四边形难题综合教师版

1、1如图，在平行四边形ABCD中，ABC=45°，E、F分别在CD和BC的延长线上，AEBD，EFC=30°， AB=2.求CF的长【答案】2+2【解析】试题分析：易证四边形ABDE是平行四边形，则AB=DE=CD，过点E作EHBF于点H，解等腰直角三角形CEH得EH=CH=2，解FH=2，从而得CF=2+2试题解析：四边形ABCD是平行四边形，ABDC，AB=DC.AEBD，四边形ABDE是平行四边形.AB=DE=CD，即D为CE中点.AB=2，CE=4.又ABCD，ECF=ABC=45°.如图，过点E作EHBF于点H，CE=4，ECF=45°，EH=C

2、H=2.EFC=30°， FH=2， CF=2+2考点：1.平行四边形的判定与性质；2.含30度角直角三角形的性质；3.等腰直角三角形的性质2已知正方形ABCD，AB=8，点E、F分别从点A、D同时出发，以每秒1m的速度分别沿着线段AB、DC向点B、C方向的运动，设运动时间为t（1）求证：OE=OF（2）在点E、F的运动过程中，连结AF设线段AE、OE、OF、AF所形成的图形面积为S探究：S的大小是否会随着运动时间为t的变化而变化？若会变化，试求出S与t的函数关系式；若不会变化，请说明理由连结EF，当运动时间为t为何值时，OEF的面积恰好等于的S【答案】（1）见解析（2）见解析t为时

3、【解析】试题分析：（1）根据正方形的性质得出OA=OD，EAO=FDO=45°，求出AE=DF=t，根据SAS推出EAOFDO即可；（2）延长EO交DC于M，求出AOECOM，根据全等三角形的性质得出AE=CM=t，根据S=S四边形AEMFSFOM求出即可；根据全等得出OE=OM，求出SEOF=SEFM=164t，即可得出方程164t=×16，求出即可（1）证明：四边形ABCD是正方形，OA=OD，EAO=FDO=45°，点E、F分别从点A、D同时出发，以每秒1m的速度分别沿着线段AB、DC向点B、C方向的运动，设运动时间为t，AE=DF=t，在EAO和FDO中E

4、AOFDO（SAS），OE=OF；（2）解：S的大小不会随着运动时间为t的变化而变化，理由是：延长EO交DC于M，四边形ABCD是正方形，OAE=MCO=45°，OA=OC，在AOE和COM中AOECOM（ASA），AE=CM=t，S=S四边形AEMFSFOM=（t+8tt）8×（8tt）4=16，所以S的大小不会随着运动时间为t的变化而变化；AOECOM，OE=OM，SEOF=SFOM=SEFM=×（8tt）8=164t，OEF的面积恰好等于的S，164t=×16，解得：t=，即当运动时间为t为时，OEF的面积恰好等于的S点评：本题考查了正方形的性质，

5、全等三角形的性质和判定，三角形的面积的应用，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键，综合性比较强，难度偏大3已知：如图1，在四边形ABCD中，ABCD，B=D（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）过点A作AEBC于E，AFCD于F，如图2，若CF=2，CE=5，四边形ABCD的周长为28求EF的长度【答案】（1）证明见解析（2）【解析】试题分析：（1）利用平行线的性质“两直线平行，同旁内角互补”和已知条件判定“同旁内角互补”，则两直线平行得到ADBC，于是得到结论；（2）由四边形ABCD是平行四边形，得到B=D，由于AEB=AFD=90°，得到ABEADF，得到，根据比例的性

6、质得到，得到AD=2DF，根据直角三角形的性质得到DAF=30°，D=60°，求出C=120°，由余弦定理求得结果试题解析：（1）证明：在四边形ABCD中，ABCD，A+D=180°又B=D，A+B=180°，ADBC，四边形ABCD是平行四边形；（2）解：设BC=x，CD=y，x+y=14，BE+DF=14-（5+2）=7，四边形ABCD是平行四边形，B=D，AEB=AFD=90°，ABEADF，AD=2DF，DAF=30°，D=60°，C=120°，根据余弦定理得：EF2=52+22-2×5

