数模论文——雨中打伞分析

1、暨 南 大 学本科生课程论文论文题目： 雨中撑伞分析 学 院： 管理学院 学 系： 市场学系 专 业： 市场营销 课程名称： 数学建模与创新实践 学生姓名： 廖秋杰 2014年12月 30日雨中撑伞分析模型摘要本模型是对于日常生活中下雨打伞问题进行抽象分析的模型。对于这个模型，分三个部分。第一个部分是计算日常生活中雨水的下降到地面的角度，通过将雨水的速度分解为水平速度与竖直速度，建立起雨水入射角度的模型。第二个部分是建立起在不同撑伞姿势下的模型并且解决在不同模型下所能够遮挡雨水的最大角度。第三部分是通过引入日常生活中具体的数值对前面所建立的模型进行求解并且得出最终的结论。对于第一个速度模型，考

2、虑到雨水的运动受到重力，阻力以及风力的影响，把雨水的速度分解为水平与垂直两个速度，从而比较直观地，可行地建立起雨水速度以及降落角度的模型。对于第二个模型，由于雨水是变化的，所以针对这一现象，考虑不同撑伞姿势下所能够遮挡雨水的最大角度，这样对于日常应用有更加值得借鉴的作用。由于理论是为现实服务的。在现实生活中，算出雨水的速度等变量不容易，所以这里直接把日常生活中的一些数值代入求解结果，这样更能提高其现实作用与借鉴意义。当然，由于所学知识的限制，本模型还是显得粗糙了些，需要进一步的改进以提高其实用性。关键词：流体力学，三角函数，反三角函数，力的分解，重力加速度，风速，阻力，风速，勾股定理。1.问题

3、重述日常生活中，由于天气的变化，出行难免会遇到下雨的情况，撑伞出行就成为了一个很普遍的现象。理论上，雨水下落过程中受到地球重力的作用以及空气阻力的作用，因此雨水下落的方向应该是垂直于水平面的竖直方向，那么最有效的撑伞方式自然是竖直撑伞。然而现实中雨水降落过程中受到多种外力的影响，包括风力，其他气流的扰动，因此雨是与水平面以一定的角度降落的，那么撑伞的方法与此发生相应地变动。问题是雨伞应该如何调整，使得挡雨的面积最大化，这里就需要根据相关的变量建立起相关数学模型。根据模型得出在不同的情况下如何调整雨伞，使得挡雨面积最大化，从而有效地解决问题。理论是为现实服务的，在建立起数学模型后，接下来根据实际

4、资料，算出不同情况下的打伞方式，从而为生活服务。在这里，由于影响雨水轨迹的变量是连续的，不能够一一计算出来，所以最后根据生活中比较典型的情况以及已有的资料，给出在不同天气状况下的打伞方式。2.问题分析根据实际情况，最理想的打伞方式是伞面与雨水的方向垂直。这里难点主要在于如何求出雨水的方向。根据牛顿力学以及力的分解，可以把雨水下落过程中受到的力分解为几个独立的力，而力又影响雨水的速度。那么其实就可以分析雨水降落过程中是受到那些力的作用，这些力又是如何改变雨水各个方向的速度的，接着根据平行四边形法则把雨水各个方向的分速度合起来就可以计算出雨水的速度了。在计算出雨水的速度之后，接下来就是根据雨水速度

5、的方向调整伞的方向，使得挡雨面积最大化。由于撑伞的方式有多种，这里主要是研究伞的高度以及伞的角度是如何影响到挡雨面积的，通过比较，得出挡雨面积最大化的情况。另外一方面，挡雨面积最大化可能并不是最优的打伞方式，根据实际情况，现实生活中打伞不一定要防雨面积最大化，只要行人撑伞不被雨水淋到就可以了。那么接下来需要再分析各种打伞方式的临界值，即超过这个临界方式行人则会被雨水淋到。最后，根据各种比较结果得出最优的打伞方式，解决生活中的实际问题。模型假设（1）假设雨水降落过程中只收到重力，风力，以及空气阻力的作用，不受到其他力的作用（2）风对雨水作用力的方向是水平的，且在一定时间范围内方向是固定的（3）假

