数学物理方程学习指导书第8章贝塞尔函数

1、第8章贝塞尔函数本章我们来讨论贝塞尔方程的解法以及解的性质.下面将要看到，在一般的情况下，贝塞尔方程的解不能用初等函数表出，从而就导入了一类特殊函数，称之为贝塞尔函数，贝塞尔函数具有一系列性质，在求解数学物理问题时主要是引用正交性，这个正交性恰好是前面所述的施特姆-刘维尔理论的一个特例.8.1贝塞尔方程的求解x表不自变量,(8.1)在7.1中，我们从解决圆盘的瞬时温度分布问题引出了贝塞尔方程，以y表示未知函数，则n阶贝塞尔方程为2dydy22x2x(x-n)y=0,dx2dx其中n为任意实数或复数.由于方程的系数中出现n2的项，所以在讨论时，不妨暂先假定n0.设方程(8.1)有一个级数解，其形

2、式为y=xc(aoaxa?x2|akxk川|)oO=akxc，a0#0,(8.2)k=0其中常数c和ak(k=1,2,3HI)可以通过把y和它的导数y,y”代入(8.1)来确定.将(8.2)及其导数代入(8.1)后得odt|(ck)(ck-1)(ck)(x2-n2)akxck=0.k=0-化简后写成(c2n2)a0xc+|(c+1f-n21alxc+1+(c+k)2-n2lak+akjxc=0,k=2要使上式成为恒等式，必须各个x哥的系数全为零，从而得下列各式:22、1a0(c-n)=0;222a1(c1)-n=0;3：l(ck)2-n2akay=0(k=2,3,l|).由1彳导c=n,代入2

3、-得a1二0.现暂取c=n,代入3一得a-ak-24ak=k(2nk)-21 -因为前=0,由4-知a1=a 3 = a5 =a7 =111 = 0，而a2,a4/6,川都可以用a0表示，即a 二 一.2 2(2n 2),_a0a4 二,2 4(2 n 2)(2 n 4)-aoa6 =2 4 6(2 n 2)(2 n 4)(2 n 6)二（-优a02 4 6 1112m(2n 2)(2n 4)川(2n 2m)m(-1) a022mm!(n 1)(n 2川 |(n m)由此知（8.2）的一般项为(-1)mn：!2m ax22mm!(n 1)(n 2)HI(n m)，a。是一个任意常数，取定后就得

4、（8.1）式的一个特解.我们把，取作a0=TnTT，2(n1)这样选取a0可使一般项系数中2的次数与x的次数相同，并可以运用下列恒等式(n m)( n m-1)l|l(n1)(n1)-(n1)=(nm1)使分母简化，这样选a0后，一般项的系数就整齐了ma2m 一( 1)2n 2mm! (n m 1)(8.3)以(8.3)代入(8.2)得到(8.1)的一个特解n：:2m(n- 0).y八(T)m尹！-m-02m!(nm1)用级数的比值判别法（或称达朗倍尔判别法）可以判定这个级数在整个数轴上收敛.这个无穷级数所确定的函数，称为n阶第一类贝塞尔函数，记作(n - 0).(8.4)n-2mJn(X)=

5、mJ2n2mm!(nm1)至此，我们就求出了贝塞尔方程的一个特解Jn(x).当n为正整数或零时，T(n+m+1)=(n+m)!,故有qQJn(X)()m -0n ：2mm 2n Sin m/n1,2皿.(8.5)Wc = -n时，用同样方法可得(8.1)式另一特解oOJ(x)八()m。m =02x2m42mm! ：(.n m i)!(n :1,2,川).(8.6)比较(8.4)式与(8.6)式可见，只要在(8.4)的右端把n换成-n,即可得到(8.6)式，因此不论n是正数还是负数，总可以用(8.4)式统一地表达第一类贝塞尔函数.当n不为整数时，这两个特解 Jn(x)与J/(x)是线性无关的，由

