高中数学专题讲义：平面向量

1、精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业高中数学专题讲义：平面向量第第 1 讲讲平面向量的概念及线性运算平面向量的概念及线性运算最新考纲最新考纲1.了解向量的实际背景；2.理解平面向量的概念,理解两个向量相等的含义；3.理解向量的几何表示；4.掌握向量加法、减法的运算,并理解其几何意义；5.掌握向量数乘的运算及其几何意义,理解两个向量共线的含义；6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.知 识 梳 理1.向量的有关概念名称定义备注向量既有大小又有方向的量； 向量的大小叫做向量的长度(或称模)平面向量是自由向量零向量长度为零的向量；其方向是任意的记作 0单位向量长度等于 1 个单位的向量非零向量

2、 a 的单位向量为a|a|平行向量方向相同或相反的非零向量0 与任一向量平行或共线共线向量方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等,不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0 的相反向量为 02.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：abba.(2)结合律：(ab)ca(bc)减法求a与 b的相反向量b 的和的运算叫做 a 与 baba(b)精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业的差数乘求实数与向量a 的积的运算(1)|a|a|；(2)当0 时,a 的方向与 a的方向相同；当0 时,a的方

3、向与 a 的方向相反； 当0 时,a0(a)a；()aaa；(ab)ab3.共线向量定理向量 a(a0)与 b 共线的充要条件是存在唯一一个实数,使得 ba.诊 断 自 测1.判断正误(在括号内打“”或“”)精彩 PPT 展示(1)零向量与任意向量平行.()(2)若 ab,bc,则 ac.()(3)向量AB与向量CD是共线向量,则 A,B,C,D 四点在一条直线上.()(4)当两个非零向量 a,b 共线时,一定有 ba,反之成立.()(5)在ABC 中,D 是 BC 中点,则AD12(ACAB).()解析(2)若 b0,则 a 与 c 不一定平行.(3)共线向量所在的直线可以重合,也可以平行,

4、则 A,B,C,D 四点不一定在一条直线上.答案(1)(2)(3)(4)(5)2.给出下列命题：零向量的长度为零,方向是任意的；若 a,b 都是单位向量,则 ab；向量AB与BA相等.则所有正确命题的序号是()A.B.C.D.解析根据零向量的定义可知正确；根据单位向量的定义可知,单位向量的模相等,但方向不一定相同,故两个单位向量不一定相等,故错误；向量AB与BA互为相反向量,故错误.答案A3.(2017枣庄模拟)设 D 为ABC 所在平面内一点,AD13AB43AC,若BCDC(R),则()A.2B.3C.2D.3精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业解析由AD13AB43AC,可得 3A

5、DAB4AC,即 4AD4ACADAB,则 4CDBD,即BD4DC,可得BDDC3DC,故BC3DC,则3,故选 D.答案D4.(2015全国卷)设向量 a,b 不平行,向量ab 与 a2b 平行,则实数_.解析向量 a,b 不平行,a2b0,又向量ab 与 a2b 平行,则存在唯一的实数,使ab(a2b)成立,即aba2b,则得，12，解得12.答案125.(必修 4P92A12 改编)已知ABCD 的对角线 AC 和 BD 相交于 O,且OAa,OBb,则DC_,BC_(用 a,b 表示).解析如图,DCABOBOAba,BCOCOBOAOBab.答案baab考点一平面向量的概念【例 1

6、】 下列命题中,不正确的是_(填序号).若|a|b|,则 ab；若 A,B,C,D 是不共线的四点,则“ABDC”是“四边形 ABCD 为平行四边形”的充要条件；若 ab,bc,则 ac.解析不正确.两个向量的长度相等,但它们的方向不一定相同.正确.ABDC,|AB|DC|且ABDC,又 A,B,C,D 是不共线的四点,四边形 ABCD 为平行四边形； 反之,若四边形 ABCD 为平行四边形,则|AB|DC|,ABDC且AB,DC方向相同,因此ABDC.正确.ab,a,b的长度相等且方向相同,又bc,b,c 的长度相等且方向相同,a,c的长度精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业相等且方向

