第十四讲微观世界的规律与方法

1、 第十四讲 微观世界的规律与方法一、知识点击1原子结构模型 玻尔模型理论： 定态假设：原子中的电子绕核作圆周运动，并不向外辐射能量，其轨道半径只能取一系列不连续值，对应的原子处于稳定的能量状态。 跃迁假设：电子从一个定态轨道（设对应的原子定态能量为En2）跃迁到另一定态轨道（设定态能量为En1）上时，会辐射或吸收一定频率的光子，能量由这两种定态的能量差决定，即。角动量量子化假设：电子绕核运动，其轨道半径不是任意的，只有电子的轨道角动量（轨道半径r和电子动量的乘积）满足下列条件的轨道才是允许的 n=1，2，3， 氢原子的能级公式为，其中。2物质的二象性 不确定关系1924年，德布罗意从光的波粒二

2、象性推断实物粒子，如电子、质子等也具有波动性，即实物粒子也具有二象性同实物粒子相联系的波称为德布罗意波，其波长。 量子理论的发展揭示出要同时测出微观物体的位置和动量，其精密度是有一定限制的这个限制来源于物质的二象性海森伯从量子理论推理，测量一个微粒的位置时，如果不确定范围是，那么同时测得其动量也有一个不确定范围，与的关系为，此式称为海森伯不确定关系，其中h为普朗克常数 不确定关系是普遍原理，也存在于能量与时间之间一个体系（例如原子体系）处于某一状态，如果时间有一段t不确定，那么它的能量也有一个范围E不确定，二者的乘积有如下关系：3原子核的基本性质与核反应 质能方程、质量亏损和原子核的结合能 爱

3、因斯坦由相对论得出的质能方程为，如果物质的质量增加m，则其能量也相应增加E，反之亦然，即有。 在原子核中，原子核由核子组成，但原子核的质量却小于核内核子质量之和，原子核的质量M与组成它的核子质量总和的差值称为质量亏损 由上面得知，自由核子在结合成原子核时能量减少了，即有能量释放出来，这能量即为该核的结合能核反应方程和核反应能 原子核反应是原子核受一个粒子撞击而放出一个或几个粒子的过程核反应过程遵守下列守恒定律：电荷守恒；核子数守恒；动量守恒；总质量和联系的总能量守恒等利用这些守恒定律，可以写出核反应方程式 核反应能Q定义为反应后粒子的动能超出反应前粒子动能的差值根据总质量和联系的总能量守恒，由

4、反应前后核和粒子的静质量可得出反应能Q的计算公式，根据动量守恒，也可由人射粒子和出射粒子的动能及这两种粒子运动方向的夹角值得出反应能Q。4基本粒子的探索基本粒子之间的相互作用有四种：强相互作用、电磁相互作用、弱相互作用和万有引力相互作用 除了电磁相互作用的传播子光子和万有引力作用的传播子g(尚未发现)外，其余所有的粒子按它们之间的相互作用可分为两类： 强子：参与强相互作用的粒子，强子又分为重子（核子、超子）和介子两类，质子（为核子）是最早发现的强子，强子具有内部结构 轻子：不参与强相互作用的粒子，电子是最早发现的轻子，实验表明，轻子是点粒子，迄今尚未发现它有任何结构每一种基本粒子都有自己的反粒

5、子，正反粒子相遇时，会发生湮灭现象，如即电子与正电子相遇时，会湮灭产生两个光子 1963-1964年间，盖尔曼提出了夸克模型1965-1966年，我国的一批理论物理学家提出了与此类似的“层子”模型现在，这两种名称（夸克和层子）常常并提，下面我们还用夸克这一名称有六种不同的夸克，分别是上夸克（u）、下夸克（d)、奇异夸克（s)、桀夸克（c)、底夸克（b)和顶夸克（t)。夸克模型认为所有的重子都是由三种夸克组成，所有反重子都是由三种反夸克组成，所有介子都是由一种夸克和一种反夸克组成但是，单独的夸克至今未曾测到，这还有待于人们进一步去探索二、方法演练 类型一、利用玻尔的三个量子化假设来求解类氢离子和