6、齐次线性微分主程的通解的结构定理知道，(8.1)的通解为y = AJn(x) BJ(x)(8.7)其中A,B为两个任意常数.当然，在n不为整数的情况，方程(8.1)的通解除了可以写成(8.7)式以外还可写成其他的形式，只要能够找到该方程另一个与Jn(x)线性无关的特解，它与Jn(x)就可构成(8.1)的通解，这样的特解是容易找到的.例如，在(8.7)中取A = ctgn,B = cscnTi,则得到(8.1)的一个特解Yn(x) =ctgn Jn(x)-cscrr J(x)J，x)cosn二-J 1(x).= 整数) sinn 二显然，Yn(x)与Jn(x)是线性无关的，因此，(8.1)的通解

7、可写成 y = AJn(x) BYn(x).(8.8)(8.7)由(8.8)式所确定的函数 Yn(x)称为第二类贝塞尔函数，或称牛曼函数8. 2当n为整数时贝塞尔方程的通解上一节说明，当n不为整数时，贝塞尔方程(8.1)的通解由(8.7)或(8.7)式确定，当n为 整数时，(8.1)的通解应该是什么样子呢？首先，我们证明当 n为整数时，Jn(x)与J_n(x)是线性相关的，事实上，我们不妨设n为正整数N（这不失一般性，因n为负整数时，会得到同样的结果），则在（8.6）中,当m=0,1,2，川,（N-1）时均为零，这时级数从m=N起才开始出现非零（-nm1）项，于是（8.6）可以写成_JN2mJ

8、_N(X)=(-1)m NX22mm!：(-Nm1)NN2N;；4NxXX(-1)2NN!-2N2(N1)!2N4(N2)!2!=(-1)NJn(x).即Jn（x）与J（x）线性相关，这时Jn（x）与J（x）已不能构成贝塞尔方程的通解了.为了求出贝塞尔方程的通解，还要求出一个与JN（x）线性无关的特解.取哪一个特解？自然我们想到第二类贝塞尔函数.不过当n为整数时（8.8）的右端没有意义，要想把整数阶贝塞尔方程的通解也写成（8.7）的形式，必须先修改第二类贝塞尔函数的定义.在n为整数的情况，我们定义第二类贝塞尔函数为Yn(x)=l”J (x)cosa二 J (x)sin 一球（n=整数）(8.9

9、)由于当n为整数时，J_n（x） = （1）nJn（x） = cosmJn（x）,所以上式右端的极限是0式的不定型的极限，应用洛必塔法则并经过冗长的推导（可参阅 殊函数，魏执权等译，中国工业出版社出版） ，最后得到a. n .萨波洛夫斯基著特Y0(x) = J0(x) ln- c2m(-1)x( )2(m!)2Yn(x)=1Jm(x) ln- cin；(n -mT)! xm=om! 2-n-2mn：!2m二 mu) m!(n m)!nn -tm -1 彳m -1 彳1+ k_ k=0 k * 1 kH k +1(n = 1,2,3,111), (8.10)J =0.577211,称为欧拉常数.

10、11.1其中c=lim11Inn23n根据这个函数的定义，它确是贝塞尔方程的一个特解，而且与Jn（x）是线性无关的（因为当x=0时，Jn(x)为有限值，而Yn(x)为无穷大).综合上面所述，不论n是否为整数，贝塞尔方程(8.1)的通解都可表示为y=AJn(x)+BYn(x),其中A,B为任意常数，n为任意实数8.3贝塞尔函数的递推公式不同阶的贝塞尔函数之间不是彼此孤立的，而是有一定的联系，本节我们来建立反映这种联系的递推公式.首先考察零阶与一阶贝塞尔函数之间的关系.在(8.5)中令n=0及n=1得：2，、 . xJ0(x) =1 2462.xx一kxk24(2!)226(3!)21(一22k(