7、相同,故 ac.答案规律方法(1)相等向量具有传递性,非零向量的平行也具有传递性.(2)共线向量即为平行向量,它们均与起点无关.(3)向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量.解题时,不要把它与函数图象的移动混为一谈.(4)非零向量 a 与a|a|的关系：a|a|是与 a 同方向的单位向量.【训练 1】 下列命题中,正确的是_(填序号).有向线段就是向量,向量就是有向线段；向量 a 与向量 b 平行,则 a 与 b 的方向相同或相反；两个向量不能比较大小,但它们的模能比较大小.解析不正确,向量可以用有向线段表示,但向量不是有向线段,有向线段也不是向量；不正确,若 a 与 b 中有一个为零向

8、量,零向量的方向是不确定的,故两向量方向不一定相同或相反；正确,向量既有大小,又有方向,不能比较大小；向量的模均为实数,可以比较大小.答案考点二平面向量的线性运算【例 2】(1)(2017潍坊模拟)在ABC 中,P,Q 分别是 AB,BC 的三等分点,且 AP13AB,BQ13BC.若ABa,ACb,则PQ()A.13a13bB.13a13bC.13a13bD.13a13b(2)(2015北京卷)在ABC 中,点 M,N 满足AM2MC,BNNC.若MNxAByAC,则 x_；y_.解析(1)PQPBBQ23AB13BC23AB13(ACAB)13AB13AC13a13b,故选 A.精选优质文

9、档-倾情为你奉上专心-专注-专业(2)由题中条件得,MNMCCN13AC12CB13AC12(ABAC)12AB16ACxAByAC,所以 x12,y16.答案(1)A(2)1216规律方法(1)解题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量,并能熟练运用相反向量将加减法相互转化.(2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：观察各向量的位置；寻找相应的三角形或多边形；运用法则找关系；化简结果.【训练 2】 (1)如图,正方形 ABCD 中,点 E 是 DC 的中点,点 F 是 BC 的一个靠近B 点的三等分点,那么EF等于()A.12AB13ADB.14AB12ADC.13AB12DAD.12A

10、B23AD(2)在ABC 中,AB2,BC3,ABC60,AD 为 BC 边上的高,O 为 AD 的中点,若AOABBC,则等于()A.1B.12C.13D.23解析(1)在CEF 中,有EFECCF.因为点 E 为 DC 的中点,所以EC12DC.因为点 F 为 BC 的一个靠近 B 点的三等分点,所以CF23CB.所以EF12DC23CB12AB23DA12AB23AD,故选 D.精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业(2)ADABBDAB13BC,2AOAB13BC,即AO12AB16BC.故121623.答案(1)D(2)D考点三共线向量定理及其应用【例 3】 设两个非零向量 a

11、与 b 不共线.(1)若ABab,BC2a8b,CD3(ab).求证：A,B,D 三点共线；(2)试确定实数 k,使 kab 和 akb 共线.(1)证明ABab,BC2a8b,CD3(ab).BDBCCD2a8b3(ab)2a8b3a3b5(ab)5AB.AB,BD共线,又它们有公共点 B,A,B,D 三点共线.(2)解kab 与 akb 共线,存在实数,使 kab(akb),即 kabakb,(k)a(k1)b.a,b 是不共线的两个非零向量,kk10,k210,k1.规律方法(1)证明三点共线问题,可用向量共线解决,但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得

12、出三点共线.(2)向量 a,b 共线是指存在不全为零的实数1,2,使1a2b0 成立.【训练 3】 (1)(2017资阳模拟)已知向量ABa3b,BC5a3b,CD3a3b,则()A.A,B,C 三点共线B.A,B,D 三点共线C.A,C,D 三点共线D.B,C,D 三点共线(2)已知 A,B,C 是直线 l 上不同的三个点,点 O 不在直线 l 上,则使等式 x2OAxOBBC0 成立的实数 x 的取值集合为()A.0B.C.1D.0,1精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业解析(1)BDBCCD2a6b2(a3b)2AB,BD、AB共线,又有公共点 B,A,B,D 三点共线.故选 B.

13、(2)因为BCOCOB,所以 x2OAxOBOCOB0,即OCx2OA(x1)OB,因为 A,B,C 三点共线,所以x2(x1)1,即 x2x0,解得 x0 或 x1.答案(1)B(2)D思想方法1.向量的线性运算满足三角形法则和平行四边形法则.向量加法的三角形法则要素是“首尾相接,指向终点”；向量减法的三角形法则要素是“起点重合,指向被减向量”；平行四边形法则要素是“起点重合”.2.证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线.3.对于三点共线有以下结论：对于平面上的任一点 O,OA,OB不共线,满足OPxOAyOB

