常系数线性微分方程的解法

1、常系数线性微分方程的解法 摘要：本文对常系数线性方程的各种解法进行分析和综合，举出了每个方法的例题，以便更好的掌握对常系数线性微分方程的求解.关键词：特征根法；常数变易法；待定系数法Method for solving the system of differential equationwith Constant Coefficients LinearAbstract:Based on the linear equations with constant coefficients of analysis and synthesis method, the method of each sam

2、ple name, in order to better grasp of the linear differential equation with constant coefficients of the solution.Key Words:Characteristic root；Variation law；The undetermined coefficient method 前言：常系数性微分方程因形式简单，应用广泛，解的性质及结构已研究的十分清楚，在常微分方程中占有十分突出的地位。它的求解是我们必须掌握的重要内容之一，只是由于各种教材涉及的解法较多，较杂，我们一般不易掌握，即使掌握

3、了各种解法，在具体应用时应采用哪种方法比较适宜，我们往往感到困难。本文通过对一般教材中涉及的常系数线性微分方程的主要解法进行分析和比较，让我们能更好的解常系数线性微分方程。1预备知识 复值函数与复值解 如果对于区间中的每一实数，有复值与它对应，其中和是在区间上定义的实函数，是虚数单位，我们就说在区间上给定了一个复值函数.如果实函数，当趋于时有极限，我们就称复值函数当趋于时有极限，并且定义.如果，我们就称在连续.显然，在连续相当于，在连续.当在区间上每一点都连续时，就称在区间上连续.如果极限存在，就称在有导数（可微）.且记此极限为或者，显然在处有导数相当于，在处有导数，且.如果在区间上每点都有导

4、数，就称在区间上有导数.对于高阶导数可以类似地定义.设，是定义在上的可微函数，是复值常数，容易验证下列等式成立：，.在讨论常系数线性微分方程时，函数将起着重要的作用，这里时复值常数.我们现在给出它的定义，并且讨论它的简单性质。设时任依复数，这里，是实数，而为实变量，我们定义.由上述定义立即推得，.2常系数齐次线性微分方程解法分析形如 (1)的方程称为n阶常系数线性非齐次方程，其中，如果，即 (2)称为n阶常系数线性齐次微分方程.为求(2)的解，可以用特征根法（或称待定指数函数法），其基本思想是将微分方程（2）的求解问题转化为代数方程： (3)的求根问题，而不必经过积分运算，只要求出方程(3)的

5、全部根，就能写出方程(3)的通解，问题彻底解决.根据解的结构定理，只要求出方程(1)的的任一特解，借助于方程(2)的通解，就可写出方程(1)的通解。求方程(1)的特解的方法有常数变易法，待定系数法，拉普卡斯变换法。常数变易法是求特解(1)较一般方法，适用于较为一般的函数，缺点是计算较为繁琐，而且还必须进行积分运算，可能会遇到积分上的困难，此解决还有一个缺点是满足的方程组不易推导，因此在求方程(1)的特解时，一般不提倡此法。其余二种解法只适用于（其中为非负整数，分别是次和次实系数多项式）.3.一阶常系数线性方程组的解法分析形如 (4)的方程组称为一阶常系数线性非齐次方程组.其中，.当时，即 (5

6、)称为一阶常系数线性齐次方程组.求方程组(5)的解，一般需先考虑A的特征根。当A的特征根为单根时，用特征根法，此时只需提出每个特征根所对应的特征根向量，便可得到方程组(5)的通解；（当特征根时单复根时，需引入复根的概念在经过技术处理得到实解）；当A的特征根有重根时，用特定系数法，也可以用A的特征根求出指数矩阵而得到方程组(5)的通解，还可以不考虑A的特征根，Laplace变换法求解，至于求方程组(4)的某一特征解，一般用常数变易法.4.典型例题4.1特征根法例1求方程的通解.解特征方程的根为有两个实根和两个复根，均是单根，故方程的通解为，这里是任意常数.例2 求解方程解特征方程为，或，即特征根

7、是重根.因此，方程有四个实值解故通解为，其中为任意常数.例3 求方程的通解.解特征方程或即是三重根，因此方程的通解具有形状其中为任意常数.4.2常数变易法例1 求方程的通解，已知它的对应齐次线性微分方程的基本解组为解应用常数变易法，令将它带入方程，则可得决定和得两个方程及解得由此于是原方程的通解为其中为任意常数.例2 求方程于域上的所有解解对应的齐次线性微分方程为求得它的基本解组.事实上，将方程改写成积分即得所以这里为任意常数易见基本解组为应用上面的结论，我们将方程组改写为并以代入，可得决定和的两个方程和于是故得原方程组的通解为这里是任意常数，它包含了方程组的所有解.4.3比较系数法例1 求方

8、程的通解.解先求对应的齐次线性微分方程的通解.这里特征方程有两个根.因此，通解为，其中为任意常数.再求非齐次线性微分方程的一个特解.这里又因为不是特征根，故可取特解形如，其中为特定常数，为了确定，将代入原方程，得到比较系数得由此得，从而，因此，原方程的通解为.例2 求方程的通解.解从上例知道对应的齐次线性微分方程的通解为其中为任意常数.现求原方程的一个特解,这里,因为刚好特征方程的单根,故有特解形如,将它代入原方程得到,从而,于是,而原方程的通解为.例3 求方程的通解解特征方程有重根因此，对应的其次线性微分方程的通解为其中为任意常数。现求非其次线性微分方程的一个特解。因为不是特征根，我们求形如

9、的特解，将它代入原方程并化简得到比较同类项系数得，从而，因此原方程的通解为复数法解例3解有例3一直对应的齐次线性微分方程的通解为为求非齐次线性微分方程的一个特解，我们先求方程的特解。这属于类型，其中及为实常数而不是特征根，故可设特解为，将它代入方程并消去因子得，因而，分出它的实部，根据定理9这就是原方程的特解，于是原方程的特解为与例3所得结果相同。总结：常微分线性方程的求解还有很多方法，以上是对它的解法的部分求解，还不全面，还需要我们从多个方面来了解常微分线性方程的求解方法.参考文献叶彦谦.常微分方程讲义.第二版.北京:高等教育出版社,1988,182-192.王怀柔,伍桌群.常微分方程讲义.北京:人民教育出版社,1979,122-133.国振喜.工程微分方程.北京:机械工业出版社,2004,85-87.李瑞遐.应用微分方程.上海:华东理工大学出版社,2005,25-27.丘维生.高等代数(下册).北京:高等教育出版社