6、类氢原子的问题。例1原子核俘获一个子（子质量是电子质量的207倍，电荷与电子相同）形成原子，应用玻尔理论于原子。假设原子核静止。试求： （1）子的第一轨道半径。已知原子核的质子数为Z，氢原子的第一玻尔轨道半径。 （2）电离能。 （3）从第二轨道到第一轨道跃迁时所放射的光子的波长。 （4）设原子核的质量数A =2Z（即中子数N等于质子数Z），问当A大于什么值时，子轨道将进人原子核内。已知原子核半径的公式为。分析和解： （1）对这个问题的分析如同类氢离子的情形完全一样。设子质量为，处在第n条轨道上，其半径为rn，速度为，能量为En，根据库仑 定律和牛顿定律，有原子体系的能量为应用玻尔量子化条件，有

7、从以上三式可求出子量子化的轨道半径和量子化的能量公式为以代入，并注意到氢原子的第一玻尔轨道半径，氢原子的基态能量，可将子的轨道半径和能级公式改写为， 令n=1得子的第一轨道半径为 （2）原子的电离能为 （3）应用频率法则，求得从第二轨道跃迁到第一轨道时所放射的光子的波长为 （4）在第一轨道半径的表达式中，令，得到要使子进入原子核内，则要满足下式 R1R将题中的各已知量代入，可解得 A94型二、利用玻尔理论和经典力学中粒子的弹性碰撞模型列出碰撞过程中的动量与能量守恒方程求解原子能量的问题。例2有两个处于基态的氢原子A、B，A静止，B以速度与之发生碰撞。已知：碰撞后二者的速度和在一条直线上，碰撞过

8、程中部分动能有可能被某一氢原子吸收，从而该原子由基态跃迁到激发态，然后，此原子向低能态跃迁，并发出光子。如欲碰后发出一个光子，试论证：速度至少需要多大（以m/s表示）？已知电子电量为，质子质量为,电子质量为，氢原子的基态能量为。分析和解：为使氢原子从基态跃迁到激发态，需要能量最小的激发态是n=2的第一激发态。已知氢原子的能量与其主量子数的平方成反比，即有又知基态（n=1）的能量为，即所以n2的第一激发态的能量为为使基态的氢原子激发到第一激发态，所需能量为这就是氢原子从第一激发态跃迁到基态时发生的光子的能量，即式中为光子的频率从开始碰撞到发射出光子，根据动量和能量守恒定律有光子的动量。由上面的第

9、二式可推得，因，所以，故上面第一式中光子的动量与相比较可忽略不计，第一式变为于是，符合动量与能量守恒的的最小值可推求如下： 经配方得，即由此可以看出，时，达到最小值，此时，代入有关数值，得即B原子的速度至少应为。类型三、利用玻尔理论和经典力学中粒子的弹性碰撞模型列出碰撞过程中的动量与能量守恒方程求解原子能量中考虑到离子的反冲与不考虑反冲相比的问题。例3已知基态He+的电离能为E=54.4 eV。 （1）为使处于基态的He+进人激发态，入射光子所需的最小能量应为多少？ （2）He+从上述最低激发态跃迁回基态时，如考虑到该离子的反冲，则与不考虑反冲相比，它所发射的光子波长的百分变化有多大？（离子H