11、k!)2xJ1(x) = 23123 2!25 2!3!7x27 3!4!HI (-1)kx2k 122k 1k!(k 1)!+111取出第一个级数的第k+2项求导数，得ILL2k32x22k 2(k 1)!22 k 1(k (2k2)x22k 21(k 1)!12这个式子正好是 J1(x)中含2k 1二 一(一1)22k 1k!(k 1)!x2kH1这一项的负值，且知 J0(x)的第一项导数为零，故得关系d Jo(x) - J1(x). dx(8.11)将J1(x)乘以x并求导数，又得4小 (一1)kx2k 222k 1k!(k 1)!32k1x-2Hl(T)Y2HI2222k(k!)2=x

12、1-22x2kH-HI.2(k!)dxJi(x)=xJo(x).dx(8.12)以上结果可以推广，现将Jn(x)乘以xn求导数，得(小袅尸)2n-2mx2n42mm!F(n+m+1)=xn】(_优m=02n-2m-Jx2m/m!：(nm)-xJnJ(x),dxxnJn(x)=xnJn(x).(8.13)同理可得(8.14)d_n_nxJn(x)=xJni(x).dx将(8.13)和(8.14)两式展开，并经过化简，则分别得xjn(x)njn(x)=XJn(X),xJn(x)-nJn(x)=-xJn(x),将这两式相减及相加，分别得到(8.15)2Jn(x)JnJx)nJn(x),xJn_l(x

13、)-Jn(x)=2Jn(x).(8.16)以上几式便是贝塞尔函数的递推公式.它们在有关贝塞尔函数的分析运算中甚为有用特别值得一提的是，应有(8.15)式可以用较低阶的贝塞尔函数把较高阶的贝塞尔函数表示出(8.15),即可计算任意正整数来.因此如果我们已有零阶与一阶贝塞尔函数表，则利用此表和阶的贝塞尔函数的数值.第二类贝塞尔函数也满足与第一类贝塞尔函数相类似的递推公式dx_xnYn(x)=xnYnJ(x),dxx%(x)=-xYn1(x),(8.17)2nYn(x)+Yn*(x)=Yn(x),x_Yn(X)-Yn.1(X)=2Yn(X).作为递推公式的一个应用，我们来考虑半奇数阶的贝塞尔函数,先

14、计J1(x),J1(x).22由(8.4)可得1 _ 2mx 22Ji(x)-mz0(-1)m.3m!m2135|(2m+12)135|l|(2m2m11一,从而Ji(x)=同理，可求得利用递推公式(8.15)得到J3(x)2同理可得般言之，有二xm(2m1)!二XJ1(x)=二X2m1x2sinx.2cosx.工2xcOSxJi(x)-Ji(x)1dsinxTIsinxcosxxdxxxdxxxdxx(8.18)(8.19)1sinxx(8.20)用1d；Fsinx；IxdxJlx/从(8.20)可能看出，半奇数阶的贝塞尔函数都是初等函数8. 4贝塞尔函数的零点与模值贝塞尔方程的固有值与固有

15、函数都与贝塞尔函数的零点有密切关系.同时，为了将一个函数按贝塞尔函数展开，需要用到贝塞尔函数的模值.本节我们来叙述贝塞尔函数零点的有关结论并计算贝塞尔函数的模值.6.4.1贝塞尔函数的零点第一类贝塞尔函数Jn(x)的零点的几个重要结论：1 二Jn(x)有无穷多个单重实零点，且这无穷多个零点在x轴上关于原点是对称分布着的.因而Jn(x)必有无穷多个正的零点；2 Jn(x)的零点与Jn41(x)的零点是彼此相间分布的，即Jn(x)的任意两个相邻零点之间必存在一个且仅有一个Jn书(x)的零点;图8-13 ：以n)表示Jn(x)的正零点，则吧%吧1)当mT8时无限地接近于n，即Jn(x)几乎是以2n为

