数形结合例题选集

1、数形结合一、在一些命题证明中得应用举例1、证明勾股定理：解析:上图中，四个小三角形（阴影部分）得面积加上中间小正方形得面积等于大正方形得面积化简后得到勾股定理。解析:在上图中，利用正方形与小正方形面积得转化，能更进一步理解平方差公式 与完全平方公式得运算过程以及公式得本质问题。3、证明基本不等式：2、证明乘法公式（平方差与完全平方）：解析:如上图所示，直角三角形斜边上得中线等于斜边得一半,长度为，根据直角三角形得相似关系，可以得到直角三角形斜边上得高得长度为，显然在直角三角形中斜边上得中线得长度会大于等于高，利用这样简洁明了得几何图解，对基本不等式得理解也就更加简单了。4、证明正（余）弦定理：

2、解析：（1）如上图所示,;即；根据圆得性质（等弧对等角）；综上，得正弦定理：。(2)根据勾股定理AB2BE2AC2CE2,即c2(ccosB)2b2(accosB)2;整理可得余弦定理：;同理得出cosA、cosC得余弦定理、5、证明结论解析:如上图所示，根据y=tanx、y=x、y=sinx在上得图像可瞧出tanx>xsinx,、当然，实际考试作图不可能如此精确，那么转化到右图得单位圆中，当时，角得终边始终在第一象限内，根据三角函数线可知，蓝线表示正弦线，红线表示正切线，再根据弧长公式，即图中黑色弧线得长度表示x,显而易见。红线长度弧线长度蓝线长度，即tanx>x>sinx

3、,。6、证明两角差得余弦公式：解析:如上图所示，根据三角比得定义及单位圆得定义可知单位圆上得点得坐标表示、左图中，将B点旋转至(1,0)处(右图所示)。此时,，因为线段AB得长度没有发生变化，即，化简:。当然也可以用向量得方法证明利用向量数量积定义，证明更加简洁。如左图，0二、在考试中得具体应用：1、与函数得综合运用，主要体现在求零点、交点、解得个数及参数范围等方面：例1(14奉贤)已知定义在R上得函数y=f(x)对任意x都满足f(x+2)=-f(x),当只有四个零点，则a得取值范围就是答案：解析:根据已知条件，f(x)得周期为4,先画f(x)一个周期图像，当1x<3时,，由此画出-1,

4、3)得图像，此为一个周期，图像如下，只有四个零点即f(x)与y=只有四个交点，需分类讨论：当0<a<1时，有两个界值，如下图所示:此时3个交点代入点(3,1)，解得a=(2)当a1时，也有两个界值，如下图所示:评注:数形结合体型，一定要结合图像分析，并且一些用于定位得特殊点要善于把握;另一方面，必须熟悉初等函数得所有性质及函数图像得变换、例2(14闵行)，若a、b、c、d互不相同，且f(a)=f(b)=f(c)=f(d),则abcd得取值范围就是答案:(32,35)解析:根据题意，如下图所示，ab=1,abcd=cd=,4<c<5所以答案就是(32,35)。评注:这类题

5、出现很多，典型得数形结合题型，要让学生熟悉各类函数图像及相关性质，尤其就是对称性与周期性；在草稿纸上作图时，虽说就是草图，但有必要做出一些特殊点进行定位；写区间时,务必考虑区间得开闭情况。变式已知函数f(x)=|x1|一1,若关于x得方程f(x)=t(tR)恰有四个互不相等得实数根得取值范围就是答案：(3,4)解析:根据题意，如下图所示，=0例3(14杨浦)定义一种新运算：。已知函数f(x)=(1+，若函数g(x)=f(x)k恰有两个零点，则k得取值范围就是()A、(1,2;B、(1,2);C.(0,2);D。(0,1)答案:B解析：f (x) (1 3)log 2XX441一，log2X1一

6、XX,4log 2X,log 2X1一Xlog2X,0 x 4示:，如下图所令g(X)=f(x)-k=0，问题转化为函数y=f(X)与函数y二k有两个交点，则k(1,2)。评注:本题考查分段函数表达式求法，函数零点问题转化成两函数交点问题，数形结合很容易求解，可以作适当得延伸，比如，有一个零点，求k得取值范围等。例4(14宝山)关于函数f(x)=，给出下列四个命题：当x>0时,y=f(X)单调递减且无最值;方程f(x)=kx+b(k0)一定有解；如果方程f(x)=k有解，则解得个数一定就是偶数；y=f(x)就是偶函数且有最小值、则其中真命题就是答案:、解析:含绝对值、分类讨论、先画x1与