14、(x,yR),则 P,A,B 共线xy1.易错防范1.解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小,更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件.要特别注意零向量的特殊性.2.在利用向量减法时,易弄错两向量的顺序,从而求得所求向量的相反向量,导致错误.基础巩固题组(建议用时：30 分钟)一、选择题1.已知下列各式：ABBCCA；ABMBBOOM；OAOBBOCO；ABACBDCD,其中结果为零向量的个数为()A.1B.2C.3D.4精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业解析由题知结果为零向量的是,故选 B.答案B2.设 a 是非零向量,是非零实数,下列结论中正确的是(

15、)A.a 与a 的方向相反B.a 与2a 的方向相同C.|a|a|D.|a|a解析对于 A,当0 时,a 与a 的方向相同,当0 时,a 与a 的方向相反,B 正确； 对于 C,|a|a|,由于|的大小不确定,故|a|与|a|的大小关系不确定；对于 D,|a 是向量,而|a|表示长度,两者不能比较大小.答案B3.如图,在正六边形 ABCDEF 中,BACDEF()A.0B.BEC.ADD.CF解析由题图知BACDEFBAAFCBCBBFCF.答案D4.设 a0为单位向量,下述命题中：若 a 为平面内的某个向量,则 a|a|a0；若 a 与 a0平行,则a|a|a0；若 a 与 a0平行且|a|

16、1,则 aa0.假命题的个数是()A.0B.1C.2D.3解析向量是既有大小又有方向的量,a 与|a|a0的模相同,但方向不一定相同,故是假命题；若a 与 a0平行,则 a 与 a0的方向有两种情况：一是同向,二是反向,反向时 a|a|a0,故也是假命题.综上所述,假命题的个数是 3.答案D5.设M为平行四边形ABCD对角线的交点,O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点,则OAOBOCOD等于()A.OMB.2OMC.3OMD.4OM解析OAOBOCOD(OAOC)(OBOD)2OM2OM4OM.故选 D.答案D精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业6.在ABC 中,ABc,ACb,若点

17、 D 满足BD2DC,则AD等于()A.23b13cB.53c23bC.23b13cD.13b23c解析BD2DC,ADABBD2DC2(ACAD),3AD2ACAB,AD23AC13AB23b13c.答案A7.(2017温州八校检测)设a,b不共线,AB2apb,BCab,CDa2b,若A,B,D三点共线,则实数 p 的值为()A.2B.1C.1D.2解析BCab,CDa2b,BDBCCD2ab.又A,B,D 三点共线,AB,BD共线.设ABBD,2apb(2ab),22,p,1,p1.答案B8.如图所示,已知AB 是圆O的直径,点C,D是半圆弧的两个三等分点,ABa,ACb,则AD()A.

18、a12bB.12abC.a12bD.12ab解析连接 CD,由点 C,D 是半圆弧的三等分点,得 CDAB 且CD12AB12a,所以ADACCDb12a.答案D二、填空题9.如图,点O是正六边形ABCDEF的中心,在分别以正六边形的顶点和中心为始精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业点和终点的向量中,与向量OA相等的向量有_个.解析根据正六边形的性质和相等向量的定义,易知与向量OA相等的向量有CB,DO,EF,共 3 个.答案310.如图,在平行四边形 ABCD 中,对角线 AC 与 BD 交于点 O,ABADAO,则_.解析因为 ABCD 为平行四边形,所以ABADAC2AO,已知AB

19、ADAO,故2.答案211.向量 e1,e2不共线,AB3(e1e2),CBe2e1,CD2e1e2,给出下列结论：A,B,C 共线；A,B,D 共线；B,C,D 共线；A,C,D 共线,其中所有正确结论的序号为_.解析由ACABCB4e12e22CD,且AB与CB不共线,可得 A,C,D 共线,且 B 不在此直线上.答案12.已知ABC 和点 M 满足MAMBMC0,若存在实数 m 使得ABACm AM成立,则 m_.解析由已知条件得MBMCMA,如图,延长 AM 交 BC 于 D 点,则 D 为BC 的中点.延长 BM 交 AC 于 E 点,延长 CM 交 AB 于 F 点,同理可证 E,

