结构力学(第三章)-虚功原理

1、Displacement of Statically Determinate Structures AAAAAxAyPAxAy AAAPAxAyt 铁路工程技术规范规定铁路工程技术规范规定: (1) 刚度要求刚度要求在工程上，吊车梁允许的挠度在工程上，吊车梁允许的挠度 1/600 跨度；跨度；桥梁在竖向活载下，钢板桥梁和钢桁梁桥梁在竖向活载下，钢板桥梁和钢桁梁最大挠度最大挠度 1/700 和和1/900跨度跨度高层建筑的最大位移高层建筑的最大位移 1/1000 高度。高度。 最大层间位移最大层间位移 1/800 层高。层高。(2) 超静定、动力和稳定计算超静定、动力和稳定计算(3）施工要求）施

2、工要求（3）理想联结）理想联结 (Ideal Constraint)。（principle of superposition)(1) 线弹性线弹性 (Linear Elastic),(2) 小变形小变形 (Small Deformation), (Dummy-Unit Load Method) (Principle of Virtual Work)一、功一、功(Work)、实功、实功(Real Work)和虚功和虚功(Virtual Work)力力力作用点沿力方向上的位移力作用点沿力方向上的位移力在自身所产生的位移上所作的功力在自身所产生的位移上所作的功PPW21力在非自身所产生的位移上所作的

3、功力在非自身所产生的位移上所作的功tPWPCtt (Principle of Virtual Work)一、功一、功(Work)、实功、实功(Real Work)和虚功和虚功(Virtual Work)1P11122P21221P2P12位移状态位移状态（虚力状态）（虚位移状态）（1）属）属同一同一体系；体系；（2）均为可能状态。即位移）均为可能状态。即位移 应满足应满足变形协调条件变形协调条件； 力状态应满足力状态应满足平衡条件平衡条件。 （3）位移状态与力状态）位移状态与力状态完全无关完全无关； (Principle of Virtual Work)二、广义力二、广义力(Generaliz

4、ed force)、广义位移、广义位移(Generalized displacement) P PWMW MABMMMMMMWBABA)(PPABPPPPWBABA)(P1 P2 （1）质点系的虚位移原理）质点系的虚位移原理具有理想约束的质点系，在具有理想约束的质点系，在某一位置处于平衡的必要和某一位置处于平衡的必要和充分条件是：充分条件是：1PF2NF1NF2PF1m2mfi ri=0对于任何对于任何可能可能的虚位移，的虚位移，作用于质点系的主动力所作用于质点系的主动力所做虚功之和为零。也即做虚功之和为零。也即（2）刚体系的虚位移原理）刚体系的虚位移原理 去掉约束而代以相应的去掉约束而代以相

5、应的反力，该反力便可看成外反力，该反力便可看成外力。则有：刚体系处于平力。则有：刚体系处于平衡的必要和充分条件是：衡的必要和充分条件是： 对于任何对于任何可能可能的的虚位移，作用于刚虚位移，作用于刚体系的所有外力所体系的所有外力所做虚功之和为零。做虚功之和为零。P0 AX2/PYB 2/PYA 23/2023222 PPP原理的表述：原理的表述： 任何一个处于平衡状态的变形体，当任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任意一个虚位移时，变形体所受外力发生任意一个虚位移时，变形体所受外力在虚位移上所作的总虚功在虚位移上所作的总虚功We，恒等于变，恒等于变形体各微段外力在微段变形位移上作的虚形体各微段

6、外力在微段变形位移上作的虚功之和功之和Wi。也即恒有如下虚功方程成立。也即恒有如下虚功方程成立We = =Wi（3）变形体的虚功原理）变形体的虚功原理 任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任意一个虚任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任意一个虚位移时，变形体所受外力在虚位移上所作的总虚功位移时，变形体所受外力在虚位移上所作的总虚功We,恒恒等于变形体各等于变形体各微段外力微段外力在微段在微段变形位移变形位移上作的虚功之和上作的虚功之和Wi。变形体虚功原理的证明变形体虚功原理的证明: xq1.1.利用变形连续性条件计算利用变形连续性条件计算 所有微段的外力虚功之和所有微段的外力虚功之和 W微段外

7、力分微段外力分为两部分为两部分体系外力体系外力相互作用力相互作用力微段外力功微段外力功分为两部分分为两部分体系外力功体系外力功d dWe相互作用力功相互作用力功d dWn微段外力功微段外力功 d dW= d dWe+d+dWn所有微段的外力功之和所有微段的外力功之和: : W=d dWe+ +d dWn =d dWe =We2.2.利用平衡条件条件计算利用平衡条件条件计算 所有微段的外力虚功之和所有微段的外力虚功之和 W微段外力功微段外力功分为两部分分为两部分在刚体位移上的功在刚体位移上的功d dWg在变形位移上的功在变形位移上的功d dWi微段外力功微段外力功 d dW= d dWg+d+d

8、Wi所有微段的外力功之和所有微段的外力功之和: : W=d dWi =Wiabab微段位移分微段位移分为两部分为两部分刚体位移刚体位移变形位移变形位移baab baba 故有故有We= =Wi成立。成立。abab b 任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任意一个虚任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任意一个虚位移时，变形体所受外力在虚位移上所作的总虚功位移时，变形体所受外力在虚位移上所作的总虚功We,恒恒等于变形体各等于变形体各微段外力微段外力在微段在微段变形位移变形位移上作的虚功之和上作的虚功之和Wi。变形体虚功原理的证明变形体虚功原理的证明: xq1.1.利用变形连续性条件计算利用变形连续