6、设在一段时间内雨滴是一样大的（4）假设风力在一定时间范围内是稳定不变的（5）模型的假设基于人在水平面行走上进行的（6）雨水在水平方向受到阻力忽略不计（7）雨水达到收尾速度（8）人是缓慢行走的，与雨水上的相对作用很小3.符号说明Vw表示风在水平方向的速度；Vr1表示雨水在竖直方向的速度；Vr2表示雨水在水平方向的速度；Vr表示雨水的收尾速度；H伞面到地面的距离W行人跨步宽度U雨伞宽度雨水与地面的夹角4.模型准备在本模型中，关键点有两个：一个是根据各种力的作用计算出雨水的矢量速度另外一个是根据雨水的速度调整雨伞的角度。这里先计算雨水的速度。根据牛顿力学力的分解我们可以把雨水受到的力分解出来，由于雨

7、水的速度受到力的影响，根据分解出来的力，可以计算出雨水在不同方向的速度，接下来根据力的合成以及速度的合成即可求出雨水的速度出来。由于雨水在下降过程中受到多个力的影响，但主要的力是重力，空气阻力以及风力的影响，其他的力的影响作用不显著，为了简化模型，这里把雨水受到的其他的力忽略不计。5.0 雨水竖直方向的速度5.1雨水在竖直方向上的速度根据牛顿力学以及流体力学的知识，在竖直方向，雨水在刚开始下落的过程，是以g(重力加速度)为加速度做自由落体运动，但是在这个下降过程中由于还受到空气阻力以及雨水本身浮力的作用，雨水先是加速下降，速度越大，雨水所受到的阻力越大，当重力与阻力相等时，雨水达到二力平衡的条

8、件，此时雨水做匀速直线运动，雨水最后匀速直线运动的速度称为收尾速度。而影响雨水最终收尾速度主要是雨水的半径，一般来说，雨水的半径越大，质量越大，从而达到重力与阻力相等的时间越长，此时雨水的收尾速度就越大，雨水半径与雨水的速度之间有着相关的关系。而雨水半径又与雨量息息相关，一般雨量大的话雨水半径就大，即雨下得越大，那么雨水的速度就越大。这里雨量跟雨水存在着一个关系式，但是由于资料的欠缺，所以模型不以雨量为自变量，直接以雨水的速度Vr1为自变量，即这里假设雨水在垂直方向的速度为Vr1。5.1雨水在水平方向速度雨水在水平方向的受力主要是风力以及水平方向的阻力，但是相对于雨水速度，风速比较小，所以受到

9、的阻力比较小，为了简化模型，这里把阻力忽略不计，所以雨水在水平方向的阻力最终等于风速。另外，从雨水水平方向受到风力的影响到雨水水平速度等于风速存在一个加速的过程，这里假设雨水直接达到风速。那么最终雨水的水平速度Vr1=Vw5.2 雨水速度的合成以及雨水的夹角雨水所受到的水平力与竖直力是垂直的，根据平行四边形法则以及勾股定理,可以得出夹角：=arctan(Vr1/ Vr2)= arctan(Vr1/ Vw)雨水的受力分析图Vr2雨水运动方向Vr16模型的建立根据上面所求出来的结果，下面分几种情况建立构造不同的模型：6.1改变撑伞高度对挡雨有效面积的模型在这里，为了使撑伞时不遮挡视线，把雨伞的侧面

10、的弧形简化为过伞檐的割线如下图：6.11 雨水不受风力时的情况由图可以看出来，假设在没有风的情况下，且行人的行走速度相对缓慢时，行人与雨水的相对速度较小，此时改变高度不影响遮雨效果，此时为最理想的出行状况。6.12 雨水受风力影响的情况在有风的情况下，假设风是迎面吹来的，此时雨水与伞面，地面形成一个平行四边形。每当雨伞下降h个单位，则整体挡雨面积顺着行人行走的方向平移（h*cot）个单位。6.13 改变高度的临界情况在实际使用的情况中，雨伞不可能无限降低高度，当雨伞离地面的距离等于人的身高时，雨伞的高度就不能够再降低了，否则行人需要弯下腰行走，且容易遮挡视线。所以这里存在着一个夹角，当雨水与地