20、F 分别为 AC,AB 的中点,即 M 为ABC 的重心,AM23AD13(ABAC),即ABAC3AM,则 m3.答案3能力提升题组(建议用时：15 分钟)13.(2017延安模拟)设 e1与 e2是两个不共线向量,AB3e12e2,CBke1e2,CD3e12ke2,若A,B,D 三点共线,则 k 的值为()A.94B.49C.38D.不存在精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业解析由题意,A,B,D 三点共线,故必存在一个实数,使得ABBD.又AB3e12e2,CBke1e2,CD3e12ke2,所以BDCDCB3e12ke2(ke1e2)(3k)e1(2k1)e2,所以 3e12e

21、2(3k)e1(2k1)e2,所以3（3k） ，2（2k1） ，解得 k94.答案A14.已知点 O,A,B 不在同一条直线上,点 P 为该平面上一点,且 2OP2OABA,则()A.点 P 在线段 AB 上B.点 P 在线段 AB 的反向延长线上C.点 P 在线段 AB 的延长线上D.点 P 不在直线 AB 上解析因为 2OP2OABA,所以 2APBA,所以点 P 在线段 AB 的反向延长线上,故选 B.答案B15.O 是 平 面 上 一 定 点 ,A,B,C 是 平 面 上 不 共 线 的 三 个 点 , 动 点 P 满 足 ： OP OAAB|AB|AC|AC|,0,),则 P 的轨迹

22、一定通过ABC 的()A.外心B.内心C.重心D.垂心解析作BAC 的平分线 AD.OPOAAB|AB|AC|AC|,APAB|AB|AC|AC|精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业AD|AD|(0,),AP|AD|AD,APAD.P 的轨迹一定通过ABC 的内心.答案B16.若点 O 是ABC 所在平面内的一点,且满足|OBOC|OBOC2OA|,则ABC 的形状为_.解析OBOC2OA(OBOA)(OCOA)ABAC,OBOCCBABAC,|ABAC|ABAC|.故 A,B,C 为矩形的三个顶点,ABC 为直角三角形.答案直角三角形第第 2 讲讲平面向量基本定理及坐标表示平面向量基本

23、定理及坐标表示最新考纲最新考纲1.了解平面向量的基本定理及其意义；2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.知 识 梳 理1.平面向量的基本定理如果 e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量 a,有且只有一对实数1,2,使 a1e12e2.其中,不共线的向量 e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.2.平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解.3.平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模设 a(x1,y1),b(x2,y2)

24、,则精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业ab(x1x2,y1y2),ab(x1x2,y1y2),a(x1,y1),|a| x21y21.(2)向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标.设 A(x1,y1),B(x2,y2),则AB(x2x1,y2y1),|AB| （x2x1）2（y2y1）2.4.平面向量共线的坐标表示设 a(x1,y1),b(x2,y2),则 abx1y2x2y10.诊 断 自 测1.判断正误(在括号内打“”或“”)精彩 PPT 展示(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.()(2)同一向量在不同基底下的表示是相同的.()(3)设 a,b 是

25、平面内的一组基底,若实数1,1,2,2满足1a1b2a2b,则12,12.()(4)若 a(x1,y1),b(x2,y2),则 ab 的充要条件可以表示成x1x2y1y2.()(5)在ABC 中,设ABa,BCb,则向量 a 与 b 的夹角为ABC.()解析(1)共线向量不可以作为基底.(2)同一向量在不同基底下的表示不相同.(4)若 b(0,0),则x1x2y1y2无意义.(5)向量 a 与 b 的夹角为ABC 的补角.答案(1)(2)(3)(4)(5)2.(2017福建三明月考)已知向量 a(2,4),b(1,1),则 2ab 等于()A.(5,7)B.(5,9)C.(3,7)D.(3,9

26、)解析2ab2(2,4)(1,1)(3,9),故选 D.答案D3.(2015全国卷)已知点 A(0,1),B(3,2),向量AC(4,3),则向量BC()A.(7,4)B.(7,4)C.(1,4)D.(1,4)解析根据题意得AB(3,1),BCACAB(4,3)(3,1)(7,4),故选 A.答案A精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业4.(2016全国卷)已知向量 a(m,4),b(3,2),且 ab,则 m_.解析因为 ab,所以由(2)m430,解得 m6.答案65.(必修 4P101A3 改编)已知ABCD 的顶点 A(1,2),B(3,1),C(5,6),则顶点 D 的坐标为_.

