数学实验教程实验9(级数)

1、实验9级数实验目的1 .理解哥级数的概念，并会用软件将函数展开成哥级数2 .理解Fourier级数的概念，并将函数展开成Fourier级数实验准备1 .数项级数、哥级数的收敛性判断;2 .哥级数的展开、级数求和;3 .Fourier级数的概念、展开方法;实验内容1 .函数的哥级数展开2 .收敛级数的和3 .Fourier级数展开软件命令表9-1Matlab级数操作命令函数名称调用格式说明symssyms变量名1,变量名2,定义符号变量symsym(x,)定义符号变量taylortaylor()哥级数展开symsumsymsum(s,v,a,b)级数求和subssubs(s,old,new)替换

2、求值plotplot(x1,y1,options,x2,y2,options,)绘制散点图实验示例【例9.1级数观察观察下列级数的部分和序列的变化趋势，并求和。2.n 1工（-1）n。Step1 :计算部分和;Step2 :描点观察。clcclearclfsum(1/k)图9-1部分和序列收敛性观察forn=1:100fork=1:np1(k)=1/k;p2(k)=(-1)Ak/k;ends1(n尸sum(p1);s2(n尸sum(p2);endplot(s1)plot(s2)symsi;symsum(1/i,i,1,inf)symsum(-1)Ai/i,i,l,inf)【输出】:级数(1)发

3、散；调和级数(2)收敛，收敛于ln2。【例9.2调和级数实验一欧拉常数、一n1记H(n)=,C(n)=H(n)-lnn,研究C(n)的极限值是否存在。i1i【程序】：洞形观察h(1)=1;fori=2:10A5h(i)=h(i-1)+double(1/i);c(i)=h(i)-log(i);endplot(c)%求极限symsknlimit(symsum(1/k,k,1,n)-log(n),n,inf)【例9.3函数的哥级数展开将下列函数在指定点处展开成哥级数，并计算近似值，至少保留三位小数。1. -f(x)=3/1+x,X0=1,我；2. 一、1X/13. f(x)=arctan,x0=1,

4、arctan一；1x24. f(x)=sin(x+1),x0=0,sin1。【步骤】:Step1：利用函数taylor(f,n,v,a)将函数f(x)在指定点处展开;Step2：利用函数subs(s)求出近似值。【输出】：略。【例9.4级数求和求下列哥级数的和函数。二 x2n 11. Z (积分)；n 二 2n 1n - nxn 4 n(n 1)(微分)oO;3.工 n(n + 1)xn (积分)。n 1Stepl:定义通项f(n);Step2：利用symsum(f,n,1,inf)求级数的和。【程序】:clearclcsyms n x;f1=xA(2*n-1)/(2*n-1);【输出】:s1

5、=symsum(f1,n,1,inf);f2=xAn/(n*(n+1);s2=symsum(f2,n,1,inf);f3=n*(n+1)*xAn;s3=symsum(f3,n,1,inf);s1=1/2*log(1+x)/(1-x)s2=1-(x-1)/x*log(1-x)s3=-2*x/(x-1)A3【例9.5Fourier级数展开及其和函数的逼近设f(x)是以为周期，振幅为1的方波函数，它在-%n上的表达式为11,一二三x:0f(x)=1,0：x_二试将f(x)展开成Fourier级数，并画出图形观察该函数的部分和逼近f(x)的情形。【原理】：以为周期的函数f(x)的Fourier级数为f

6、(x):曳+(ancosn-x+bnsinn-x),2ndnlnl.一1.n二x一一一11一.n二x.一其中an=1(f(x)cosdx,n=0,1,2,，bnJf(x)sindx,n=1,2；【步骤】:Step1:求出f(x)的Fourier系数；由于函数f(x)为奇函数，由Fourier系数的公式知道，an=0,因此它的Fourier级数2(1-(-1)n),n =1,2,只含有正弦项，又因为f(x)sin(nx)为偶函数，故级数中的系数.2二,bn=f(x)sin(nx)dx三0Step2:绘制逼近图形【程序】：参见Exm09Demo05.m【输出】：如下图。0 n=5 n=92005级数逼近图 9-2 Fourier实验练习1.求下列级数的和:(1):(-1尸x2nnmn(2n-1)(提示：微分，2xarctanxln(1+x2),|x|M1)；(2)Z(2n1)x2T(提示：积分,nd2n2x2(2-x2)2,|x|wV2)；(3)Z2n(提示：考虑哥级数z,qn,n4。ndnnx3)。22.求下列函数在指定点处的哥级数展开式:(1) f(x)=.1一nx(x 3),x0=1;参考：一乙(-1)(13n=0(2)f(x)=gtcostdt,X0=0；参考：nz0(