人教版-数学-必修1函数的基本性质-教案

1、精选优质文档-倾情为你奉上函数的基本性质 学习目标（1）掌握函数的基本性质（单调性、最大值或最小值、奇偶性），能应用函数的基本性质解决一些问题。 （2）从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法 （3）了解奇偶性的概念,回 会利用定义判断简单函数的奇偶性。重点与难点 （1）判断或证明函数的单调性；（2）奇偶性概念的形成与函数奇偶性的判断。 学习过程 一、 函数的单调性1单调函数的定义（1）增函数：一般地，设函数的定义域为：如果对于属于内某个区间上的任意两个自变量的值、,当时都有，那么就说在这个区间上是增函数。（2）减函数：如果对于属于I内某个

2、区间上的任意两个自变量的值、,当时都有，那么就说在这个区间上是减函数。（3）单调性：如果函数在某个区间是增函数或减函数。那么就说函数在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做的单调区间。2、单调性的判定方法（1）定义法：判断下列函数的单调区间：（2）图像法：从左往右，图像上升即为增函数，从左往右，图像下降即为减函数。（3）复合函数的单调性的判断： 设，都是单调函数，则在上也是单调函数。若是上的增函数，则与定义在上的函数的单调性相同。 若是上的减函数，则与定义在上的函数的单调性相同。即复合函数的单调性：当内外层函数的单调性相同时则复合函数为增函数；当内外层函数的单调性相反时则复合函数为增减函数

3、。也就是说：同增异减（类似于“负负得正”）练习：（1）函数的单调递减区间是 ，单调递增区间为 （2）的单调递增区间为 3、函数单调性应注意的问题：单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域(如一次函数)，可以是定义域内某个区间(如二次函数)，也可以根本不单调(如常函数)函数在定义域内的两个区间A,B上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在上是增（或减）函数4例题分析证明：函数在上是减函数。证明：设任意，（0，+）且，则，由，（0，+），得，又，得，即所以，在上是减函数。说明：一个函数的两个单调区间是不可以取其并集，比如：不

4、能说是原函数的单调递减区间；练习：1根据单调函数的定义，判断函数的单调性。2根据单调函数的定义，判断函数的单调性。二、函数的奇偶性1奇偶性的定义： （1）偶函数：一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数。例如：函数, 等都是偶函数。（2）奇函数：一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数。例如：函数，都是奇函数。（3）奇偶性：如果函数是奇函数或偶函数，那么我们就说函数具有奇偶性。说明：从函数奇偶性的定义可以看出，具有奇偶性的函数：（1）其定义域关于原点对称；（2） 或必有一成立。因此，判断某一函数的奇偶性时，首先看其定义域是否关于原点对称，若对

5、称，再计算，看是等于还是等于，然后下结论；若定义域关于原点不对称，则函数没有奇偶性。（3）无奇偶性的函数是非奇非偶函数。（4）函数既是奇函数也是偶函数，因为其定义域关于原点对称且既满足也满足。（5）一般的，奇函数的图象关于原点对称，反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数。偶函数的图象关于轴对称，反过来，如果一个函数的图形关于轴对称，那么这个函数是偶函数。（6）奇函数若在时有定义，则2、函数的奇偶性判定方法（1）定义法（2）图像法（3）性质罚3例题分析：判断下列函数的奇偶性：（1） （ ） （2）（ ）说明：在判断与的关系时，可以从开始化简；也可以去考虑或；当不等于0时也可

6、以考虑与1或的关系。五小结：1函数奇偶性的定义； 2判断函数奇偶性的方法；3特别要注意判断函数奇偶性时，一定要首先看其定义域是否关于原点对称，否则将会导致结论错误或做无用功。二、函数的最大值或最小值 学习评价 自我评价 你完成本节学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差经典例题1下面说法正确的选项（ ）A函数的单调区间可以是函数的定义域B函数的多个单调增区间的并集也是其单调增区间C具有奇偶性的函数的定义域定关于原点对称D关于原点对称的图象一定是奇函数的图象2在区间上为增函数的是（ ）AB C D3函数是单调函数时，的取值范围（ ）A B C D 4如果偶函数在具有最

7、大值，那么该函数在有（ ）A最大值 B最小值 C 没有最大值D 没有最小值 课后作业 1在区间(0，)上不是增函数的函数是（ ）Ay=2x1By=3x21Cy=Dy=2x2x12函数y=(x1)-2的减区间是_ _3偶函数在上单调递增，则从小到大排列的顺序是 ；4已知是R上的偶函数，当时，求的解析式。5（12分）判断下列函数的奇偶性； ；高中数学必修1函数的基本性质1奇偶性（1）定义：如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(x)=f(x)，则称f(x)为奇函数；如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(x)=f(x)，则称f(x)为偶函数。如果函数f(x)不具有上述性质，则f(x)不具有