9、性条件计算 所有微段的外力虚功之和所有微段的外力虚功之和 W微段外力分微段外力分为两部分为两部分体系外力体系外力相互作用力相互作用力微段外力功微段外力功分为两部分分为两部分体系外力功体系外力功d dWe相互作用力功相互作用力功d dWn微段外力功微段外力功 d dW= d dWe+d+dWn所有微段的外力功之和所有微段的外力功之和: : W=d dWe+ +d dWn =d dWe =We2.2.利用平衡条件条件计算利用平衡条件条件计算 所有微段的外力虚功之和所有微段的外力虚功之和 W微段外力功微段外力功分为两部分分为两部分在刚体位移上的功在刚体位移上的功d dWg在变形位移上的功在变形位移上

10、的功d dWi微段外力功微段外力功 d dW= d dWg+d+dWi所有微段的外力功之和所有微段的外力功之和: : W=d dWi =Wiabab微段位移分微段位移分为两部分为两部分刚体位移刚体位移变形位移变形位移baab baba 故有故有We= =Wi成立。成立。abab b几个问题几个问题:1. 虚功原理里存在两个状态：虚功原理里存在两个状态： 力状态必须满足平衡条件；位移状态必须满足协调力状态必须满足平衡条件；位移状态必须满足协调条件。因此原理仅是条件。因此原理仅是必要性命题必要性命题。2. 原理的证明表明原理的证明表明:原理适用于原理适用于任何任何 (线性和非线性线性和非线性)的的

11、变形体变形体，适用于，适用于任何结构任何结构。3. 原理可有两种应用：原理可有两种应用： 实际待分析的平衡力状态，虚设的协调位移状态，实际待分析的平衡力状态，虚设的协调位移状态，将将平衡问题化为几何问题来求解平衡问题化为几何问题来求解。 实际待分析的协调位移状态，虚设的平衡力状态，实际待分析的协调位移状态，虚设的平衡力状态，将将位移分析化为平衡问题来求解位移分析化为平衡问题来求解。Wi 的计算的计算:Wi =N+Q+Mds微段外力微段外力: 微段变形可看成由如下几部分组成微段变形可看成由如下几部分组成:（4）变形体虚功方程的展开式）变形体虚功方程的展开式MdMM NdNN QdQQqds微段剪

12、切微段剪切ds微段拉伸微段拉伸dsds微段弯曲微段弯曲对于直杆体系，由于变形互不耦连，有对于直杆体系，由于变形互不耦连，有:We =N+Q+Mds 1）虚功原理用于）虚功原理用于虚设的虚设的协调位移状态协调位移状态与与实际的实际的平衡力状态平衡力状态之间。之间。例例. 求求 A 端的支座反力端的支座反力(Reaction at Support)。解：去掉解：去掉A端约束并代以反力端约束并代以反力 X，构造相应的虚位移状态，构造相应的虚位移状态.ABaC(a)bPX(b)PX C (c)直线直线待分析平衡的力状态待分析平衡的力状态虚设协调的位移状态虚设协调的位移状态0CXPX由外力虚功总和为零，

13、即：由外力虚功总和为零，即：baCX/将将代入得代入得:abPX/通常取通常取xX 1单位位移法单位位移法(Unit-Displacement Method)(1)对静定结构，这里实际用的是刚体虚位移原理，实质上是对静定结构，这里实际用的是刚体虚位移原理，实质上是实际受力状态的平衡方程实际受力状态的平衡方程(2)虚位移与实际力状态无关虚位移与实际力状态无关,故可设故可设(3)求解时关键一步是找出虚位移状态的位移关系。求解时关键一步是找出虚位移状态的位移关系。(4)用几何法来解静力平衡问题用几何法来解静力平衡问题0 BM1 x例例. 求求 A 端支座发生竖向位移端支座发生竖向位移 c 时引起时引

14、起C点的竖向位移点的竖向位移 . 2）虚功原理用于）虚功原理用于虚设的虚设的平衡力状态平衡力状态与与实际的实际的协协调位移状态调位移状态之间。之间。解：首先构造出相应的虚设力状态。即，在拟求位移之解：首先构造出相应的虚设力状态。即，在拟求位移之点（点（C点）沿拟求位移方向（竖向）设置点）沿拟求位移方向（竖向）设置单位荷载单位荷载。ABaCbAC c1ABCAY由由 求得：求得： 0BMabYA/ 01cYAacb/解得：解得： 这是这是单位荷载法单位荷载法 (Dummy-Unit Load Method)它是它是 Maxwell, 1864和和Mohr, 1874提出，故也称为提出，故也称为M

15、axwell-Mohr Method(1)所建立的所建立的虚功方程虚功方程,实质上是实质上是几何方程几何方程。(2)虚设的力状态与实虚设的力状态与实际位移状态无关，故际位移状态无关，故可设单位广义力可设单位广义力 P=1(3)求解时关键一步是求解时关键一步是找出虚力状态的静力找出虚力状态的静力平衡关系。平衡关系。(4)是用静力平衡法来是用静力平衡法来解几何问题。解几何问题。虚功方程为：虚功方程为：单位位移法单位位移法的虚功方程的虚功方程 平衡方程平衡方程单位荷载法单位荷载法的虚功方程的虚功方程 几何方程几何方程 第一种应用一些文献称为第一种应用一些文献称为“虚位移原理虚位移原理”，而将第二种应用称为而将第二种应用称为“虚力原理虚力原理”。更确切的。更确切的说法为，说法为，