27、解析设 D(x,y),则由ABDC,得(4,1)(5x,6y),即45x，16y，解得x1，y5.答案(1,5)考点一平面向量基本定理及其应用【例1】(1)(2014全国卷)设D,E,F分别为ABC的三边BC,CA,AB的中点,则EBFC()A.ADB.12ADC.12BCD.BC(2)(2017济南调研)如图,在ABC 中,AN13NC,P 是 BN 上的一点,若APmAB211AC,则实数 m 的值为_.解析(1)如图所示,EBFC(ECBC)(FBBC)ECFB12AC12AB12(ACAB)AD.(2)设BPkBN,kR.因为APABBPABkBNABk(ANAB)ABk14ACAB(

28、1k)ABk4AC,且APmAB211AC,精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业所以 1km,k4211,解得 k811,m311.答案(1)A(2)311规律方法(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底,并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式,再通过向量的运算来解决.【训练 1】 (1)如图,已知ABa,ACb,BD3DC,用 a,b 表示AD,则AD_.(2)(2017南京、盐城模拟)如图,在平行四边形 ABCD 中,AC,BD 相交于点 O,E 为线段 AO 的

29、中点.若BEBABD(,R),则_.解析(1)ADABBDAB34BCAB34(ACAB)14AB34AC14a34b.(2)由题意可得BE12BA12BO12BA14BD,由平面向量基本定理可得12,14,所以34.答案(1)14a34b(2)34考点二平面向量的坐标运算【例 2】 (1)已知向量 a(5,2),b(4,3),c(x,y),若 3a2bc0,则 c()A.(23,12)B.(23,12)C.(7,0)D.(7,0)(2)(2017北京西城模拟)向量 a,b,c 在正方形网格中,如图所示,若 cab(,R),则()A.1B.2C.3D.4解析(1)3a2bc(23x,12y)0

30、,故 x23,y12,故选 A.(2)以向量 a,b 的交点为坐标原点,建立如图直角坐标系(设每个小正方形边长为 1),A(1,精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业1),B(6,2),C(5,1),所以 a(1,1),b(6,2),c(1,3),cab,16，32，解之得2 且12,因此,2124,故选 D.答案(1)A(2)D规律方法(1)巧借方程思想求坐标：若已知向量两端点的坐标,则应先求出向量的坐标,解题过程中注意方程思想的应用.(2)向量问题坐标化：向量的坐标运算,使得向量的线性运算都可以用坐标来进行,实现了向量运算的代数化,将数与形结合起来,使几何问题转化为数量运算问题.【训练

31、 2】 (1)已知点 A(1,5)和向量 a(2,3),若AB3a,则点 B 的坐标为()A.(7,4)B.(7,14)C.(5,4)D.(5,14)(2)(2015江苏卷)已知向量 a(2,1),b(1,2).若 manb(9,8)(m,nR),则 mn 的值为_.解析(1)设点 B 的坐标为(x,y),则AB(x1,y5).由AB3a,得x16，y59，解得x5，y14.(2)由向量 a(2,1),b(1,2),得 manb(2mn,m2n)(9,8),则2mn9，m2n8，解得m2，n5，故 mn3.答案(1)D(2)3考点三平面向量共线的坐标表示【例 3】 (1)已知平面向量 a(1,

32、2),b(2,m),且 ab,则 2a3b_.(2)(必修 4P101 练习 7 改编)已知 A(2,3),B(4,3),点 P 在线段 AB 的延长线上,且|AP|32|BP|,则点P 的坐标为_.解析(1)由 a(1,2),b(2,m),且 ab,得 1m2(2)0,即 m4.精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业从而 b(2,4),那么 2a3b2(1,2)3(2,4)(4,8).(2)设 P(x,y),由点 P 在线段 AB 的延长线上,则AP32BP,得(x2,y3)32(x4,y3),即x232（x4） ，y332（y3）.解得x8，y15.所以点 P 的坐标为(8,15).答

33、案(1)(4,8)(2)(8,15)规律方法(1)两平面向量共线的充要条件有两种形式：若 a(x1,y1),b(x2,y2),则 ab 的充要条件是 x1y2x2y10； 若 ab(b0),则 ab.(2)向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行,也可以由平行求参数.当两向量的坐标均非零时,也可以利用坐标对应成比例来求解.【训练 3】 (1)(2017河南三市联考)已知点 A(1,3),B(4,1),则与AB同方向的单位向量是()A.35，45B.45，35C.35，45D.45，35(2)若三点 A(1,5),B(a,2),C(2,1)共线,则实数 a 的值为_.解析(1)ABOBOA(4,1