8、奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f(x)既是奇函数，又是偶函数。注意： 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。（2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤： 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； 确定f(x)与f(x)的关系； 作出相应结论：若f(x) = f(x) 或 f(x)f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(x) =f(x) 或 f(x)f(x) = 0，则f(x)是奇函数。（3）简单性质

9、：图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称；设，的定义域分别是，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇2单调性（1）定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)（f(x1)>f(x2)），那么就说f(x)在区间D上是增函数（减函数）；注意： 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； 必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1<

10、;x2时，总有f(x1)<f(x2)（2）如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间。（3）设复合函数y= fg(x)，其中u=g(x) , A是y= fg(x)定义域的某个区间，B是映射g : xu=g(x) 的象集：若u=g(x) 在 A上是增（或减）函数，y= f(u)在B上也是增（或减）函数，则函数y= fg(x)在A上是增函数；若u=g(x)在A上是增（或减）函数，而y= f(u)在B上是减（或增）函数，则函数y= fg(x)在A上是减函数。（4）判断函数单调性的方法步骤利用定义证

11、明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤： 任取x1，x2D，且x1<x2； 作差f(x1)f(x2)； 变形（通常是因式分解和配方）； 定号（即判断差f(x1)f(x2)的正负）； 下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）。（5）简单性质奇函数在其对称区间上的单调性相同；偶函数在其对称区间上的单调性相反； 在公共定义域内：增函数增函数是增函数；减函数减函数是减函数；增函数减函数是增函数；减函数增函数是减函数。3最值（1）定义：最大值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意的xI，都有f(x)M；存在x0I，使得f(x0) = M。那么，

12、称M是函数y=f(x)的最大值。最小值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意的xI，都有f(x)M；存在x0I，使得f(x0) = M。那么，称M是函数y=f(x)的最大值。注意： 函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x0I，使得f(x0) = M； 函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的xI，都有f(x)M（f(x)M）。（2）利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法： 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值； 利用图象求函数的最大（小）值； 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：如果函数y=f(x)在区间a，b上单

13、调递增，在区间b，c上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；如果函数y=f(x)在区间a，b上单调递减，在区间b，c上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；4周期性（1）定义：如果存在一个非零常数T，使得对于函数定义域内的任意x，都有f(x+T)= f(x)，则称f(x)为周期函数；（2）性质：f(x+T)= f(x)常常写作若f(x)的周期中，存在一个最小的正数，则称它为f(x)的最小正周期；若周期函数f(x)的周期为T，则f(x)（0）是周期函数，且周期为。四典例解析【奇偶性典型例题】例1以下五个函数：（1）；（2）；（3）；（4）； （5），其中奇函数是_

14、 _，偶函数是_ _，非奇非偶函数是 _点评：判断函数的奇偶性是比较基本的问题，难度不大，解决问题时应先考察函数的定义域，若函数的解析式能化简，一般应考虑先化简，但化简必须是等价变换过程（要保证定义域不变）。题型二：奇偶性的应用例2设f（x）是定义在R上的奇函数，若当x0时，f（x）=log3（1+x），则f（2）=_ _。例3已知奇函数，当（0，1）时，那么当（1，0）时，的表达式是 例4若奇函数是定义在（，1）上的增函数，试求a的范围：解：由已知得因f(x)是奇函数，故 ，于是又是定义在（1，1）上的增函数，从而即不等式的解集是【单调性典型例题】例1(1)则a的范围为( ) A B C D

15、 (2)函数)是单调函数的充要条件是( ) A B C D(3)已知在区间上是减函数，且，则下列表达正确的是（ ）A BC D提示：可转化为和在利用函数单调性可得.(4) 如右图是定义在闭区间上的函数的图象,该函数的单调增区间为 例2画出下列函数图象并写出函数的单调区间（1） （2）例3根据函数单调性的定义，证明函数 在 上是减函数例4.设是定义在R上的函数，对、恒有，且当时，。（1）求证：； （2）证明：时恒有；（3）求证：在R上是减函数； （4）若，求的范围。解：(1)取m=0，n= 则，因为 所以 (2)设则 由条件可知又因为，所以 时，恒有（3）设则 = = 因为所以所以即 又因为，所以 所以，即该函数在R上是减函数.(4) 因为，所以所以，所以例5：（复合函数单调