结构力学超静定结构内力

1、 Methods of Analysis of Statically Indeterminate Structures遵循材料力学中遵循材料力学中同时考虑同时考虑“变形、本构、平衡变形、本构、平衡”分分析超静定问题的思想析超静定问题的思想，可有不同的出发点：，可有不同的出发点：以力作为基本未知量，在自动满足平衡条件的基础以力作为基本未知量，在自动满足平衡条件的基础上进行分析，这时主要应解决变形协调问题上进行分析，这时主要应解决变形协调问题，这种，这种分析方法称为分析方法称为力法力法（force methodforce method）。）。以位移作为基本未知量，在自动满足变形协调条件以位移作为基

2、本未知量，在自动满足变形协调条件的基础上来分析，当然这时主要需解决平衡问题的基础上来分析，当然这时主要需解决平衡问题，这种分析方法称为这种分析方法称为位移法位移法（displacement methoddisplacement method）。）。 如果一个问题中如果一个问题中既有力的未知量，也有既有力的未知量，也有位移的未知量，力的部分考虑位移协调，位移的部位移的未知量，力的部分考虑位移协调，位移的部分考虑力的平衡分考虑力的平衡，这样一种分析方案称为，这样一种分析方案称为混合法混合法（mixture methodmixture method）。）。 超静定次数超静定次数 = = 未知力的个数

3、未知力的个数- -静力平衡方程个数静力平衡方程个数 = = 多余约束数多余约束数 = 变成基本结构所需解除的约束数变成基本结构所需解除的约束数基本结构基本结构静定结构静定结构(1 次）（3 次）或(6 次)(4 次)例例1. 求解图示单跨梁求解图示单跨梁原结构原结构基本体系基本体系fundamental system or primary system变形协调条件变形协调条件 力法典型方程力法典型方程(The Compatibility Equation of Force Method )未知力的位移未知力的位移“载荷载荷”的位移的位移011111 P总位移等于已知位移总位移等于已知位移81X

4、11P1q（b）（c）力法基本方程力法基本方程0111p1X11111111X0XP1111 位移系数位移系数ij 自乘自乘 广义荷载位移广义荷载位移Pi EI3ldxEIMM31111EI8qldxEIMM4P1P10EI8qlXEI3l413ql83X10XP1111代入力法方程代入力法方程（1）8ql3EIql8ql216ql2M（2）P11MXMM9绘内力图（以弯矩图为例，采用两种方法）绘内力图（以弯矩图为例，采用两种方法）ql83X1基本体系有多种选择；1EIq（a）q1X（b）1Xq0XP1111qp11X111Xqq1X1Xp1)111X（c）10超静定计算简图超静定计算简图解除

5、约束转解除约束转化成静定的化成静定的基本结构承受荷基本结构承受荷载和多余未知力载和多余未知力用已掌握的方法，分析单个基本未用已掌握的方法，分析单个基本未知力作用下的受力和变形知力作用下的受力和变形同样方法分析同样方法分析“荷载荷载”下的下的受力、变形受力、变形2 P2 22 21 1 P1 12 11 由此可解得基本未知力，从由此可解得基本未知力，从而解决受力变形分析问题而解决受力变形分析问题PFP00222212112111pp 0022221211212111ppXXXX 变形协调条件变形协调条件 力法典型方程力法典型方程3m3m3m3mq=1kN/mP=3kNI2I2I12341X2X1

6、、基本体系与基本未知量：21X,X2、基本方程 00210022221211212111PPXXXX3m3m3m3mq=1kN/mP=3kNI2I2I12341X2X18279mkNMP1X11X2663 mM166 mM23、系数与 自由项EI207dxEIMM1111EI144dxEIMM2222EI135dxEIMM212112EI702dxEIMMP1P1EI520dxEIMMP2P2154、 解方程 2.0520X144X1351.0702X135X2072121kN11. 1XkN67. 2X215、内力P2211MXMXMM2.6721.333.564.335.66mkNM2.6