7、×2cos120°=25+4+10=39，EF=考点：平行四边形的判定与性质4（本小题满分6分）如上图，在ABC和EDC中，ACCECBCD，ACBECD90°，AB与CE交于F，ED与AB、BC分别交于M、H（1）求证:CFCH；（2）如下图，ABC不动，将EDC绕点C旋转到BCE=45°时，试判断四边形ACDM是什么四边形？并证明你的结论【答案】（1）证明见解析；（2）四边形ACDM是菱形，证明见解析【解析】试题分析：菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：定义；四边相等；对角线互相垂直平分具体选择哪种方法需要根据已知条件来确定

8、（1）要证明CF=CH，可先证明BCFECH，由ABC=DCE=90°，AC=CE=CB=CD，可得B=E=45°，得出CF=CH；（2）根据EDC绕点C旋转到BCE=45°，推出四边形ACDM是平行四边形，由AC=CD判断出四边形ACDM是菱形试题解析：（1）证明：ACB=ECD=90°,ACE+BCE=BCD+BCF,ACF=BCD,AC=CE=CB=CD,ACFDCH，CF=CH（2）四边形ACDM是菱形；证明如下：ACB=90°，AC=CB，B=45°，ECD=90°,BCE=45°，BCD=45°

9、;,ABCD，同理ACDM，四边形ACDM是平行四边形AC=CD，四边形ACDM是菱形考点：1菱形的性质；2，全等三角形的判定与性质5如图，已知ABC=90°，D是直线AB上的点，AD=BC（1）如图1，过点A作AFAB，并截取AF=BD，连接DC、DF、CF，判断CDF的形状并证明；（2）如图2，E是直线BC上一点，且CE=BD，直线AE、CD相交于点P，APD的度数是一个固定的值吗？若是，请求出它的度数；若不是，请说明理由【答案】（1）CDF是等腰三角形；（2）APD=45°【解析】试题分析：（1）利用SAS证明AFD和BDC全等，再利用全等三角形的性质得出FD=DC，

10、即可判断三角形的形状；（2）作AFAB于A，使AF=BD，连结DF，CF，利用SAS证明AFD和BDC全等，再利用全等三角形的性质得出FD=DC，FDC=90°，即可得出FCD=APD=45°试题解析：（1）CDF是等腰三角形，理由如下：AFAD，ABC=90°，FAD=DBC，在FAD与DBC中，AD=BC，FAD=DBC，AF=BD，FADDBC（SAS），FD=DC，CDF是等腰三角形；（2）作AFAB于A，使AF=BD，连结DF，CF，如图，AFAD，ABC=90°，FAD=DBC，在FAD与DBC中，AD=BC，FAD=DBC，AF=BD，FA

11、DDBC（SAS），FD=DC，CDF是等腰三角形，FADDBC，FDA=DCB，BDC+DCB=90°，BDC+FDA=90°，CDF是等腰直角三角形，FCD=45°，AFCE，且AF=CE，四边形AFCE是平行四边形，AECF，ADP=FCD=45°考点：全等三角形的判定与性质6（本题满分10分）在ABCD中，ADC的平分线交直线BC于点E、交AB的延长线于点F，连接AC（1）如图1，若ADC=90°，G是EF的中点，连接AG、CG求证：BE=BF请判断AGC的形状，并说明理由；（2）如图2，若ADC=60°，将线段FB绕点F顺时

12、针旋转60°至FG，连接AG、CG那么AGC又是怎样的形状（直接写出结论不必证明）【答案】（1）；是等腰直角三角形；（2）是等边三角形【解析】试题分析：先判定四边形ABCD是矩形，再根据矩形的性质可得，然后根据平行线的性质求出，再根据DF是的平分线，利用角平分线的定义得到，从而得到，然后根据等角对等边的性质即可证明；连接BG，根据等腰直角三角形的性质可得，再根据等腰三角形三线合一的性质求出，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再求出，然后求出，然后根据等腰直角三角形的定义判断即可；（2）连接BG，根据旋转的性质可得BFG是等边三角形，再根据角平分线的定义以及平

