微分方程14051

1、教学内容（含时间安排）板书或旁注第八章 微分方程第一节 微分方程的基本概念（1课时）要求：弄清微分方程“阶”、“解”、“初时条件”、“通解”、“特解”等基本概念。重点：微分方程的基本概念。难点：建立数学模型。1引例 例1已知曲线上任一点处的切线斜率等于该点横坐标与纵坐标之比，且该曲线通过点，求此曲线的方程解 根据导数的几何意义，所求曲线应满足关系式，即 ， 或 ，上式通过积分，得，其中为任意常数，再由条件，求得，故所求曲线方程为 （双曲线） 例2设质量为的物体在重力作用下自由下落，已知初速度为，求物体下落的距离与时间的关系（设物体下落时不计空气阻力）解 设表示下落的位置与起始位置之间的距离，表

2、示下落的时间，问题要求出，即与的函数关系由牛顿第二定律知 ，又因为物体受重力的作用（不计空气阻力），于是应满足关系式，即 此外，应满足初始状态的条件是，对于方程关于积分一次，得,再积分一次，得 其中是两个独立的任意常数再由初始状态的条件，求出，则 就是所求物体自由下落时的运动规律 2基本概念 定义1. 含有未知函数及其导数（偏导数）或微分的等式称为微分方程例如： ，均是微分方程，以上微分方程中未知函数都是一元函数，他们所满足的微分方程称常微分方程如果未知函数是多元函数，则含有未知函数及偏导数的等式，称偏微分方程例如： ，本章只讨论常微分方程，以后常微分方程简称方程 定义2. 在方程中出现的未知

3、函数导数的最高阶数，称为微分方程的阶例如： 是一阶微分方程，二阶微分方程，是三阶微分方程一般地，阶微分方程的一般形式是 定义3. 若用某个函数及其各阶导数代入微分方程中后，使方程成为恒等式，则此函数称为微分方程的解例如： 函数是微分方程的解，方程是微分方程的解 定义4 若方程解中含有独立的任意常数的个数等于微分方程的阶数，则称此解为微分方程的通解例如： 函数是微分方程的通解，函数是微分方程的通解定义5. 从通解中取定任意常数的一组值所得到的解称为微分方程的特解例如： 函数是微分方程的特解，函数是微分方程的特解 定义6. 用来确定通解中任意常数的条件称为初始条件 例如： 条件是一阶微分方程的初始

4、条件；条件，是二阶微分方程的初始条件定义7. 求微分方程满足初始条件的特解这样一个问题，叫一阶微分方程的初值问题，记作 例3求含有两个任意常数的曲线族所满足的二阶微分方程 解 分别求出函数的一、二阶导数 ，上面两式消去得二阶微分方程 例4（1）验证函数（）是微分方程的通解；（2）已知函数，当时，是微分方程的通解，求满足初始条件，的特解解（1）因为 ，将上式代入方程中满足方程，故为方程的解，且相互独立，因此是方程的通解（2）将条件代入中，得，将条件代入中，得，故得所求特解为例5试确定，使是微分方程的解 解 因为，将，代入方程中，得，又因为，得，所以，因此当时，是微分方程的解 第二节 可分离变量的

5、微分方程（1课时）要求：掌握变量可以分离方程及其解法。重点：可分离变量的微分方程的求解。难点：可分离变量的微分方程的求解1引例 求解微分方程解 因为，方程两边积分，得为方程的解对于微分方程，不能象上面直接积分，因为等式右边含有，如果方程变为，则两端可积分得 或 为方程通解2可分离变量的微分方程如果一阶微分方程的右端函数，则称形如的方程为可分离变量的微分方程求方程通解 分离变量，得 ，上式两端积分 ，得方程通解为 ，其中函数是的原函数，函数是的原函数 例1求微分方程的通解解 首先判别方程是可分离变量的，分离变量 ，上式两端积分 ，得 于是方程的通解为说明 为运算方便，遇到对数，可不加绝对值，只认

6、为可正可负 例2求微分方程的通解解 微分方程是可分离变量的，分离变量，得 两端积分，得即为微分方程的通解上式给出的方程通解是隐函数形式的，称为方程的隐式通解 第三节 一阶线性微分方程（1课时）要求：掌握一阶线性微分方程的解法，会解伯努利方程。重点：一阶线性微分方程的求解，线性微分方程解的特点。难点：作为自变量的一阶线性微分方程及伯努利方程的求解问题。作业：习题124（）一、线性微分方程1定义 形如 （1）的微分方程称为一阶线性微分方程 当时，微分方程 （2）称为一阶线性齐次微分方程； 当时，微分方程称为一阶线性非齐次微分方程 2求解 （1）求解一阶线性齐次微分方程 通解该方程是可分离变量方程，

7、分离变量，得 上式两端积分，得 即得线性齐次微分方程的通解 （2）用常数变易法，求线性非齐次微分方程（1）的通解 设（2）通解中的换成函数，即作变换， 设为方程（1）的解，将其代入方程（1）中求出因为 将其代入（1）中，得 即 ，上式两端积分，得 再将代回，即得线性非齐次微分方程（1）的通解 （3） 注意 线性非齐次微分方程的通解等于所对应线性齐次微分方程通解加线性非齐次微分方程的一个特解 例1求方程的通解解 （1）先求出对应线性齐次微分方程通解因为 分离变量，得 ， 两边积分，得 得所求微分方程的通解为 （2）用常数变易法求线性非齐次通解设为线性非齐次方程的解，将其及 代入原方程中，得 即 积分，得 于是微分方程的通解为例2求连续函数，使它满足积分方程 解 方程两边求导，得 ，成为一阶线性微分方程，