10、e+的能级En与n的关系和氢原子能级公式类似。电子电荷取，质子和中子质量均取。在计算中，可采用合理的近似。）分析和解： （1）电离能表示He+的核外电子脱离氦核的束缚所需要的能量，而题中所问的最小能量对应于核外电子由基态能级跃迁到第一激发态，所以 （2）如果不考虑离子的反冲，由第一激发态跃迁回基态发射的光子有关系式：现在考虑离子的反冲，光子的频率将不是而是,则由能量守恒得 式中为反冲离子的动能。又由动量守恒得式中是反冲离子动量的大小，而是发射光子的动量的大小。于是，波长的相对变化为由前面几式可得由于所以代人数据：即百分变化为0.00000054%。类型四、用迭代法求解半衰期的近似值的问题。例4

11、假定地球形成时同位素和己经存在，但不存在它们的衰变产物。和 的衰变被用来确定地球的年龄T。 （a）同位素以4. 50×109年为半衰期衰变，衰变过程中其余放射性衰变产物的半衰期比这都短得多。作为一级近似，可忽略这些衰变产物的存在。衰变过程终止于铅的同位素。用的半衰期、现在的数目表示出由放射衰变产生的原子的数目（运算中以109年为单位为宜）。 （b）类似的，在通过一系列较短半衰期产物后，以0. 710×109年为半衰期衰变，终止于稳定的同位素。写出与和半衰期的关系式。 （c）一种铅和铀的混合矿石，用质谱仪对它进行分析，测得这种矿石中铅同位素，和的相对浓度比为1.00:29.

12、6: 22.6。由于同位素不是放射性的，可以用作分析时的参考。分析一种纯铅矿石，给出这三种同位素的相对浓度之比为1.00:17.9:15.5。已知比值:为137:1，试导出包含T的关系式。 （d）假定地球的年龄T比这两种铀的半衰期都大得多，由此求出T的近似值。 （e）显然上述近似值并不明显大于铀同位素中较长的半衰期，但用这个近似值可以获得精确度更高的T值。由此在精度2%以内估算地球的年龄T。分析和解：（a）其中N0为原始原子数，为半衰期。用现在原子数N表示，则为所以 其中t以109年为单位。 （b）同理 （c），即，或 （d）既设，在上式中可略去1，而有即， （e）T并不年，但0. 710&#

13、215;109年。可以T的近似值（称为年）代入（c）中未略去1的方程的项中，计算项中的T,以得到T的较好近似值，再重复以上运算，得出更好的T近似值。，得再取，再作一次运算得T=4.58，故T的更精确答案在年到年范围内（两个值都算对）类型五、用原子核的简化模型求解原子核内核子的平均结合能的问题。例5研究原子核的下列粗糙模型：假定原子核是一个立方体，有个核子，每个核子被其他核子的核力所吸引（强相互作用），由于这种力的作用距离很小，我们假定每个核子只与其最邻近的核子之间有相互作用。每个核子核子对由于这种结合而对核的总结合能的贡献是一个常数。原子核内有核电荷Ze，它在原子核内产生斥力。根据量纲分析，核

14、的总静电势能正比于，其中d为原子核的线度。在这个粗糙的模型中，我们可以假定Z正比于原子核中的核子数A。已知元素周期表中元素Fe (A =56)附近的原子核是非常稳定的，它们的核子具有的平均结合能最大，都约为8.78 MeV/核子。试根据上述模型和已知的事实，给出任一原子核内每个核子的平均结合能E与n之间的关系式。分析和解：想象在一个广阔的空间内有很多核子均匀规则地排列着，与一个核子在前后左右上下周围相邻的核子共有6个，所以这个核子参与6个核子核子对的强相互作用。对于题述的个核子。我们可以想象将其置于上述的广阔空间之内，则如上计算共有个核子核子对强相互作用。但实际上这个“核立方体”外并无核子，这

