工程制图第一章 几何元素间的相对关系

1、1.4 直线与平面、平面与平面的相对关系直线与平面、平面与平面的相对关系1.4.1 平行问题平行问题1.4.2 相交问题相交问题1.4.3 垂直问题垂直问题基本要求基本要求1.4.4 平面上的最大斜度线平面上的最大斜度线基本要求基本要求（四）点、线、面综合题（四）点、线、面综合题 1熟练掌握点、线、面的基本作图方法；熟练掌握点、线、面的基本作图方法； 2能对一般画法几何综合题进行空间分析，了解综合题的一般解题能对一般画法几何综合题进行空间分析，了解综合题的一般解题步骤和方法。步骤和方法。（一）平行问题（一）平行问题 1熟悉线、面平行，面、面平行的几何条件；熟悉线、面平行，面、面平行的几何条件；

2、 2熟练掌握线、面平行，面、面平行的投影特性及作图方法。熟练掌握线、面平行，面、面平行的投影特性及作图方法。（二）相交问题（二）相交问题 1熟练掌握特殊位置线、面相交（其中直线或平面的投影具有积聚性熟练掌握特殊位置线、面相交（其中直线或平面的投影具有积聚性）交点的求法和作两个面的交线（其中一平面的投影具有积聚性）。）交点的求法和作两个面的交线（其中一平面的投影具有积聚性）。 2熟练掌握一般位置线、面相交求交点的方法；掌握一般位置面、面熟练掌握一般位置线、面相交求交点的方法；掌握一般位置面、面相交求交线的作图方法。相交求交线的作图方法。 3掌握利用重影点判别投影可见性的方法。掌握利用重影点判别投

3、影可见性的方法。（三）垂直问题（三）垂直问题 掌握线面垂直、面面垂直的投影特性及作图方法掌握线面垂直、面面垂直的投影特性及作图方法。1.4.1 平行问题平行问题几何条件几何条件 若平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该若平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与该平面平行。直线与该平面平行。有关线、面平行的作图问题有：有关线、面平行的作图问题有：判别已知线面是否平行；作直线判别已知线面是否平行；作直线与已知平面平行；包含已知直线作平面与另一已知直线平行。与已知平面平行；包含已知直线作平面与另一已知直线平行。一、直线与平面相互平行一、直线与平面相互平行 若一直线平行于属于定平面内的

4、一直线，则该直线与平面平若一直线平行于属于定平面内的一直线，则该直线与平面平行。行。 例题例题1 试判断直线试判断直线AB是否平行于定平面是否平行于定平面 fgfg结论：直线结论：直线ABAB不平行于定平面不平行于定平面 例题例题2 试过点试过点K作水平线作水平线AB平行于平行于CDE平面平面 baaffb 例题例题3 过点过点C C作平面平行于已知直线作平面平行于已知直线ABAB。deabaoxcced几何条件几何条件 若一个平面内的相交二直线与另一个平面内的相交若一个平面内的相交二直线与另一个平面内的相交二直线对应平行，则此两平面平行。这是两平面平行的作图依二直线对应平行，则此两平面平行。

5、这是两平面平行的作图依据。据。两平面平行的作图问题有：两平面平行的作图问题有：判别两已知平面是否相互平行；过判别两已知平面是否相互平行；过一点作一平面与已知平面平行；已知两平面平行，完成其中一一点作一平面与已知平面平行；已知两平面平行，完成其中一平面的所缺投影。平面的所缺投影。二、平面与平面相互平行二、平面与平面相互平行 若属于一平面的相交两直线对应平行于属于另一平面若属于一平面的相交两直线对应平行于属于另一平面的相交两直线，则此两平面平行的相交两直线，则此两平面平行EFDACB因为：因为：ABAABA1 1B B1 1，BCBBCB1 1C C1 1，所以：平面所以：平面ABCABC和平面和