34、)(1,3)(3,4),与AB同方向的单位向量为AB|AB|35，45 .(2)AB(a1,3),AC(3,4),根据题意ABAC,4(a1)3(3)0,即 4a5,a54.答案(1)A(2)54思想方法1.对平面向量基本定理的理解(1)平面向量基本定理实际上是向量的分解定理,并且是平面向量正交分解的理论依据,也是向精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业量的坐标表示的基础.(2)平面向量一组基底是两个不共线向量,平面向量基底可以有无穷多组.(3)用平面向量基本定理可将平面中任一向量分解成形如 a1e12e2的形式.2.向量共线的作用向量共线常常用来解决交点坐标问题和三点共线问题,向量共线的

35、充要条件用坐标可表示为x1y2x2y10.易错防范1.要注意点的坐标和向量的坐标之间的关系,向量的终点坐标减去起点坐标就是向量坐标,当向量的起点是原点时,其终点坐标就是向量坐标.2.向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.两个相等的向量,无论起点在什么位置,它们的坐标都是相同的.基础巩固题组(建议用时：30 分钟)一、选择题1.(必修 4P118A 组 2(6)下列各组向量中,可以作为基底的是()A.e1(0,0),e2(1,2) B.e1(1,2),e2(5,7)C.e1(3,5),e2(6,10)D.e1(2,3),e212，34解析两个不共线的非零向量构成一组基底,故

36、选 B.答案B2.(2016沈阳质监)已知在ABCD 中,AD(2,8),AB(3,4),则AC()A.(1,12)B.(1,12)C.(1,12)D.(1,12)解析因为四边形 ABCD 是平行四边形,所以ACABAD(1,12),故选 B.答案B3.已知向量 a(1,2),b(3,m),mR,则“m6”是“a(ab)”的()A.充分必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业D.既不充分也不必要条件解析由题意得 ab(2,2m),由 a(ab),得1(2m)22,所以 m6,则“m6”是“a(ab)”的充要条件,故选 A.答案A4.如右图,向量 e

37、1,e2,a 的起点与终点均在正方形网格的格点上,则向量 a 可用基底 e1,e2表示为()A.e1e2B.2e1e2C.2e1e2D.2e1e2解析以 e1的起点为坐标原点,e1所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系,由题意可得 e1(1,0),e2(1,1),a(3,1),因为 axe1ye2x(1,0)y(1,1),(xy,y),则xy3，y1，解得x2，y1，故 a2e1e2.答案B5.已知向量OA(k,12),OB(4,5),OC(k,10),且 A,B,C 三点共线,则 k 的值是()A.23B.43C.12D.13解析ABOBOA(4k,7),ACOCOA(2k,2),因为 A,B

38、,C 三点共线,所以AB,AC共线,所以2(4k)7(2k),解得 k23.答案A6.(2017衡水冀州中学月考)在ABC 中,点 D 在 BC 边上,且CD2DB,CDrABsAC,则 rs等于()A.23B.43C.3D.0解析因为CD2DB,所以CD23CB23(ABAC)23AB23AC,则 rs2323 0,故选 D.答案D7.在ABC 中,点 P 在 BC 上,且BP2PC,点 Q 是 AC 的中点,若PA(4,3),PQ(1,5),则BC等于精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业()A.(2,7)B.(6,21)C.(2,7)D.(6,21)解析AQPQPA(3,2),Q 是

39、 AC 的中点,AC2AQ(6,4),PCPAAC(2,7),BP2PC,BC3PC(6,21).答案B8.(2017河南八市质检)已知点 M 是ABC 的边 BC 的中点,点 E 在边 AC 上,且EC2AE,则向量EM()A.12AC13ABB.12AC16ABC.16AC12ABD.16AC32AB解析如图,EC2AE,EMECCM23AC12CB23AC12(ABAC)12AB16AC.答案C二、填空题9.(2017广州综测)已知向量 a(x,1),b(2,y),若 ab(1,1),则 xy_.解析因为(x,1)(2,y)(1,1),所以x21，y11，解得x1，y2，所以 xy3.答

40、案310.若三点 A(2,2),B(a,0),C(0,b)(ab0)共线,则1a1b的值为_.解析AB(a2,2),AC(2,b2),依题意,有(a2)(b2)40,即 ab2a2b0,所以1a1b12.精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业答案1211.已知向量 a(1,2),b(x,1),ua2b,v2ab,且 uv,则实数 x 的值为_.解析因为 a(1,2),b(x,1),ua2b,v2ab,所以 u(1,2)2(x,1)(2x1,4),v2(1,2)(x,1)(2x,3).又因为 uv,所以 3(2x1)4(2x)0,即 10 x5,解得 x12.答案1212.在平行四边形 AB