7、73.331.111.93.33kNQ1.113.331.9kNN3m3m3m3m3mq=1kN/mP=3kNI2I2I1234kNX67. 2121.333.564.335.66mkNM2X1XkNX11. 12如计算第4点的水平位移H41dxEIMMH4M荷载作用荷载作用例例 2. 求解图示结构求解图示结构原原结结构构FP基基本本体体系系 一一FP基基本本未未知知力力016654096546P21P21FXXFXX883114P2P1FXFXFPFPa883114P2P1FXFXFPFPaFP（Fpa）PMXMXMM2211解法 2：FPFP解法3：FPFPFPFPM1图图M2图图FPaF

8、PMP图图FPaFPFPFPaFP00p222212p112111 00P2222121P1212111 XXXXP2P1114,8815FXaFXFP（Fpa）FPFPaFPaFXaFXP2P1883,8815FPFP nnPnnnnPnnXXXX 11111111 P X小结：小结：力法的解题步骤力法的解题步骤PiMM ,ij iP ij iP iXPiiiMXMMPNNNFXFFiiiQPQQFXFFiii例如求例如求 K截面竖向截面竖向位移：位移：FP（Fpa）KFP（Fpa）K)(14083162)8815883(2121883658113P3P2PP1P21EIaFaFaaFaFE

9、IaFaEIKy )(14083883218113PP21EIaFaFaEIKy 对结构上的任一部分，其对结构上的任一部分，其力的平衡条件均能满足。力的平衡条件均能满足。0CM如：如：FP（Fpa）原原结结构构FP基基本本体体系系FP0022221211212111PPXXXX 0,021PByPBx 0,021XXFPFPaM 图图FP（Fpa）016388152132883212188332213P2P2P1P21aFaaFaaFEIaFaEIAx 例例 1. 求解图示两端固支梁。求解图示两端固支梁。解：取简支梁为基本体系解：取简支梁为基本体系00033332321312323222121

10、1313212111PPPXXXXXXXXX FP基基本本体体系系FPPiMM ,EI由于由于00,0NP2NN13Q3FFFFM所以所以 0332233113P 又由于又由于0d dd23Q23N2333EAlGAsFkEAsFEIsM 于是有于是有03XlabFPPM图图FP典型方程改写为典型方程改写为0022221211212111PPXXXX EIlalabFEIlblabFEIlPP6)(6)(32P2P1122211 22P222P1lbaFXlabFX图乘求得位移系数为图乘求得位移系数为FPablFPa2bl2FPab2l2n次超静定结构0X.XX.0X.XX0X.XXnPnnn

11、22n11nP2nn2222121nPnn12121111）ij,iP的物理意义；2）由位移互等定理jiij；3） 表示柔度，只与结构本身和基本未知力的选择有关，与外荷载无关；ij4）柔度系数及其性质nn2n1nn22221n11211.对称方阵系数行列式之值0主系数0ii副系数000ij5)最后内力Pnn2211MXM.XMXMMij位移的地点产生位移的原因13aaP123456P1X1XEA=c1X11X11212121211NPPPPP20（1）基本体系与未知量1X（2）力法方程0XP1111PN（3）系数与自由项aEAlNEAEAlN22211212111223211111PaEAlN

12、NEAEAlNNPPP20超静定桁架超静定桁架aaP0.396P0.396P0.396P-0.604P-0.854P-0.56PNP1X1X思考：思考：若取上面的基本体系，力法方程有没有变化?21力法方程：?1111PXPX1111EAaX21（4）解方程PPX854. 04222231（5）内力PNXNN11022231)222(11PaEAXaEA 10-5 10-5 力法计算的简化力法计算的简化0.0.0.22112222212111212111nPnnnnnPnnPnnXXXXXXXXX0.0022221111nPnnnPPXXX一、对称性的利用一、对称性的利用对称的含义：1、结构的几