13、行线的性质求出，平行四边形的对角相等求出，然后求出，从而得到，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，全等三角形对应角相等可得，然后求出，再求出，然后根据等边三角形的判定方法判定即可试题解析：（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，四边形ABCD是矩形，,， ，DF是的平分线，；是等腰直角三角形理由如下：连接BG，由知， ，G是EF的中点，又，在和中， ，又，即，是等腰直角三角形；（2）是等边三角形考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定；等腰直角三角形7（本题14分）如图，直线：分别与轴、轴交于A、B两点，与直线：交于点（1）求A、B两点坐标及、的

14、值；（2）如图，在线段BC上有一点E，过点E作轴的平行线交直线于点F，过E、F分别作EH轴，FG轴，垂足分别为H、G，设点E的横坐标为，当为何值时，矩形EFGH的面积为；（3）若点P为轴上一点，则在平面直角坐标系中是否存在一点Q，使得P、Q、A、B四个点能构成一个菱形若存在，求出所有符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）A（8，0）；B（0，4）；（2）1或3 ；（3）（5，4）、（0，-4）、（，4）或（-，4）【解析】试题分析：（1）把点代入直线和，即可求得k和b的值，根据直线的解析式求得其与两坐标轴的交点A和B的坐标；（2）用m的代数式分别表示点E和点F的坐标，求出EF的

15、长，应用矩形的面积公式表示矩形EFGH的面积，然后求出面积为时的m值；（3）分情况讨论，当PA=PB时，当BP=BA时，当AB=AP时，分别求出点Q的值试题解析：解：（1）把点代入直线和，可得，解得k=2，b=4，即，直线：与x轴的交点A的坐标为A（8，0），与y轴的交点B的坐标为B（0，4）；（2）由题意得，点E的坐标为（m，），点F的坐标为（m，2m-6），所以EF=，EH=m，所以矩形EFGH的面积为：S=m（），当S=时，解得m=1或m=3，答：当为1或3时，矩形EFGH的面积为；（3）当PA=PB时，设OP=a，则PA=PB=8-a，在RtPAB中：，解得：，所以BQ=PA=5，得Q

16、（5，4），当BP=BA时，因为PAOB，所以OP=OA=4，则Q、B关于x轴对称，得Q（0，-4），当AB=AP时，因为AB=，所以BQ=，得Q（，4）或（-，4），综上：符合条件的Q点坐标为（5，4）、（0，-4）、（，4）或（-，4）考点：待定系数法求解析式；坐标与图形8倡导研究性学习方式，着力教材研究，习题研究，是学生跳出题海，提高学习能力和创新能力的有效途径下面是一案例，请同学们认真阅读、研究，完成“类比猜想”的问题习题 如图（1），点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，EAF=45°，连接EF，则EF=BE+DF，说明理由解答：正方形ABCD中，AB=AD，BAD

17、=ADC=B=90°，把ABE绕点A逆时针旋转90°至ADE，点F、D、E在一条直线上EAF=90°-45°=45°=EAF，又AE=AE，AF=AFAEFAEF（SAS）EF=EF=DE+DF=BE+DF类比猜想：（1）请同学们研究：如图（2），在菱形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，当BAD=120°，EAF=60°时，还有EF=BE+DF吗？请说明理由（2）在四边形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，当AB=AD，B+D=180°，EAF=BAD时，EF=BE+DF吗？请说明理由【答案】证明见解析【

18、解析】试题分析：（1）把ABE绕点A逆时针旋转120°至ADE，如图（2），连结EF，根据菱形和旋转的性质得到AE=AE，EAF=EAF，利用“SAS”证明AEFAEF，得到EF=EF；由于ADE+ADC=120°，则点F、D、E不共线，所以DE+DFEF，即由BE+DFEF；（2）把ABE绕点A逆时针旋转BAD的度数至ADE，如图（3），根据旋转的性质得到AE=AE，EAF=EAF，然后利用“SAS”证明AEFAEF，得到EF=EF，由于ADE+ADC=180°，知F、D、E共线，因此有EF=DE+DF=BE+DF；根据前面的条件和结论可归纳出结论试题解析：（1）当BAD=