41、CD 中,ABe1,ACe2,NC14AC,BM12MC,则MN_(用 e1,e2)表示.解析如图,MNCNCMCN2BMCN23BC14AC23(ACAB)14e223(e2e1)23e1512e2.答案23e1512e2能力提升题组(建议用时：15 分钟)13.(2017长沙调研)如图,在OAB 中,P 为线段 AB 上的一点,OPxOAyOB,且BP2 PA,则()A.x23,y13B.x13,y23C.x14,y34D.x34,y14解析由题意知OPOBBP,又BP2PA,所以OPOB23BAOB23(OAOB)23OA13OB,所以 x23,y13.答案A精选优质文档-倾情为你奉上专

42、心-专注-专业14.已知|OA|1,|OB| 3,OA OB0,点 C 在AOB 内,且OC与OA的夹角为 30,设OCmOAnOB(m,nR),则mn的值为()A.2B.52C.3D.4解析OAOB0,OAOB,以 OA 为 x 轴,OB 为 y 轴建立直角坐标系,OA(1,0),OB(0, 3),OCmOAnOB(m, 3n).tan 303nm33,m3n,即mn3,故选 C.答案C15.已知点 A(1,2),B(2,8),AC13AB,DA13BA,则CD的坐标为_.解析设点 C,D 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).由题意得AC(x11,y12),AB(3,6),DA(1x

43、2,2y2),BA(3,6).因为AC13AB,DA13BA,所以有x111，y122和1x21，2y22.解得x10，y14和x22，y20.所以点 C,D 的坐标分别为(0,4),(2,0),从而CD(2,4).答案(2,4)16.(2016四川卷改编)已知正ABC 的边长为 2 3,平面 ABC 内的动点 P,M 满足|AP|1,PM精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业MC,则|BM|2的最大值是_.解析建立平面直角坐标系如图所示,则B( 3,0),C( 3,0),A(0,3),则点P的轨迹方程为 x2(y3)21.设 P(x,y),M(x0,y0),则 x2x0 3,y2y0,代

44、入圆的方程得x0322y032214,所以点 M 的轨迹方程为x322y32214,它表示以32，32 为圆心,以12为半径的圆,所以|BM|max32 3232021272,所以|BM|2max494.答案494第第 3 讲讲平面向量的数量积及其应用平面向量的数量积及其应用最新考纲最新考纲1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义；2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系；3.掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算；4.能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系； 5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题；6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实

45、际问题.知 识 梳 理1.平面向量数量积的有关概念(1)向量的夹角：已知两个非零向量 a 和 b,记OAa,OBb,则AOB(0180)叫做向量 a 与 b 的夹角.(2)数量积的定义： 已知两个非零向量 a 与 b,它们的夹角为,则数量|a|b|cos_ 叫做 a 与 b 的数量积(或内积),记作 ab,即 ab|a|b|cos_,规定零向量与任一向量的数量积为 0,即 0a0.(3)数量积的几何意义：数量积 ab 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos_的乘积.2.平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量 a(x1,y1),b(x2,y2),为向量 a,b 的夹角.

46、(1)数量积：ab|a|b|cos x1x2y1y2.(2)模：|a| aa x21y21.精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业(3)夹角：cos ab|a|b|x1x2y1y2x21y21 x22y22.(4)两非零向量 ab 的充要条件：ab0 x1x2y1y20.(5)|ab|a|b|(当且仅当 ab 时等号成立)|x1x2y1y2|x21y21 x22y22.3.平面向量数量积的运算律(1)abba(交换律).(2)ab(ab)a(b)(结合律).(3)(ab)cacbc(分配律).诊 断 自 测1.判断正误(在括号内打“”或“”)精彩 PPT 展示(1)两个向量的夹角的范围是0

47、，2 .()(2)向量在另一个向量方向上的投影为数量,而不是向量.()(3)两个向量的数量积是一个实数,向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.()(4)若 ab0,则 a 和 b 的夹角为锐角；若 ab0,则 a 和 b 的夹角为钝角.()(5)abac(a0),则 bc.()解析(1)两个向量夹角的范围是0,.(4)若 ab0,a 和 b 的夹角可能为 0；若 ab0,a 和 b 的夹角可能为.(5)由 abac(a0)得|a|b|cosa,b|a|c|cosa,c,所以向量 b 和 c 不一定相等.答案(1)(2)(3)(4)(5)2.(2015全国卷)向量 a(1,1),b(1,2),

