计算周期。解：平衡位置：当时，平衡点为C处。设此时进入水中的深度为a：可知浸入水中为a处为平衡位置。 以水面作为坐标原点O，以向上为x轴，质心的位置为x，分析受力：不管它处在什么位置，其浸没水中的部分都可以用来表示，所以力，利用牛顿定律：，再令：，可得：，可见它是一个简谐振动；周期为： 。7两小球悬于同样长度l的线上将第一球沿竖直方向上举到悬点，而将第二球从平衡位置移开，使悬线和竖直线成一微小角度a ，如图现将二球同时放开，则何者先到达最

10、低位置？解：第一球自由落下通过路程l需时间而第二球返回平衡（即最低）位置需时.，故第一球先到。8当简谐振动的位移为振幅的一半时，其动能和势能各占总能量的多少？物体在什么位置时其动能和势能各占总能量的一半？解：由，有：，（1）当时，由，有：，；（2）当时，有：，。9两个同方向的简谐振动曲线(如图所示) （1）求合振动的振幅。（2）求合振动的振动表达式。解：通过旋转矢量图做最为简单。由图可知，两个振动同频率，且初相：，初相：，表明两者处于反相状态，（反相，），合成振动的振幅： ；合成振动的相位： ；合成振动的方程： 。10两个同方向，同频率的简谐振动，其合振动的振幅为，与第一个振动的位相差为。若第

11、一个振动的振幅为。则（1）第二个振动的振幅为多少？（2）两简谐振动的位相差为多少？解：如图，可利用余弦定理：由图知 =0.01 mA=0.1 m ，再利用正弦定理：，有：，。说明A与A间夹角为/2，即两振动的位相差为/2 。（二）机械波部分1沿一平面简谐波的波线上，有相距的两质点与，点振动相位比点落后，已知振动周期为，求波长和波速。解：根据题意，对于A、B两点，而，2已知一平面波沿轴正向传播，距坐标原点为处点的振动式为，波速为，求：（1）平面波的波动式；（2）若波沿轴负向传播，波动式又如何?解：（1）设平面波的波动式为，则点的振动式为：，与题设点的振动式比较，有：，平面波的波动式为：；（2）若

12、波沿轴负向传播，同理，设平面波的波动式为：，则点的振动式为：，与题设点的振动式比较，有：，平面波的波动式为：。3一平面简谐波在空间传播，如图所示，已知点的振动规律为，试写出：（1）该平面简谐波的表达式；（2）点的振动表达式（点位于点右方处）。解：（1）仿照上题的思路，根据题意，设以点为原点平面简谐波的表达式为：，则点的振动式：题设点的振动式比较，有：，该平面简谐波的表达式为：（2）B点的振动表达式可直接将坐标，代入波动方程：4已知一沿正方向传播的平面余弦波，时的波形如图所示，且周期为。（1）写出点的振动表达式；（2）写出该波的波动表达式；（3）写出点的振动表达式；（4）写出点离点的距离。解：由

13、图可知：，而，则：，波动方程为：点的振动方程可写成：由图形可知：时：，有：考虑到此时，（舍去）那么：（1）点的振动表达式：；（2）波动方程为：；（3）设点的振动表达式为：由图形可知：时：，有：考虑到此时，（或）A点的振动表达式：，或；（4）将A点的坐标代入波动方程，可得到A的振动方程为：，与（3）求得的A点的振动表达式比较，有：，所以： 。5一平面简谐波以速度沿轴负方向传播。已知原点的振动曲线如图所示。试写出：（1）原点的振动表达式；（2）波动表达式；（3）同一时刻相距的两点之间的位相差。解：这是一个振动图像！由图可知A=0.5cm，设原点处的振动方程为：。（1）当时，考虑到：，有：，当时，考

14、虑到：，有：，原点的振动表达式：；（2）沿轴负方向传播，设波动表达式：而，；（3）位相差： 。6一正弦形式空气波沿直径为的圆柱形管行进，波的平均强度为，频率为，波速为。问波中的平均能量密度和最大能量密度各是多少？每两个相邻同相面间的波段中含有多少能量？解：（1）已知波的平均强度为：，由 有：；（2）由， 。7一弹性波在媒质中传播的速度，振幅，频率。若该媒质的密度为，求：（1）该波的平均能流密度；（2）1分钟内垂直通过面积的总能量。解：（1）由：，有：；（2）1分钟为60秒，通过面积的总能量为： 。8与为左、右两个振幅相等相干平面简谐波源，它们的间距为，质点的振动比超前，设的振动方程为，且媒质无吸收，（1）写出与之间的合成波动方程；（2）分别写出与左、右侧的合成波动方程。解：（1）如图，以为原点，有振动方程：，则波源在右侧产生的行波方程为：，由于质点的振动比超前，的振动方程为，设以为原点，波源在其左侧产生的行波方程为：，由于波源的坐标为，代入可得振动方程：，与比较，有：。可见，在与之间的任一点处，相当于两列沿相反方向传播的波的叠加，合成波为：，为驻波；（2）波源在左侧产生的行波方程