13、何形状和支座情况对某轴对称；2、杆件截面和材料（E I 、EA）也对称。1I1I2I2X2X3X3X1X1X42X1X21X1X11M2M3M000333323213123232221211313212111PPPXXXXXXXXX000333322221211212111PPPXXXXXP5 . 0P5 . 0P5 . 0P5 . 0PM PM1X33XP5P5 . 0P5 . 0PM P5 . 0P5 . 0PM60022221211212111PPXXXX03333PX正对称荷载正对称荷载作用下，对作用下，对称轴截面只称轴截面只产生轴力和产生轴力和弯矩。弯矩。反对称荷载反对称荷载作用下，

14、对作用下，对称轴截面只称轴截面只产生剪力。产生剪力。1I3I2I1I2I1 1）正对称荷载作用下）正对称荷载作用下1I3I2I不考虑轴向变形不考虑轴向变形条件下，可简化条件下，可简化为：为：1I2I1I23I2I2 2）反对称荷载作用下）反对称荷载作用下1I23I2I1I23I2I1I2Il23I7（2）未知力分组和载荷分组）未知力分组和载荷分组0,12212211 YYXYYX力法典型方程成为：力法典型方程成为： 00P2222P1111 YYPF对称结构承受一般非对称荷载时，可将荷载分组，如：对称结构承受一般非对称荷载时，可将荷载分组，如：（3）取半结构计算：）取半结构计算：PF2PF2P

15、F2PF2PFPFPFPF对称轴对称轴PFPFPFPFPF（d）PF（c）PFPFPFPFPFPFPFPFPFCFQCFQ例例 1. 试用对称性对结构进行简化。试用对称性对结构进行简化。EI为常数。为常数。FP/2FP /2FP /2FP /2I/2I/2FP /2FP /2I/2方法方法 1FPFP /2FP /2FPFP /2FP /2FP /2FP /2I/2FP /4FP /4FP /4I/2FP /4FP /4FP /4I/2FP /4FP /4无弯矩，无弯矩，不需求解不需求解FP /4FP /4FP /4I/2FP /4FP /4FP /4I/2FP/4FP /4I/2方法方法 2

16、无弯矩，无弯矩，不需求解不需求解FPFP /2FP /2FP /4FP /2FP /2FP /4FP /4FP /4FP /2FP /2FP /4FP /4FP /4FP /4I/2FP /4FP /4FP /4FP /4I/2FP /4FP /4I/2FP /4FP /4FP /4FP /4FP /4FP /4FP /2FP /22 , 3 2, 1 0 ijnjnijiij 0 jiij 支座移动时的计算支座移动时的计算hlab1X2X1X11lhlh1Rhl1l11X212Rabc1c2baccXXXX222212112121110“c”1基本方程的物理意义？基本方程的物理意义？基本结构

17、在支座位移和基本未知力共同作用下，在基本未知力作用方向上产生的位移与原结构的位移完全相等。1X11lhlh1Rhl1l11X212Rabc1c2ccXXXX222212112121110cRiclhbablha1c1lbblc122211XMXMM（1 1）等号右端可以不等于零）等号右端可以不等于零（2 2）自由项的意义）自由项的意义（3 3）内力仅由多余未知力产生）内力仅由多余未知力产生（4 4）内力与）内力与EI 的绝对值有关的绝对值有关讨论讨论: :2例例 5. 求解图示刚架由求解图示刚架由于支座移动所产生的于支座移动所产生的内力。内力。解：取图示基本结构解：取图示基本结构力法典型方程为：力法典型方程为：aXXXXXXXXX 3333232131232322212113132121110其中其中 为由于支座移动所产生的位移为由于支座移动所产生的位移,即即 321,iiicFR EI常常数数0 ,)( ,)(321 lblblblb最后内力（最后内力（M图）：图）： 332211XMXMXMM这时结构中的位移以及位移条件的校核公式如何？这时结构中的位移以及位移条件的校核公式如何？ iikkkkcFEIsMMEIsMMRdd 单位基本未知力引起的弯矩图