11、面的夹角大于这个值的时候，即便是改变高度，行人也必定会被雨水淋到。下面计算这个临界值：如上图可以看出，当雨伞的高度H等于人的高度，雨水刚好落在前脚尖，此时达到临界值，假如雨水角度超过这个临界值，那么行人就会被雨淋到了。在三角形ABC中，AB=H，BC=1/2*（U-W），则=arctan(AB/BC)=arctan(2H/(U-W)。另外，根据风速与雨水速度算出来的雨水角度，即可比较得出采用此种方案是否能够有效挡雨。6.2 移动伞面对挡雨面积的影响如下图，当伞面前进或者后移时的情况：6.21 伞面前移分析由6.1可以知道，雨水倾斜时雨水与伞面，地面构成一个平行四边形，此时，当伞面向前移动一个单

12、位距离时，在地上的当雨区域也相应移动一个单位距离。但是此方案也有另外一个限制，雨伞不可能一直向前移动。由于惯性等的影响，滴落在雨伞上面的雨滴会在雨伞的四周下落（由于身体的阻挡，雨伞后檐的雨滴基本不受风的影响，所以后檐的雨水水平上基本不受风的作用，即此时雨水是竖直下降的），则雨伞前移的最大限度是雨伞的后檐要与脚后跟平齐，否则，脚后跟会被打落到雨伞上而低落的雨水而滴到。6.22平移的临界情况根据6.1的资料可以知道，降低雨伞高度可以让挡雨区域前移，而雨伞前移有着同样的作用，那么，前移的临界情况如下图，当雨水角度超过这个值时，前移就挡不到所有的雨了。下面来求出这个临界值：此时雨伞高度应该与行人的高度

13、平齐，并且雨伞的后檐与脚后跟对齐。仍然是在三角形ABC中，AB=H,BC=U-W,则=arctan(AB/BC)=arctan(H/(U-W),当雨水超过这个角度时候，前移不能够有效遮挡雨水。6.3改变雨伞角度对挡雨面积的影响 当改变高度与平移都无法有效挡雨时，此时可以选择第三种方式：改变雨伞的角度。这里有三个问题需要计算：第一，雨水滴落到雨伞后接下来的运动方式 如何；第二个问题是雨伞与雨水之间的角度为多大时有最佳的遮雨范围；第三是求改变角度的临界情况。6.31雨水滴落到雨伞后的运动轨迹如图所示，雨伞的侧面是圆形的一小段弧，图中虚线与圆之间的切点是雨水低落的分割点，雨水下落在分割点的左边上，那

14、么雨水则会往左边滴落，如果雨水下落在右边上，那么雨水就在右边滴落。假如雨伞的弧完全处在切点的左边上，那么雨水都将在左边滴落。6.32雨伞与雨水之间的角度为多大时有最佳的遮雨范围如图所示，斜线为雨水效果图，弧线为雨水的侧面图，为了使效果更加明显，这里把雨伞的弧夸张化，A点是旋转点，当雨水刚好与弧线相切时且这个切点就是雨伞的边缘，雨伞的遮挡效果最佳。加入雨水再往下旋转，此时雨水仍然与雨伞相切，但是切点下方雨伞起不到挡雨的作用。加入雨伞往上旋转，雨水会与以伞杆为半径的圆相割（图中半径没有画出来），如图，即雨线右移，最理想的效果就是雨伞的弧的割线与雨线垂直。6.33旋转雨伞的临界情况E当行人高度与雨伞

15、宽度，行人跨步是一定的时候，那么现在就存在一个临界值，当雨水角度大于时，那么行人就必定被雨水淋到，下面来算出这个的值。DBCA在一般情况下，这个临界值会比较大，即此时最佳遮雨效果要使雨伞大幅度倾斜，此时往后流的雨水很少或者雨水只往前流。为了减少复杂度，这里假设雨水都向前流。同时，雨伞的高度跟人的高度相同（由6.1结论可以知道，这里其实简化了，真实情况应该稍微高一点才不会淋到头），且雨伞的后檐正好在人身体的正上方，这时刚好达到临界情况。为了算出这个来，我们把图像抽象化，如图2。此时DE为雨伞宽度，则DE=U，EC为雨伞到地面的距离，也等于人的高度，EC=H，BC是人跨度的一半，则BC=0.5WE