16、周期的周期函数.J0(x)与J1(x)的图形见图8-1.为了便于工程技术上的应用，贝塞尔函数零点的数值已被详细计算出来，并列成表格卜表给出了Jn(x)(n=0,1,2,111,5)的前9个正零点Nmn)(m=1,2,，9)的近似值.噌n012345i2.4053.8325.1366.3807.5888.77125.5207.0168.4179.76111.06512.33938.65410.17311.62013.01514.37315.700411.79213.32414.79616.22317.61618.980514.93116.47117.96019.40920.82722.21861

17、8.07119.61621.11722.58324.01925.430721.21222.76024.27025.74827.19928.627824.35225.90427.42128.90830.37131.812927.49329.04730.56932.06533.53734.9896.4.2贝塞尔函数的模值所谓贝塞尔函数的模值就是指定积分的平方根，其中匕；)是Jn(x)的正零点，a为一正常数.为了计算这个积分，以R1(r),R2(r)分别表示下列函数(R(n)、Ri(r)=Jn-r，,工aJR2(r)=Jn(ar)(u为任意参数)则R(r),Rz(r)分别满足方程叫岖M空2rHR=0

18、dr1drpaJrddR1上2n2I_一|r=2+Hr-R2=0.dr1drr以R2(r)乘第一个方程减去以R1(r)乘第二个方程，然后对r从0到a积分，得1；rRi(r)R2(r)dr+rR2(r)Rl(r)-Ri(r)R2(r)0=0.由此可得a0 rJn/口(n)m r Jn(ar)dr a )mn)jn(: a)jnmn)22-Ct(n)当OCT一时，上式右端是a0，e一，r0-型，利用洛必塔法则计算这个极限，得0ar|J.(n)222rJnOrdr=-jn(&n)=.J；/(蟒).aJ22这个公式在下节计算傅里叶-贝塞尔级数的系数时就要用到8.5贝塞尔方程的边值问题在7.1中，我们已

19、将求解圆盘的温度分布问题通过分离变量法转化成求解贝塞尔方程的固有值问题.r2R(r)rR(r)r2-n2R(r)=0,0ra;(8.21),R(r)T=0,(8.22)R(0)：二二(自然边界条件)(8.23)方程(8.21)的通解为R(r)=AJn(1r)BYn；r,由条件(8.23)可得B=0,即R(r)=AJn(，)，利用条件(8.22)得Jn(；a)=0，fll(n) 23 (n) _ FAma J(m = 1,2,111),即扁应该是Jn(x)的零点,以噂)，因，111,匕)|1表示Jn(x)的正零点，则方程(8.21)的固有值为与这些固有值相对应的边值问题(8.21)(8.23)的

20、固有函数是Rm(r) = Jn，_!(n)mr【aJ根据施特姆-刘维尔理论，Rm(r)(m=1,2,3,|)关于权函数P(r)=r是正交的，即a0 Jn3n)mar JnWn) 产k ra=0 (m = k).(8.24)同时，下述展开定理成立:任何一个下两次可微的函数f (r),若在r = 0处有界，而且在r = a处等于零，则它可以展开为绝对一致收敛的傅里叶oOf(r)- AmJnm =aWn)m mra(8.25)其中系数Am可用下述方法确定:在展开式（8.25）的两端同乘以rJn(LL(n)mr，并对r从。到a积分，由正交关系式（8.24）a0 f(r)JnWn)mr rdr = Am

21、 rJmN(n)r dr.a 利用前面计算过的贝塞尔函数的模值公式得到a0 f(r)Jn(|_l(n)、m-r rdra 2【J；mn）(8.26)卜面我们举两个例子，说明用贝塞尔函数求解定解问题的全过程例1设有半径为1的薄均匀圆盘，边界上温度为零，初始时刻圆盘内温度分布为其中r是圆盘内任一点的极半径，求圆内温度分布规律解根据问题的要求，即可归结为求解下列定解问题:u 2二aft_2_2二u：u22x:yT=0；I=1r2.采用极坐标系，并考虑到定解条件与8无关，所以温度u只能是r,t的函数，于是上述问题可写为此外，由物理意义，还有条件代入方程(8.27)得由此得方程(8.31)的解为:tt-