15、个核立方体有6个外侧面，每个外侧面内有个核子，由于这个侧面以外再无核子，故对应于此侧面内的每个核子均应减去朝外的一个核子核子对强相互作用，即减去个，对于6个外侧面而言，总共应减去个。由上计算则尚有个核子核子对强相互作用。又由于这种成对的作用是在两个核子之间存在的，上面的计算是按一个一个核子独立计算后累加的，因此上述的累加中已把每对作用都计算了两次，可见核内的这种强相互作用的实际对数应为。设每个核子核子对强相互作用结合时释放出的能量为a，则此核形成时，由于强相互作用应放出的总能量为。另一方面，核的总静电势能正比于，而Z正比于核子数A，即正比于，d为核的线度，显然正比于n，由此，核的总静电势能正比

16、于。设其比例系数为b，则核的总静电势能为。即此核形成时，由于静电势能的增加需吸收的能量为。由上面两方面可得到原子核形成时释放的总结合能为每个核子的平均结合能为上式中a、b为与n无关的常数。下面我们进一步来确定常数a、b之值。根据元素Fe附近的原子核中核子的平均结合能差不多都相等这一事实，应有：当n有微小变化n时，由上式求出的平均结合能的值不变，即在n很小时，近似地有代入前式中，整理，并略去展开式中的 项，得到又根据元素Fe的核子平均结合能为8.78 MeV这一事实，有另有综合以上三式，可解得，由此，将a、b之值代人平均结合能的表达式中，得到本题所给模型中核子的平均结合能为三、小试身手1试根据玻

17、尔理论，计算氢原子中电子运动可熊的轨道半径、速度和能量；由此导出氢原子的里德伯方程，并将里德伯常数R的理论值和实验值进行比较，解释误差原因。2用不确定关系讨论原子中电子的轨道概念。31995年，美国费米国家实验室CDF实验组和DO实验组在质子反质子对撞机TEVATRON的实验中，观察到了顶夸克，测得它的静止质量，寿命：，这是近十几年来粒子物理研究最重要的实验进展之一。 （1）正反顶夸克之间的强相互作用势能可写为，式中r是正反顶夸克之间的距离，是强相互作用藕合常数，k是与单位制有关的常量，在国际单位制中，为估算正反顶夸克能否构成一个处在束缚状态的系统，可把束缚状态设想为正反顶夸克在彼此间的吸引力

18、作用下绕它们连线的中点做匀速圆周运动，如能构成束缚态，试用玻尔理论确定系统处于基态中正反顶夸克之间的距离r0，已知处于束缚态的正反顶夸克粒子满足量子化条件 式中 为一个粒子的动量与其轨道半径的乘积，n为量子数，为普朗克常量 （2）试求正反顶夸克在上述设想的基态中做匀速圆周运动的周期T。你认为正反顶夸克的这种束缚态能存在吗？4放射性鉴年法，在地球的外层大气中，由于宇宙射线而发生的核反应 会产生放射性核素，发生衰变的半衰期为5730年，因此，地球大气层中与活着的生物体中的，除含有稳定核素和外，还含有少量的。在活着的生物体内，放射性碳与稳定的碳的比值约为。生物体死亡后，它停止吸收，因此，由于的衰变，

19、这一比值将会减少。假定我们发现一块古时候埋在地下的骨片，当从骨片中分离出100 g碳时，测出这一样品中的放射性强度为6.5次核衰变每秒。试估计该古生物体的死亡年代。5今年是我国著名物理学家、曾任浙江大学物理系主任的王淦昌先生诞生一百周年。王先生早在1941年就发表论文，提出了一种探测中微子的方案：原子核可以俘获原子的K层电子而成为的激发态，并放出中微子（当时写作）而又可以放出光子而回到基态由于中微子本身很难直接观测，能过对上述过程相关物理量的测量，就可以确定中微子的存在，1942年起，美国物理学家艾伦（R.Davis）等人根据王淦昌方案先后进行了实验，初步证实了中微子的存在。1953年美国人莱