16、CBC，则在EBC中，EB=（BC2+EC2）=(0.25W2+H2)又因为最理想的效果是雨线与雨伞垂直，即DEBC,即可以算出在DEB中， DB=(BE2-DE2)= (0.25W2+H2 U2)，接下来算DBE和EBC的余弦值cosDBE=DB/BE=(0.25W2+H2 U2)/ (0.25W2+H2)sinDBE=DE/BE=U/(0.25W2+H2)cosEBC=BC/BE=0.5W/(0.25W2+H2)sinEBC=EC/BE=H/(0.25W2+H2)cosDBC=cos(DBE+EBC)= cosDBE* cosEBC- sinDBE* sinEBC =(0.5*(0.25W

17、2+H2 U2)-U*H)/( 0.25W2+H2)cosABD=cos（-DBC）=-cosDBC=-(0.5W(0.25W2+H2 U2)-U*H)/( 0.25W2+H2)则=arccosABD当超过这个角度时，出行必定被雨淋。7.模型的求解与结果分析对于上面所建立的三种情况下的三个大模型，其结果都是基于变量伞到地面高度H、雨伞宽度，行人跨步来得出的。在这样的情况下，模型显得过去抽象。同时，基于雨量与风速的模型也过于抽象。这样过于抽象的模型对于日常生活没有太多的借鉴意义。那么下面所要做的就是根据日常生活中的具体数据给出在不同雨量雨风速下的实际模型与撑伞方式。在上面求出的计算雨水速度的模型

18、中，由于雨量与雨水速度的根据查阅相关资料，且考虑到现实情况，这里以中国女性为例.中国女性平均身高1.63m,跨步0.5m。另外，雨伞撑开大约有1m宽。同时，雨水与风力之间存在着一般的相关关系，一般来讲，雨下的越大，风力越大；雨下得越小，风越小。这里我们以小于，中雨，大雨为例，并且查阅相关资料，分别在这三种雨情况下一般风力最多能够达到的等级。这样就可以得出在不同降雨等级下撑伞的效果了。下面先根据上面的模型计算不同撑伞情况下的临界值：由上知道，在模型中，H=1.63，W=0.5，U=1，根据这三个变量，结算结果如下：模型1：=arctan(2H/(U-W)=arctan(2*1.63/(1-0.5

19、)=81.21模型2：= arctan(H/(U-W)=arctan(1.63/(1-0.5)=72.94模型3：=arcos(-(0.5W(0.25W2+H2 U2)-U*H)/( 0.25W2+H2)=61.38从上面的结果中可以看出来，三种模型虽然都是在相同的条件下，但是其结果却是不同的。第三中模型能够承受雨水的角度最大，即说明在雨下得大的情况下，采取第三种模型仍然能够有效地抵挡雨水。但是，单纯给出一个雨水的角度太抽象了，下面就以日常生活中具体的现象为例，说明在什么情况下可以采取哪种撑伞方式，同时，在什么条件下不宜撑伞出行。根据网络上查找到的资料，一般小雨的降落速度为3m/s，中雨为5

20、m/s，大雨为7 m/s，暴雨为9 m/s。同时，雨越大风越大，因此雨水的水平速度越大。但是现实情况中雨水的水平速度不会跟风速一样，这里找到了4个不同雨水降落速度时的水平速度，从小雨到暴雨雨水的水平速度分别为0.9 m/s,2.45 m/s,4.01 m/s,5.94 m/s.接下来是算这几种不同情况下雨水的角度值了：小雨时夹角：=arctan（Vr1/Vw）=arctan(3/0.9)=73.3中雨时夹角：=arctan（Vr1/Vw） =arctan(5/2.45)=63.86大雨时夹角：=arctan（Vr1/Vw）=arctan(7/4.01)=60.19暴雨时夹角：=arctan（V

21、r1/( Vw+Vm)）=arctan(9/5.94)=56.57从上面的数据中可以看出来，雨下得越大，雨水与地面的夹角就越小。当达到中雨时候，一般就不太适合带伞出行了。假如带伞出行的话，被雨淋到的可能性会比较大。8.模型的评价和改进8.1模型的优点：本模型的主要优点是把日常生活中的具体事例抽象化，数学化，通过建立起数学模型为本问题提供了一个比较方案。本数学模型对于日常生活具有一定的借鉴意义，其主要目的是解决什么情况下可以带伞出行，什么情况下同时本模型可以扩展到日常生活其他应用中去，比如帐篷挡雨等。另外一方面，本模型是对网络上的这个问题的扩展与具体化，对解决网络上的问题具有一定的借鉴意义。8.2模型的缺点：模型的主要问题在于计算雨水的水平与竖直速