7、0<x1得部分，然后根据偶函数得性质(关于y轴对称)画出左半部分，函数图像如下图所示：明显错误；k=0时，解得个数为1;、正确。评注:含绝对值得数形结合题型，根据绝对值内得情况，进行分类讨论，画出函数图像，再结合函数性质，一般就是对称性或奇偶性，然后根据函数图像对各项进行分析筛选。例5(14奉贤)定义在上得函数f(x)满足：当时,；f(3x)=3f(x)。设关于x得函数F(x)=f(x)1得零点从小到大依次记为、，则答案:50解析:结合已知条件，分析函数性质，画出函数图像，如下图所示，2+4+8+10+26=50评注:数学结合最直观，或根据函数得对称性，找到对称关系，图像就画出来了，答案

8、也就呼之欲出，这就就是数形结合在直观呈现方面得快捷、2、与三角函数得综合运用：例1(14十三校联考)已知f(x)=asin2x+bcos2x(a、b为常数)，若对于任意xR都有f(x)f(),则方程f(x)0在区间0,内的解为12答案：x=解析:根据“若对于任意”可知，当乂二时，函数图像取最低点，再结合函数解析式可知函数周期为，因为函数得最值横坐标与相邻零点之间相差个周期，即，所以在区问0,内得解(即在区间0,内得零点)为x=。评注:本题瞧似复杂，因为有字母a、b,但只要理解了“三角函数得最值横坐标与相邻零点急间相差个周期”这样得图像性质，结合图像原理，就迎刃而解了。例2(14闸北)设a0且a

9、1,已知函数f仅)=至少有5个零点，则a得取值范围为答案:(0,1)(1,2)解析:就就是求函数上得交点个数，分两种情况：当0<a<1时，在两个函数图像有无数个交点，如下图所示：所以0a<1时，满足至少有5个交点(2)当a>1时，如下图所示,在要至少5个交点，在x=1处要大于0即2a>0,a2,满足至少有5个交点。评注:这就是一道典型得数形结合得题型，将零点问题转化成函数交点个数问题注意理解题意、审清题意及数与形之间得转化、例3(14虹口)函数f(x)=2sin与函数得图像所有交点得横坐标之与为答案:17解析:画出函数f(x)=2sin与函数得图像，如下图所示：这

10、俩图像都就是关于点(1,0)对称，所以它们得交点也就是关于点(1,0)对称，即一对对称交点得横坐标之与为2,总共有8对关于点(1,0)对称得点，再加上(1,0)点本身，即所有交点得横坐标之与为17。评注:本题首先要熟悉函数得图像变换，精确画出函数图像，然后再研究交点得特性，在这道题中，交点关于点(1,0)对称得，在这个前提下，求横坐标之与就转化成简单得中点问题。例4已知函数y=f(x),任取tR,定义集合:,，设，记(1)若函数f(x)=x，则h(1)=(2)若函数f(x)=sin，则h得最大值为答案:(1)2;(2)2解析:定义得意思就是函数y=f(x)在以定点P(点P在函数图像上)为圆心半

11、径为得圆内得部分，这部分函数图像得值域即定点P(1,1)，如下图所示，蓝色实线段部分为符合定义得图像部分，这部分图像最大值为2，最小值为0,所以h(1)=2(2)对于f(x)=s1n,函数最大值与最小值之差2,如下图所示，通过理解观察，可得出能够同时包含最大值与最小值，所以h(t)得最大值为2，此时t=2k,k、评注:这就是一道理解性得定义体型，理解题目得定义很重要，然后结合函数图像分析就不难了。例5(14闵行)对于函数f(x)=，有以下四个命题：任取包成立；4x)=2kf(x+2k)(k),对于一切x包成立；函数y=f(x)-In(x-1)有3个零点；对任意x>0,不等式f(x)包成立

12、，则实数k得取值范围就是则其中所有命题得序号就是答案:、解析:根据下图所示可知：选项就是，选项反比例函数图像至少要满足点（）上,此时，量做到精确，才能避免差错3、与解析几何得综合运用：例1（14闸北）设曲线C:,则曲线C所围封闭图形得面积为答案：解析:因为图像关于x轴、y轴对称，所以可以先画第一象限得图像，第一象限x0,y0，绝对值直接去掉，可得一段圆弧，然后关于x轴、y轴对称翻折，如下图所示,根据题目数据，可得,AB=2，可以先算第一象限得面积，由一个扇形与一个四边形构成，然后再乘以4,全面积为。评注:方程图像问题，含绝对值，所以根据象BM分类讨论，根据相关性质画出方程图像，割补法求面积。变