48、则(2ab)a 等于()A.1B.0C.1D.2解析因为 a(1,1),b(1,2),所以 2ab2(1,1)(1,2)(1,0),得(2ab)a(1,0)(1,1)1,选 C.答案C3.(2017济南模拟)已知向量a,b,其中|a| 3,|b|2,且(ab)a,则向量a和b的夹角是_.解析因为(ab)a,所以(ab)a|a|2|a|b|cosa,b32 3cosa,b0,解得 cosa,b32,由于a,b0,.则向量 a,b 的夹角为6.答案64.(2016石家庄模拟)已知平面向量 a,b 的夹角为23,|a|2,|b|1,则|ab|_.精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业解析|ab|

49、2|a|22ab|b|242|a|b|cos2314213,|ab| 3.答案35.(必修 4P104 例 1 改编)已知|a|5,|b|4,a 与 b 的夹角120,则向量 b 在向量 a 方向上的投影为_.解析由数量积的定义知,b 在 a 方向上的投影为|b|cos 4cos 1202.答案2精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业考点一平面向量的数量积及在平面几何中的应用【例 1】 (1)(2015四川卷)设四边形 ABCD 为平行四边形,|AB|6,|AD|4,若点 M,N 满足BM3MC,DN2NC,则AMNM等于()A.20B.15C.9D.6(2)(2016天津卷)已知ABC

50、是边长为 1 的等边三角形,点 D,E 分别是边 AB,BC 的中点,连接 DE并延长到点 F,使得 DE2EF,则AFBC的值为()A.58B.18C.14D.118解析(1)取AB,AD为一组基底.BM3MC,AMABBMAB34BCAB34AD,NMCMCN14AD13AB,AMNM14(4AB3AD)112(4AB3AD)148(16AB29AD2)148(1662942)9,选 C.(2)法一如图所示,根据已知得,DF34AC,所以AFADDF12AB34AC,BCACAB,则AFBC12AB34AC(ACAB)12ABAC12AB234AC234ACAB34AC212AB214AC

51、AB34121411cos 6018.故选 B.法二建立如图所示的平面直角坐标系.则 B12，0,C12，0,精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业A0，32 ,所以BC(1,0).易知 DE12AC,FECACE60,则 EF14AC14,所以点 F 的坐标为18，38 ,则AF18，5 38,所以AFBC18，5 38(1,0)18.故选 B.答案(1)C(2)B规律方法(1)求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义.(2)解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时,可先利用向量的加减运算或数量积的运算律化简再运算.但一定要注意向量的夹角与已知平面角

52、的关系是相等还是互补.【训练 1】 (1)(2017湖北八校联考)在 RtABC 中,A90,ABAC2,点 D 为 AC 的中点,点E 满足BE13BC,则AEBD_.(2)已有正方形 ABCD 的边长为 1,点 E 是 AB 边上的动点,则DECB的值为_；DEDC的最大值为_.解析(1)法一因为AEABBEAB13BCAB13(ACAB)23AB13AC,BDBAADAB12AC.因为 ABAC,所以ABAC0,所以AEBD23AB13ACAB12AC23|AB|216|AC|2232216222.法二建立如图所示的平面直角坐标系,则 A(0,0),B(2,0),D(0,1),E43，2

53、3 ,所以AE43，23 ,BD(2,1),所以AEBD43，23 (2,1)43(2)2312.精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业(2)法一如图,DECB(DAAE)CBDACBAECBDA21,DEDC(DAAE)DCDADCAEDCAEDC|AE|DC|DC|21.法二以射线 AB,AD 为 x 轴,y 轴的正方向建立平面直角坐标系,则 A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1),设 E(t,0),t0,1,则DE(t,1),CB(0,1),所以DECB(t,1)(0,1)1.因为DC(1,0),所以DEDC(t,1)(1,0)t1,故DEDC的最大值为 1.法三由图知,无论 E 点在哪个位置,DE在CB方向上的投影都是 CB1,DECB|CB|11.当 E 运动到 B 点时,DE在DC方向上的投影最大即为 DC1,精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业(DEDC)max|DC|11.答案(1)2(2)11考点二平面向量的夹角与垂直【例 2】 (1)(2016全国卷)已知向量 a(1