20、因斯（F.Reines）在实验中首次发现了中微子，莱因斯与发现轻子的美国物理学家佩尔（M.L.Perl）分享了1995年诺贝尔物理学奖。现用王淦昌的方案来估算中微子的质量和动量。若实验中测得锂核（）反冲能量（即的动能）的最大值，光子的能量。已知有关原子核和电子静止能量的数据为；。设在第一个过程中，核是静止的，K层电子的动能也可忽略不计。试由以上数据，算出的中微子的动能和静止质量各为多少？6处在激发态的氢原子向能量较低的状态跃迁时会发出一系列不同频率的光，称为氢光谱。氢光谱线的波长l可以用下面的巴耳末里德伯公式来表示Rn，k分别表示氢原子跃迁前后所处状态的量子数，k1，2，3，¼

21、88;，对于每一个k，有nk1，k2，k3，¼¼，R称为里德伯常量，是一个已知量，对于k1的一系列谱线其波长处在紫外线区，称为赖曼系；k2的一系列谱线其波长处在可见光区，称为巴尔末系。用氢原子发出的光照射某种金属进行光电效应实验，当用赖曼系波长最长的光照射时，遏止电压的大小为U1，当用巴尔末系波长最短的光照射时，遏止电压的大小为U2，已知电子的电荷量的大小为e，真空中的光速为c，试求：普朗克常量和该种金属的逸出功。7一对正、负电子可形成一种寿命比较短的称为电子偶素的新粒子.电子偶素中的正电子与负电子都以速率v绕它们连线的中点做圆周运动.假定玻尔关于氢原子的理论可用于电子偶素

22、，电子的质量m、速率v和正、负电子间的距离r的乘积也满足量子化条件.即式中n称为量子数，可取整数值1，2，3，；h为普朗克常量.试求电子偶素处在各定态时的r和能量以及第一激发态与基态能量之差.参考解答1解：设电子处在第n条轨道上，其半径为rn，速度为，能量为，由于电子作圆周运动的向心力即为它受原子核的库仑吸引力，故有 电子在轨道上运动时，其总能量为动能和库仑势能之和，则有又由玻尔理论，有 联立、可得， 其中为氢原子中电子的第一轨道半径，因此电子的轨道半径为一系列不连续的值。 其中，为玻尔第一轨道速度。联立、和式可得 其中为氢原子的第一能级，也称氢原子的基态能，n1的能态称为氢原子的激发态，时，

23、En = 0，此时电子远离原子核成为自由电子，整个体系称为原子的电离态。当氢原子由较高能级（设量子数为n2，）向较低能级（设量子数为n1，）跃迁时，它向外辐射光子的能量为 上式两边同除以，因，可得 此即为里德伯方程。将各常量代入中，得到，与实验值比较，相对误差为：。而当时光谱学的实验精度已达到万分之一。2解：在经典力学的轨道概念中，粒子的位置与相应的动量同时具有确定值我们知道，原子的半径r约。假定电子在范围内的原子中运动，即电子位置的不确定量为，由不确定关系，求得电子速度的不确定量与氢原子中电子在第一玻尔轨道的速度（）有相同的数量级！以致无法确切说明在r范围内运动的电子具有多大速度（动量）。因

24、此，由于不确定关系的限制，电子的“轨道”概念失去意义，此时的电子已经不能看作是经典粒子了。3解：(1)相距为r的电量为Q1与Q2的两点电荷之间的库仑力FQ与库仑势能VQ分别为，现在已知正反顶夸克之间的强相互作用势能为根据直接类比可知，正反顶夸克之间的强相互作用力为设正反顶夸克绕其连线的中点做匀速圆周运动的速率为，因二者相距r，二者所受的向心力均为，二者的运动方程均为以题给的量子化条件 代入，可以求得量子化的圆周运动半径和量子化的速度为 ， 粒子处于基态时，取量子数n=1，得，(2)由和r0可算出正反顶夸克做匀速圆周运动的周期T0为由此可知 因正反顶夸克的寿命只有它们组成的束缚系统的周期的，故正反顶夸克的束缚态通常是不存在的。4解：