13、式由曲线所围成得封闭图形得面积为答案:2+例2（14金山）已知直线:4x-3y+6=0,抛物线C:图像上得一个动点P到直线与y轴得距离之与得最小值就是答案：1解析:结合题意，画出直线与抛物线得草图，找到点P到直线与y轴得距离之与，如下图所示，即PH+PA=PH+PB-1=PH+PF1用点到直线距离公式求出来等于2,所以答案为1。评注:注意圆锥曲线得相关定义，进行巧妙得转化，如本题中用到了“抛物线上得点到焦点得距离等于这个点到准线得距离”这个性质，然后结合图像进行转化。例3（14金山）已知有相同焦点得椭圆二0（）A.;B、;C.2;D01答案:D解析:法一:如下图所示，由题意得：PF12诟，两式

14、平方相减得：PPF2mn2,所以PF；PF22（PF1P2法二:对于椭圆而言，焦点三角形得面积为，对于双曲线而言焦点三角形面积，而这就是同一个三角形，所以，所以1、评注:熟悉圆锥曲线得定义非常重要，根据条件找到变量之间恒定得关系，做数学题时,很多时候要辩证思考，透过变化得表象，发现不变得内在联系，动静结合，有机分析，以静制动,以不变应万变。例4（14金山）设双曲线上动点P到定点得距离三最小值就是（）A、；B.;C。；D、1答案:B解析:双曲线方程两边同时除以，得到，即方程,即求点得距离，选B评注:这就是一类要考虑极限位置得极限体型，在高考中出现过类似得题目，一般找到了极限得位置，题目就很容易解

15、得，很多同学不会因为没有想到极限得位置，而像=想把、例5（14闵行）若曲线上存在两个不同点处得切线重合，则称这条切线为曲线得自公切线，下列方程得曲线有自公切线得就是（）Ao;B.;C、；D、答案：C解析:A、B、C、D选项图像依次如下图所示，根据题意，选C评注:利用数形结合得方法，考查了含绝对值曲线方程得画法，一般根据图像得对称性，或者分区间、分象限进行分类讨论函数方程在各个象限得图像，再结合题意解题。4、与向量得运用：例1（14徐汇）如下图所示，已知点两边分别交于17；答案:解析:法一：M、G、N三点共线，设AGAMAN,有，因为一1八口门ABAC,即 x31 1 3'3x1xy1,

16、化简上-3yx y法二:取特殊值，。评注:作为填空题，本题得第一做法就是法二，同时也要知道具体过程，注意向量些常用知识点及一些转化技巧、例2（14闵行）设i、j依次表示平面直角坐标系x轴、y轴上的单位向量，且a j答案:解析:根据题意，得几何意义为一个点到得距离加上这个点到得距离等于，如下图所示，即到A点得距离加上到B点得距离等于，而，所以这个点得轨迹为线段，而我们要求得取值范围得几何意义即转化成线段上得点到点（）得距离得取值范围，最短距离就是下图中得长度，用点到直线得距离公式或等面积法可求得评注:用代数得方法计算，因为有根号，过程很复杂，结合向量得模得几何意义，转化成图形问题就简明了，易于理

17、解，教学过程中注意引导数形结合得使用、例3（14徐汇）如下图所示，在边长为2得正六边形中，动圆得半径为1,圆心在线段CD（含端点）三上运动，P是圆Q上及内部的动点，设向量答案：解析:如上图所示,。评注:本题结合动态图像考查了向量得分解，要求能够理解题意，本题也可建系分析5、与其她知识点得综合运用：例1（14浦东）用S集合S中的元素的个数，设A、B、C为集合，称（A,B,C）有序三元组。如果集合A、B、C满足AB|BCAC1,且ABC=,则称有序三元组（A、B、C）为一最小相交，由集合1,2,3,4的子集构成得所有有序三元组中，最小相交得有序三元组得个数为答案：解析:设，如下图所示，因为ABBC|AC1,所以Mi,M2,M3中个各有一个元素，将得元素排入，有种方法，由题意得，还剩下得一个元素，可排在种方法，由分步原理得。评注:本题要注意分步原理与分类原理得综合运用，抽象出解题模型，从而使问题得到解决，当然也可以用列举法，显然中A为含有1个或者4个元素的子集不符合题意，A为含有2个或者3个元素的子集，列举即可求解。对于新定义题型，要善于将陌生问题化为熟悉模型，注重基本原理得运用。例2（14十三校联考）集合zxy恰有一个成立，若（x,y,z）S且（z,w