6、平面A A1 1B B1 1C C1 1相平行相平行 例题例题4 试判断两平面是否平行试判断两平面是否平行mnmnrrss结论：两平面平行结论：两平面平行 例题例题5 过过K K点作一平面，使其与平面点作一平面，使其与平面ABCABC平行平行解：只要过解：只要过K K点作两条相交直线分别平行于点作两条相交直线分别平行于ABCABC的两条边，则的两条边，则这两条相交直线所确定的平面就是所求平面这两条相交直线所确定的平面就是所求平面abXOkbackceeff 例题例题6 已知定平面由平行两直线已知定平面由平行两直线AB和和CD给定。试过给定。试过 点点K作一平面平行于已知平面作一平面平行于已知平

7、面 。emnmnfefsrsrkk 例题例题7 试判断两平面是否平行。试判断两平面是否平行。结论：因为结论：因为PH平行平行SH，所以两平面平行，所以两平面平行1.4.2 相交问题相交问题一、一、特殊位置特殊位置线面相交线面相交二、二、一般位置平面与一般位置平面与特殊位置特殊位置平面相交平面相交三、三、直线与一般位置平面相交直线与一般位置平面相交四、四、两一般两一般位置位置平面相交平面相交直线与平面相交只有一个交点直线与平面相交只有一个交点直线与平面相交只有一个交点，它是直线与平面的共有点。直线与平面相交只有一个交点，它是直线与平面的共有点。BKAM两平面的交线是直线两平面的交线是直线两平面的

8、交线是一条直线，这条直线为两平面所共有两平面的交线是一条直线，这条直线为两平面所共有FKNL一、特殊位置线面相交一、特殊位置线面相交直线与直线与特殊位置特殊位置平面相交平面相交判断直线的可见性判断直线的可见性特殊位置特殊位置直线与一般位置平面相交直线与一般位置平面相交bbaaccmmnn直线与直线与特殊位置特殊位置平面相交平面相交由于由于特殊位置特殊位置平面的某个投影有积聚性平面的某个投影有积聚性，交点可直接求出。交点可直接求出。kk判断直线的可见性判断直线的可见性bbaaccmmnkkn特殊位置线面相交，根据平面的积聚性投影，能直接判别直特殊位置线面相交，根据平面的积聚性投影，能直接判别直线

9、的可见性。线的可见性。 例题例题8 求直线求直线MNMN与平面与平面ABCABC的交点的交点K K并判别可见性。并判别可见性。aXOabmbnccmnkk1 212( )特殊位置直线与平面相交特殊位置直线与平面相交( )求铅垂线求铅垂线EFEF与一般位置平面与一般位置平面ABCABC的交点并判别其可见性。的交点并判别其可见性。k21k21 例题例题9 求直线求直线MNMN与平面与平面ABCABC的交点的交点K K并判别可见性。并判别可见性。ee1 221( )kkXOcbanmcbmna二、一般位置平面与二、一般位置平面与特殊位置特殊位置平面相交平面相交 求两平面交线的问题可以看作是求两个共有

10、点的求两平面交线的问题可以看作是求两个共有点的问题，由于问题，由于特殊位置特殊位置平面的某个投影有积聚性，交平面的某个投影有积聚性，交线可直接求出。线可直接求出。一般位置平面与一般位置平面与特殊位置特殊位置平面相交平面相交判断平面的可见性判断平面的可见性一般位置平面与一般位置平面与特殊位置特殊位置平面相交平面相交nlmmlnbaccabfkfkMmnlPBCacbPHAFKNLkf判断平面的可见性判断平面的可见性结 果判断平面的可见性判断平面的可见性abcmnlabcmnlfkfk求交线并判断可见性求交线并判断可见性defdefabcacbkmkm1 221( )abcd ge fabcdef

