课时训练15 二次函数与一元二次方程及不等式

1、.课时训练十五二次函数与一元二次方程及不等式限时:30分钟|夯实根底|1. 2019·无锡梁溪区初三模拟 m,nm<n是关于x的方程x-ax-b=2的两根,假设a<b,那么以下判断正确的选项是 A. a<m<b<nB. m<a<n<b C. a<m<n<bD. m<a<b<n2. 如图K15-1,顶点为-3,-6的抛物线y=ax2+bx+c经过点-1,-4. 那么以下结论中错误的选项是图K15-1 A. b2>4ac B. ax2+bx+c-6 C. 假设点-2,m,-5,n在抛物线上,那么m&

2、gt;n D. 关于x的一元二次方程ax2+bx+c=-4的两根为-5和-13. 假设二次函数y=ax2+bx+ca<0的图象经过点2,0,且其对称轴为直线x=-1,那么使函数值y>0成立的x的取值范围是 A. x<-4或x>2B. -4x2 C. x-4或x2D. -4<x<24. 假设函数y=a-1x2-4x+2a的图象与x轴有且只有一个交点,那么a的值为.  5. 函数y=x2+2x+1,当y=0时,x=;当1<x<2时,y随x的增大而填写“增大或“减小.  6. 关于x的一元二次方程ax2-3x-1=0的两个不相等的实

3、数根都在-1和0之间不包括-1和0,那么a的取值范围 是.  7. 2019·乐山 关于x的一元二次方程mx2+1-5mx-5=0m0. 1求证:无论m为任何非零实数,此方程总有两个实数根; 2假设抛物线y=mx2+1-5mx-5与x轴交于Ax1,0,Bx2,0两点,且|x1-x2|=6,求m的值; 3假设m>0,点Pa,b与Qa+n,b在2中的抛物线上点P,Q不重合,求代数式4a2-n2+8n的值. 8. 2019·北京 在平面直角坐标系xOy中,直线y=4x+4与x轴、y轴分别交于点A,B,抛物线y=ax2+bx-3a经过点A,将点 B向右平移5个单位长

4、度,得到点C. 1求点C的坐标; 2求抛物线的对称轴; 3假设抛物线与线段BC恰有一个公共点,结合函数图象,求a的取值范围. 9. 2019·南京 二次函数y=2x-1x-m-3m为常数. 1求证:不管m为何值,该函数的图象与x轴总有公共点; 2当m取什么值时,该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方?|拓展提升|10. 2019·贵阳 二次函数y=-x2+x+6及一次函数y=-x+m,将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方, 图象的其余部分不变,得到一个新函数如图K15-2所示,当直线y=-x+m与新图象有4个交点时,m的取值范围是图K15-2 A. -254<

5、;m<3B. -254<m<2 C. -2<m<3D. -6<m<-211. 2019·日照 在平面直角坐标系中,我们把横、纵坐标均为整数的点叫做整点. 反比例函数y=mxm<0的图象与 y=x2-4的图象在第四象限内围成的封闭图形包括边界内的整点的个数为2,那么实数m的取值范围为.  12. 2019·舟山 ,点M为二次函数y=-x-b2+4b+1图象的顶点,直线y=mx+5分别交x轴正半轴,y轴于点A,B. 1判断顶点M是否在直线y=4x+1上,并说明理由. 2如图,假设二次函数图象也经过点A,B,且mx+5&g

6、t;-x-b2+4b+1. 根据图象,写出x的取值范围. 3如图,点A坐标为5,0,点M在AOB内,假设点C14,y1,D34,y2都在二次函数图象上,试比较y1与y2的大小. 图K15-3参考答案1. D2. C解析 点-2,m关于对称轴的对称点是-4,m,在对称轴x=-3左侧,图象从左向右下降,所以点-5,n在点-4,m的上方,所以n>m,应选C. 3. D解析 根据二次函数的图象经过点2,0,且对称轴为直线x=-1,可得函数的图象与x轴的另一个交点为-4,0,由于a<0,所以抛物线开口向下,当y>0时,函数图象在x轴上方,由图象可知x的取值范围是-4<x<2

7、,应选D. 4. -1或2或1解析 函数y=a-1x2-4x+2a的图象与x轴有且只有一个交点,当函数为二次函数时,b2-4ac=16-4a-1×2a=0,解得a1=-1,a2=2,当函数为一次函数时,a-1=0,解得a=1. 故答案为-1或2或1. 5. -1增大解析 当y=0时,即x2+2x+1=0,解得x1=x2=-1,可得二次函数图象的对称轴是直线x=-1. 因为二次项系数a=1>0,所以抛物线开口向上,在对称轴的右侧y随x的增大而增大. 故答案为-1增大. 6. -94<a<-2解析 ax2-3x-1=0有两个不相等的实数根,=9+4a>0. a&g

