小学数学几何五大模型教师版

1、几何五大模型、五大模型简介(1)等积变换模型1、等底等高的两个三角形面积相等;2、两个三角形高相等，面积之比等于底之比，如图所示,3、两个三角形底相等，面积在之比等于高之比，4、在一组平行线之间的等积变形，如图所示，则可知直线AB平行于CD如图所示,SaaccFSabcd；S: S2=a:b ；S : S2=a:b ；反之，如果SaaccFSabcd,例、如图，三角形 ABC的面积是24，D E、F分别是BC AC AD的中点，求三 角形DEF的面积。(2)鸟头(共角)定理模型1、两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫共角三角形；2、共角三角形的面积之比等于对应角(相等角或互补角)两夹

2、边的乘积之 比。如图下图三角形 ABC中，D E分别是AB AC上或AB AC延长线上的点AD则有： Sa ABC： SADE= (ABX AC) : ( ADX AE我们现在以互补为例来简单证明一下共角定理!如图连接BE根据等积变化模型知,Saade : Saabe=AD所以Saabe：SaabC=Saabe：DBCAB Sxabe： Sxcbe=AE: CE(Sa abe+Sacbe) =AE AC因此 Saade：SaabC= ( Saade : Saabe)X( Saabe： Sa abc) = (AD AE)X( AE AC)。例、如图在 ABC中, D在 BA的延长线上，E在 AC

3、上，且 AB: AD=5:2, AE: EC=3:2, ADE的面积为12平方厘米，求 ABC的面积。【详解】根据鸟头模型可知；Si45C：Si42>ff=(xJC):(J4Dx£)T所以=xAD=50 (平方厘米人（3 ）蝴蝶模型1、梯形中比例关系（“梯形蝴蝶定理 $:島：耳：片二/:沪：恥：口加 梯形$的对应份数为3 +疗.例、如图，梯形ABCDAB与CD平行，对角线AC BD交于点0,已知 AOB B0C 的面积分别为25平方厘米、35平方厘米，求梯形ABCD勺面积。【详解】由拂形蝴蝶定理的性质知.CD2S:3St所以ABt CD=5:7t 所以 Ss : S- = .1

4、5- ： CD; = 5: ： = 25 491 即= 49平方俚米，而 = 5 =35平方厘米.所以梯形ABCD的面积为.25+35+35+49=144（平方厘米人2、任意四边形中的比例关系（“蝴蝶定理”）: =54:黑或者目X虽二為x S：, : 0C = (SL + 52): (SA + 5.)例、如图，四边形 ABCD勺对角线AC BD交于点0,如果三角形ABD的面积等于 三角形BCD面积的1/3，且A0=2 D0=3求CO的长度是DO长度的几倍。【详解】由任意四边形蝴蝶定理的性质知，MdOCYg注品 "3 所以 OC=3AO=3X2=6S 所以 OC, 0D=6:3=2:1

5、.蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径，通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另 一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。（4 ）相似模型1、相似三角形：形状相同，大小不相等的两个三角形相似；2、寻找相似模型的大前提是平行线：平行于三角形一边的直线和其他两 边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似。3、相似三角形性质： 相似三角形的一切对应线段（对应高、对应边）的比等于相似比； 相似三角形周长的比等于相似比； 相似三角形面积的比等于相似比的平方。相似模型大致分为金字塔模型、沙漏模型这两大类，注意这两大类中都含有BC平行DE

6、这样的一对平行线！ED介 AD AE DE AFAB AC BC AG'.皿-S“ "F，- TG* o例、如图，已知在平行四边形 ABCD中，AB=16 AD=10 BE=4那么FC的长度是多少？1详解】根据平行四边形的性质知，AB平行干CD所以由沙漏模型知.1BF.FC = BE-CD4:16l:4,所以 FC = 10x =8.1 +4(5 )燕尾模型由于阴影部分的形状像一只燕子的尾巴，所以在数学上把这样的几何图形叫做燕尾模型，看一下它都有哪些性质：Saabg： SaacGfSabgE SacgE=BE CESbga： Sbgc=Sgaf： Sgcf=AF： CFSaa

7、gc： Sabg(=SaagD SbgcFAD BD例、如图，E、D分别在 AC BC上，且AE: EC=2:3, BD DC=1:2, AD与BE交于 点F,四边形DFEC的面积等于22平方厘米，求三角形 ABC的面积。5 a 财 _ RD =丄、DC 2【详解】如图所示，连接CF构造燕尾模型。根据燕尾模型性质可知:S4E 2 QSEC 3现设s逊F=1你则 5二2你 S二2你兀鹽二4你2 2 肿=4沢6 份r= 4 況 2 + g = 2- 4 -份*所以比二莎之+24二4.4份、S沖广2+3+49份。5=22-4.4X9=45 （平方厘米）。二、五大模型经典例题详解（1）等积变换模型例1

8、、图中的E、F、G分别是正方形ABCD三条边的三等分点，如果正方形的边 长是12,那么阴影部分的面积是多少？【详解】把另外三个三等分点标岀之后，正方形的3条边3 眼CD就被分成了相等的三段。 把点H和这些分点、正方形的顶点连接，这样就把整个正方形分割成了 9个形状各不相同的三 角形，同时我们把空白部分的6个三角形按顺时针标记re.这9个三角形的底边都是正方形边长的三分之一，阴影部分被分割成了其中的3个三角形。根据等积变换模型可知，CD边上的阴影三角形的面积与第1、2个三角形相等；BC边上的 阴影三邙J1二丰:、4亍三角形相等；AB边上的阴影三角形与第5. 6个三角形相等。因此阴影 面积是空白面