22、0=0;=1 - r2.r cr Ju(r,t) =R(r)T(t),RT =a2 R 1R T,ra2Tr2R rR- r2R-0,2T-a T =0.(8.27)(8.28)(8.29)(8.30)(8.31)T(t)=Cea2t因为tT收，时UT0,九只能小于零，令九=P2则T(t)=Ced2t此时方程(8.30)的通解为R(r)=CJ0(r)2丫。(r).以1an表由u(r,t)的有界性，可知C2=0,再由(8.28)得J0(P)=0,即P是J0(x)的零点,示J0(x)的正零点，则P = 0(n(n =1,2,3川|),综合以上结果可得Rn(r)=Jo(：nr),Tn(t)=geT2

23、世从而un(r,t)CnentJ0(:nr).利用叠加原理，可得原问题的解为望22tUn(r,t)=:，One-nJ0(：nr).n1由条件(8.29)1-r2aO-CnJ0(二nr).n1从而Cn二J0(：n)21_2、,、.0(1-r)rJo(：%r)drJl(n)lii30rJ0(nr)dr-0rJ0(nr)dr,d(二nr)Jnr)=(二nr)J0(；nr)d(：nr),.1J1(口nr)d1rJ0(nr)dr,故得10rJ0(nr)dr=Ji(：nr)另外130rJ0(r)dr=3 . ,r J1( nr)212.,、.-rJ1(nr)dr、20从而J(n)2.=-TrUCnr)0J

24、(：n)2Jz(：n)所以，所求定解问题的解为其中是J0(r)的正零点.例2求下列定解问题Cn4Jz(：n)22：nJ，：n)44J,()u(r，t)八JJ0(nr)enT-nJ1(-n)-2彳t(8.32)-2tU22-a;t2,0rR;=0;ur“二r=R=0,u,(8.33)(8.34)(8.35)的解.解用分离变量法来解，令u(r,t)=R(r)T(t),采用例1中同样的运算，可以得到(8.36)(8.37)(8.38)R(r)=CJ(：r)2丫0(3)，T(t)=C3cos%tC4sin：t.由u(r,t)在r=0处的有界性，可知C2=0,即R(r)=加(r).再根据边界条件(8.3

25、4)中第一式，得R(R)=CiJo(R)=0,因C1B不能为零，故有J。(R)=0.利用贝塞尔函数的递推公式(8.11)可得Ji(：R)=0,即pr是j1(x)的正零点，以41),耳1)卅31)川世n1),山表示J1(x)的所有正零点，则R=*(n=1,2,3,|),即：=-jn-.(8.39)将(8.39)分别彳弋入(8.38),(8.37),得世Rn(r)=jer,RJ：.(1)：.(1)Tn(t)=CncosntDnsinnt.RR从而Un(r,t)= CnCOSal-1(i) nt Dnsint J01.(1)nrR J利用叠加原理可得原定解问题的解为Un(r,t)= gcosal-1

26、t Dn sin将条件(8.35)代入上式得由(8.40)得 CnJ。n =14Dn0Cn - 0=0,K1)rR J=1 - R(n= 1,2,3, HI)；(8.40)(8.41)由(8.41)并利用下面的结果(见习题八第14题)：如果噌是J1(x)的正零点，则R 2Jj;W1)、r dr = R22舁四川加寺”),得到DnR,/r2 、,0 (1 _R2 )rJ0W1)nr drdRJzLn1)：()3j(1)4R所以最后得到定解问题的解为,4 4R - u(r,t)二二 nd(jn1)3Jo(jn1)一 L (1)sin tJ0R(1) n rR(8.42)习题八1、当n为正整数时，讨论Jn(x)的收敛范围.