湖南省五市十校教研教改共同体2019届高三12月联考数学(理)试题

1、精选优质文档-倾情为你奉上湖南省五市十校教研教改共同体2019届高三12月联考理科数学本试卷共4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3.考试结朿后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知是虚数单位，则（ ）A.B.C.D.2.设集合，则（ ）A.B.C

2、.D.3.已知向量，满足，（ ）A.B.C.D.4.已知数列满足，则（ ）A.B.C.D.5.已知，分别是三棱锥的棱，的中点，则异面直线与所成的角为（ ）A.B.C.D.6.只蚂蚁在三边长分别为，的三角形内自由爬行，某时刻该蚂蚁距离三角形的任意一个顶点的距离不超过的概率为（ ）A.B.C.D.7.在直角坐标系中，抛物线的焦点为，准线为，为上一点，垂直于点，分别为，的中点，直线与轴交于点，若，则（ ）A.B.C.D.8.函数的部分图像大致为（ ）A.B.C.D.9.算法统宗是中国古代数学名著，由明代数学家程大位所著，该书完善了珠算口诀，确立了算盘用法，完成了由筹算到珠算的彻底转变，对我国民间普及

3、珠算和数学知识起到了很大的作用.如图所示程序框图的算法思路源于该书中的“李白沽酒”问题，执行该程序框图，若输入的的值为，则输出的的值为（ ）A.B.C.D.10.已知正实数，满足，则当取得最大值时，的最大值为（ ）A.B.C.D.11.已知，是双曲线上的三个点，直线经过原点，经过右焦，若，且，则该双曲线的离心率为（ ）A.B.C.D.12.设是奇函数的导函数，当时，则使得成立的的取值范围是（ ）A.B.C.D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.若实数，满足约朿条件，则的最大值为_.14.的展开式中的数为_.15.函数的部分图像如图所示，则的值为_.16.将正整数分解成两个正

4、整数的乘积有，三种，其中是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称为的最佳分解.当且是正整数的最佳分解时我们定义函数，例如.则的值为_，数列的前项的和为_.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17.已知向量，设函数.（1）求函数的解析式及单调递增区间；（2）设，别为内角，的对边，若，的面积为，求的值.18.为全面贯彻党的教育方针，坚持立德树人，适应经济社会发展对多样化高素质人才的需要，按照国家统一部署，湖南省高考改革方案从2018年秋季进入高一年级的学生开始

5、正式实施.新高考改革中，明确高考考试科目由语文、数学、英语科，及考生在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物个科目中自主选择的科组成，不分文理科.假设个自主选择的科目中每科被选择的可能性相等，每位学生选择每个科目互不影响，甲、乙、丙为某中学高一年级的名学生.（1）求这名学生都选择了物理的概率.（2）设为这名学生中选择物理的人数，求的分布列和数学期望.19.如图，四棱锥中，底面，底面为直角梯形，分别为，的中点.（1）求证：平面；（2）若截面与底面所成锐二面角为，求的长度.20.对称轴为坐标轴的椭圆的焦点为，在上.（1）求椭圆的方程；（2）设不过原点的直线与椭圆交于，两点，且直线，的斜率依次成等比

6、数列，则当的面积为时，求直线的方程.21.已知函数.（1）当时，求证：恒成立；（2）若关于的方程至少有两个不相等的实数根，求实数的最小值.（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。22.选修4一4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为.（1）写出圆的直角坐标方程；（2）设直线与圆交于，两点，求弦长.23.选修4一5：不等式选讲已知函数，其中.（1）当时，求不等式的解集；（2）若存在，使得，求实数的取值范围.理科数学参考答案一、选择题1-5:BDABD 6-10:

7、BABCC 11、12:AC二、填空题13.14.15.16.，三、解答题17.解：（1）令，解得；，；所以函数的单调递増区间为，.（2），.，即.由得，又由余弦定理得，解得.18.解：（1）设“这名学生都选择了物理”为事件，依题意得每位学生选择了物理的概率都为，故，即这名学生都选择了物理的概率为.（2）的所有可能取值为，由题意，所以的分布列为所以的数学期望.19.解：（1）证明：取的中点，连接，是的中点，且，底面为直角梯形，且，四边形是平行四边形，又平面，平面，平面.（2）如图，分别以，为，轴建立空间直角坐标系，设。则，取平面的法向量为.，设平面的法向量为，则有，即，不妨取，则，即.，解得即.20.解：（1）设椭圆的方程为，由题意可得，又由，得，故，椭圆的方程为；（2）设，.由题意直线的方程为：，联立得，化简，得，直线，的斜率依次成等比数列，化简，得，又，且由知.原点到直线的距离.，解得（负舍）或（负舍）.直线的方程为：或.21.解：（1）证明：当时，令，所以当时，单调递增；当时，单调递减.故，所以.（2）至少有两个根，记，所以，记，所以，令舍）所以当，单调递减，时，单调递增，所以的最小值为，又，所以时，又当时，因此必存在唯一的，使得.因此时，单调递増，单调递减，时，单调递増，画出的大致图象，如图所示因此当时，与至少有两个交点，所以的最小值为.22.解：