11、g1 221( )求交线并判断可见性求交线并判断可见性kllk三、直线与一般三、直线与一般位置位置平面相交平面相交以正垂面为辅助平面求线面交点以正垂面为辅助平面求线面交点 示意图示意图以铅垂面为辅助平面求线面交点以铅垂面为辅助平面求线面交点 示意图示意图判别可见性判别可见性 示意图示意图12以正垂面为辅助平面求线面交点以正垂面为辅助平面求线面交点QV21kk步骤：步骤：1过过EF作正作正垂平面垂平面Q。2求求Q平面与平面与ABC的交线的交线。3求交线求交线与与EF的交的交点点K。示意图ABCQ过过MN作作正垂面正垂面QMN以正垂面为辅助平面求线面交点以正垂面为辅助平面求线面交点 示意图示意图1

12、2以铅垂面为辅助平面求线面交点。以铅垂面为辅助平面求线面交点。PH1步骤：步骤：1过过EF作铅作铅垂平面垂平面P。2求求P平面与平面与ABC的交线的交线。3求交线求交线与与EF的交的交点点K。kk2 示意图CAB过过MN作铅垂作铅垂面面PNMPEFK以铅垂面为辅助平面求线面交点以铅垂面为辅助平面求线面交点 示意图示意图fee直线直线EF与与 ABC相交，判别可见性。相交，判别可见性。利利用用重重影影点点判判别别可可见见性性1243（ ）kk34示意图( )21直线直线EF与平面与平面ABC相交，判别可见性示意图相交，判别可见性示意图1 (2)(4)3利利用用重重影影点。点。判判别别可可见见性性

13、四、两一般位置平面相交四、两一般位置平面相交 求两平面交线的问题可以看作是求两个共有点的问求两平面交线的问题可以看作是求两个共有点的问题题, 因而可利用求一般位置线面交点的方法找出交线因而可利用求一般位置线面交点的方法找出交线上的两个点，将其连线即为两平面的交线。上的两个点，将其连线即为两平面的交线。两一般位置平面相交两一般位置平面相交求交线求交线 示意图示意图判别可见性判别可见性例题例题6 6 两一般位置两一般位置平面相交，平面相交，求交线步骤：求交线步骤：1用求直线用求直线与平面交点与平面交点的方法，作的方法，作出两平面的出两平面的两个共有点两个共有点K、E。求两平面的交线求两平面的交线l

14、lnmmnPVQV1221kkee2连接两个连接两个共有点，画共有点，画出交线出交线KE。示意图两一般位置平面相交求交线的方法两一般位置平面相交求交线的方法 示意图示意图 利用求一般位置线面交点的方法找出交线上的两个点，将其利用求一般位置线面交点的方法找出交线上的两个点，将其连线即为两平面的交线。连线即为两平面的交线。MBCAFKNL利利用用重重影影点点判判别别可可见见性性两平面相交，判别可见性两平面相交，判别可见性3 4 ( )3 4 21( )1 2abcgfedabecdfgPVQVmn1 212( )3434( )mn求交线并判断可见性求交线并判断可见性 例题例题10 试过试过K点作一

15、直线平行于已知平面点作一直线平行于已知平面ABC，并与直线并与直线EF相交相交 。分析分析 过已知点过已知点K作平面作平面P平行平行于于ABC；直线；直线EF与平面与平面P交于交于H；连接连接KH，KH即为所求。即为所求。FPEKH作图作图mnhhnmPV11221. 过点过点K作平面作平面KMN/ ABC平平面。面。2. 求直线求直线EF与与平面平面KMN的交的交点点H 。3. 连接连接KH，KH即为所求。即为所求。 例题例题11 试过试过A点作一直线与两已知直线点作一直线与两已知直线BC及及EF相相交交 。cbaeffecbakkll1.4.3 垂直问题垂直问题一、直线与平面相互垂直一、直

16、线与平面相互垂直二、直线与直线相互垂直二、直线与直线相互垂直三、平面与平面相互垂直三、平面与平面相互垂直一、直线与平面垂直一、直线与平面垂直 直线与平面垂直，则直线垂直于平面上的任意直线与平面垂直，则直线垂直于平面上的任意直线（相交或不相交）。反之，直线垂直平面直线（相交或不相交）。反之，直线垂直平面上的任意两相交直线，则直线垂直该平面。上的任意两相交直线，则直线垂直该平面。直线与平面垂直的几何条件：直线与平面垂直的几何条件：若一直线垂直于一平面，则必垂若一直线垂直于一平面，则必垂直于属于该平面的一切直线。直于属于该平面的一切直线。定理定理1 若一直线垂直于一平面，则直线的水平投影必垂直于属若