9、和的二分之是正方形面和的三分之一，即：12X124-3=43例2、如图，Q E、P、M分别为直角梯形 ABCD两边AB CD上的点，且DQ CP ME彼此平行，已知 AD=5 BC=7 AE=5 EB=3求阴影部分三角形 PQM勺面积。【详解】如图所示，连接CE DE,由干DQ、ME平行，根据同底等高知， 3*如同理根据BC、临平行.有S旳=九如所以 由于四边形ABCD为直角梯形，所以,C £=cD'-S=i(5 + 7X5 + 3)-lx5x5-lx3x7 = 25,即阴影三ji占斗角形PQM的面和为25。P(2)鸟头(共角)定理模型例1、如图所示，平行四边形 ABCD B

10、E=AB CF=2CB GD=3DC HA=4AD平行四边形ABCD勺面积为2,求平行四边形 ABCD与四边形EFGH勺面积比。HII【详解】如图所示，连接 血BD,由于在ABC. AEBF中，4£C与2.EBF互补，所以根据；因为SgE = £片吁些辽书26 = ! 1所以S也F =3 ；鸟头定理有"迥=佔=竺 =1SBF BEEF 1x33同理可得 5=4x2 = 8、5=42=8> 5=5x3 = 150弟 H 片弓峦浮叱 _*_ _J_'Sg 廊 一 8十8+15+3 + 2一 36一 18例 2、如图所示， ABC的面积为 1, BC=5B

11、DAC=4ECDG二GS二SEAF二FG 求厶FGS 的面积。所以S沁二10S旳即Sg =110所认= 4 3和3 ®根据鸟头定理有也=.AE GE _3x2 SqfCEDE1x3【详解】 首先根据等和变换模型知.甕煜讣所以九$丄如 _ Q BD _ lxl _ 1S 土 hd LD DC 1x44(3 )蝴蝶模型 例1、如图，正六边形面积为 1,那么阴影部分面积为多少?AR【详解】如图所示，连接阴影四边形的对角线，此时正六边形被平分咸两半设 Sd他的面积为1份，根据正六边形的特殊性质知，BB2AD,再根据梯形蝴蝶定 理，标出各个三角形所占份数，所以整个正六边形被分成了協份，阴影部分

12、站 其中的呂份，即阴影部分面积为* -xl = -.189例2、如图，长方形ABCD被 CE DF分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，求余下的四边形 OFBC勺面积。【详解】如图所示，连接DE、C眼在梯形EDCF中，根据梯形蝴蝶定理知,SiFoo = $ 空g t S空如 x S= S 辽口f x S gg =2x8 = 16 ,即 S 空皿 °、所以£空仞=8+4 = 12$=12x2=24岛迫哥=24-5-2-8 = 9例3、如图，已知正方形 ABCD的边长为10厘米，E为AD的中点，F为CE的中 点，G为BF的中点，求三角形 BDG勺面积。【详解】设

13、ED与CE的交点为0,连接BE、DF,在梯形BODE中，由梯形4明蝶定理知* EO: C0仝血扪S血a而九切二正肓母iscn - t所以曲9：82。又因为卩为血的中点，所以EOrFO = 2A.在四边形BFDE中，由蝴蝶定理知，EO,FO=*ed；S沁=21所以aSFD = 丁 Sjjieq 二 g $ 酢天 ASCD °所叹 5 二5 =岂仏“CD = xlOxlO = 6.25 （平方厘米）2 16 16(4 )相似模型例1、如图，正方形的面积为1, E、F分别为AB BD的中点，GC=1/3FC求阴影 部分的面积。【详解】如图所示，作曲垂直BC于点H, GI垂直BC于点I,根据

14、金字塔模型知，CI： CHHG： CF=l:3j 因为 F 是 BD 的中点，所叹 CH二BH, CI： CB二 1:6,即BIS BO (6-1)： 6二5:6,_=lxlx-=Afl沁 2 2 624例2、如图，长方形ABCD E为AD的中点，AF与BD BE分别交于G和H, OE垂 直于AD交AD于E点，交AF于O点，已知AH=5,HF=3,求AG的长。B【详解】根据长方形的性质知，AB平行于DF,再根据沙漏模型知AB.DF = AHrHF =5.3又因为BAD的中点:.0E.FD = V.2:.OF = 5 -=10:32利用相似三角形性质可傑AG:DO=AB:OE = W3-AO-x

15、AF = 1 (5+3) = 42 2”丿 1° 401313(5 )燕尾模型例1、如图，正方形 ABCD勺面积是120平方厘米，E是AB的中点，F是BC的中点，求四边形BGHF勺面积。【详解欧口图，连接BHo由于師与CD平行,根据沙漏模型知，BG： GD=BE； CD=1 :肌 现设兀欣习份，根扌居燕尾模型知，S严份"5=2份亠因此整个正方形ABCD就是;(I即妙叽四边形嗣占；X十叽所以= 120 10x1 = 14平方厘米)。6例2、如图，在 ABC中, BD=2DA CE=2EB AF=2FC 那么 ABC的面积是阴影 GHI面积的几倍？E【详解】如图，连接根据燕屋模型知,=FC: AF = 1:2、S乂口 - 5鸟口 BD : DA = 2:1D所认 ：abci '、5$ 二 1 ： 2 ： 4 ,那么c_2G_ 2C=齐帀S欤S磁。RE同理可知匚严彳孔加