8、t;-94. 又两个不相等的实数根都在-1和0之间,当x=-1和x=0时的函数y=ax2-3x-1的值同号. 当x=-1时,y=a+2;当x=0时,y=-1. a+2<0,即a<-2. 综上所述a的取值范围为-94<a<-2. 7. 解:1证明:由题意得:=1-5m2-4m×-5=5m+120,无论m为任何非零实数,此方程总有两个实数根. 2解方程mx2+1-5mx-5=0,得x1=-1m,x2=5. 由|x1-x2|=6,得-1m-5=6. 解得m=1或m=-111. 3由2得,当m>0时,m=1. 此时抛物线解析式为y=x2-4x-5,其对称轴为直线

9、x=2. 由题意知,P,Q关于直线x=2对称. a+a+n2=2,2a=4-n. 4a2-n2+8n=4-n2-n2+8n=16. 8. 解:1直线y=4x+4与x轴、y轴分别交于点A,B,A-1,0,B0,4. 将点B向右平移5个单位长度,得到点C,C0+5,4,即C5,4. 2抛物线y=ax2+bx-3a经过点A,a-b-3a=0. b=-2a. 抛物线的对称轴为直线x=-b2a=-2a2a=1,即对称轴为直线x=1. 3易知抛物线过点-1,0,3,0. 假设a>0,如下图,易知抛物线过点5,12a,假设抛物线与线段BC恰有一个公共点,满足12a4即可,可知a的取值范围是a13. 假

10、设a<0,如下图,易知抛物线与y轴交于0,-3a,要使该抛物线与线段BC只有一个公共点,就必须-3a>4,此时a<-43. 假设抛物线的顶点在线段BC上,此时顶点坐标为1,4,从而解析式为y=ax-12+4,将A-1,0代入,解得a=-1,如下图:综上,a的取值范围是a13或a<-43或a=-1. 9. 解:1证明:当y=0时,2x-1x-m-3=0,解得x1=1,x2=m+3. 当m+3=1,即m=-2时,方程有两个相等的实数根;当m+31,即m-2时,方程有两个不相等的实数根. 所以,不管m为何值,该函数的图象与x轴总有公共点. 2当x=0时,y=2m+6,即该函数

11、的图象与y轴交点的纵坐标是2m+6. 当2m+6>0,即m>-3时,该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方. 10. D解析 在抛物线y=-x2+x+6中,令y=0时,即-x2+x+6=0,解得x1=-2,x2=3,即抛物线y=-x2+x+6与x轴交点坐标分别为-2,0,3,0. 抛物线y=-x2+x+6沿x轴翻折到x轴下方,此时新抛物线y=x2-x-6y<0与y轴交点坐标为0,-6. 当直线y=-x+m过-2,0,0,-2时,m=-2. 此时直线y=-x+m与x轴下方图象只有三个交点. 如下图,要使直线y=-x+m与新图象有4个交点,需y=-x+m与y=x2-x-6有两个交点

12、,那么-x+m=x2-x-6有两个不同解,整理得x2=m+6,所以m>-6时,直线y=-x+m与抛物线y=x2-x-6有两个交点,m的取值范围是-6<m<-2. 11. -2m<-1解析 当x=1时,y=x2-4=1-4=-3. 所以在第四象限内在二次函数y=x2-4的图象上和图象上方的整点有3个,坐标为1,-1,1,-2,1,-3. 当反比例函数y=mxm<0的图象经过点1,-2,即m=xy=-2时,在第四象限内围成的封闭图形包括边界内的整点的个数为2个,当反比例函数y=mxm<0的图象经过点1,-1,即m=xy=-1时,在第四象限内围成的封闭图形包括边界

13、内的整点的个数为3个,在第四象限内围成的封闭图形包括边界内的整点的个数为2,m的取值范围为-2m<-1. 12. 解析 1根据二次函数顶点式可以知道Mb,4b+1,将坐标代入y=4x+1,问题得解;2由题意知B0,5,二次函数图象过点B,代入解析式可求得b的值,求得A点坐标,再利用函数图象比较大小;3先通过点M在AOB内得到b的取值范围,再根据抛物线的对称性和增减性解决y1,y2大小关系. 解:1点M坐标是b,4b+1,把x=b代入y=4x+1,得y=4b+1,点M在直线y=4x+1上. 2如图,直线y=mx+5与y轴交于点B,点B坐标为0,5. 又B0,5在抛物线上,5=-0-b2+4b+1,解得b1=b2=2,二次函数的表达式为y=-x-22+9,当y=0时,得x1=5,x2=-1. A5,0. 观察图象可得,当mx+5>-x-b2+4b+1时,x的取值范围为x<0或x>5. 3如图,设直线y=4x+1与直线AB交于点E,与y轴交于点F,而直线AB表达