17、一直线垂直于一平面，则直线的水平投影必垂直于属于该平面的水平线的水平投影；直线的正面投影必垂直于属于于该平面的水平线的水平投影；直线的正面投影必垂直于属于该平面的正平线的正面投影。该平面的正平线的正面投影。klkl定理定理2（逆）（逆） 若一直线的水平投影垂直于属于平面的水平线若一直线的水平投影垂直于属于平面的水平线的水平投影；直线的正面投影垂直于属于平面的正平线的正的水平投影；直线的正面投影垂直于属于平面的正平线的正面投影，则直线必垂直于该平面。面投影，则直线必垂直于该平面。 例题例题12 平面由平面由BDF给定，试过定点给定，试过定点K作平面的法线。作平面的法线。acacnnkkh 例题例

18、题13 试过定点试过定点K作特殊位置平面的法线。作特殊位置平面的法线。hhhhh（a）（c）（b） 例题例题14 平面由两平行线平面由两平行线AB、CD给定，试判断直线给定，试判断直线MN是否是否垂直于该平面。垂直于该平面。efef例：求例：求C C点到直线点到直线ABAB的距离。的距离。二、直线与直线垂直二、直线与直线垂直分析：分析：求求C C点到直线点到直线ABAB的距离实际上就是过的距离实际上就是过C C点作线段垂直相点作线段垂直相交于交于ABAB，然后求出线段的实长。，然后求出线段的实长。ababcc 例题例题15 试过定点试过定点A作直线与已知直线作直线与已知直线EF正交。正交。EQ

19、过已知点过已知点A A作平面垂直于已知直线作平面垂直于已知直线EFEF，并交于点，并交于点K K，连接，连接AKAK，AKAK即为所求。即为所求。FAK分析分析作图作图21aefafe1221PV12kk两平面垂直的几何条件：两平面垂直的几何条件：若一直线垂直于一定平面，则包含若一直线垂直于一定平面，则包含这条直线的所有平面都垂直于该平面。这条直线的所有平面都垂直于该平面。AD三、平面与平面垂直三、平面与平面垂直反之，两平面相互垂直，则由属于第一个平面的任意一点向反之，两平面相互垂直，则由属于第一个平面的任意一点向第二个平面作的垂线必属于第一个平面。第二个平面作的垂线必属于第一个平面。两平面垂

20、直两平面不垂直绘制相互垂直平面的两种方法：绘制相互垂直平面的两种方法：1、使平面、使平面Q经过垂直于平面经过垂直于平面P的直线的直线AB；2、使平面、使平面Q垂直于平面垂直于平面P上的直线上的直线CD；g 例题例题16 平面由平面由BDF给定，试过定点给定，试过定点K作已知平面的垂面。作已知平面的垂面。hacachg 例题例题17 试判断试判断 ABC与相交两直线与相交两直线KG和和KH所给定的平面是否所给定的平面是否 垂直。垂直。ffdd结论：因为结论：因为AD直线不在直线不在 ABC平面上，所以两平面不垂直。平面上，所以两平面不垂直。 例题例题18 试过点试过点K作直线，使其同时垂直于两交叉直线作直线，使其同时垂直于两交叉直线AB、CD。bakdcdckabeehh 例题例题19 过直线过直线AB上一点上一点A作一直线垂直于作一直线垂直于AB，并与，并与DE相交。相交。abdeedabQV1122kk1.4.4 平面上的最大斜度线平面上的最大斜度线1 1平面上的投影面最大斜度线平面上的投影面最大斜度线平面上对某个投影面倾角平面上对某个投影面倾角最大