数列通项公式与求和习题

1、=1, an an=1广.n 1 n4作商法:已知aL an=f（n）求an,用作商法：anf(1),(n=1)=f (n) 2f(n -1),(n- 2)数列通项一.求数列通项公式1观察法一，.，一1111已知数列3-,5-,7,9,A试写出其一个通项公式：4816322公式法：（等差数列通项公式；等比数列通项公式。）等差数列On是递增数列，前n项和为Sn,且a1,a3,a9成等比数列，S5=a2.求数列归n）的通项公式.3用作差法：已知Sn（即a1+a2+L+an=f（n）求an,用作差法：an=«"'（）S-Sn,（n_2）1o1设正整数数列an前n项和为Sn

2、,满足Sn=（an+1）,求an42 .已知an的前n项和满足log2（Sn+1）=n+1,求an53 .数列an满足a1=4,0+Sn书=an书，求an3如数列an中，a二1,对所有的n之2都有a1a2a3Aan=n11数列an满足 一a1 十-2a2 +L +nan =2n +5 ,求 an222n,则a3+a§=5累力口法：若an+an=f(n)求an：an=(an-an=)+(an=一anq)+L+(a?a)+a(n22)。1已知数列，且a=2,an+1=an+n,求an.2已知数列an满足a1(n>2),则an=6累乘法：已知±=f(n)求an,用累乘法：a

3、n=',4L.曳a(n之2)ananan/ai1已知数列满足a=2,an+=an，求an。3n1.2已知数列an中，a=2,前n项和Sn,若Sn=n an =3n5 an =2n -1a =；3,n =1(2)an2n,n -2an,求an7用构造法(构造等差.等比数列)。(1)形如an书=pan+f(n)只需构造数列限上消去f(n)带来的差异.其中f(n)有多种不同形式f(n)为常数，即递推公式为an=pan+q(其中p,q均为常数，(pq(p一1)#0)。解法：转化为：an+-t=p(an-t),其中t=q,再利用换元法转化为等比数列求解。.1-p例.已知数列On中，a1=1,an

4、+=2an+3,求an.f(n)为一次多项式，即递推公式为an+=pan+rn+s例.设数列Qn,：a1=4,an=3an+2n+2,(n之2),求an.通项专题答案,11 an=2n1kan=舒，1_2an;14,n =1“2n 1,n_261162n-n42 2)an=,n1f：；21246 (1)an=-(2)an=3nn(n1)7 (1)an=2n1-3(2)an-63nl-n-12.已知a1=3且an+=3an+2n,求an答案：an=53n2n答案：an=53n2n1n(3n -3)3n3n 21一8.已知a1=且3Sn书Sn=an书，求an答案：an333a11.已知数列an的首

5、项ai=-，an+i=,n=1,2,，求an的通项公式；答案：an52an+1二.数列求和1.公式法：等差数列求和公式；等比数列求和公式，特别声明：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1的关系，必要时需分类讨论.；常用公式:1十2+3+L+n=ln(n+1),12+22+L+n2=1n(n+1)(2n+1)2613+23+33+L+n3=n(n2+1)211例.已知log3x=,求x+x+x+x+的刖n项和.答案：Sn=1一log232n2 .分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和.n-12例2.求数列的前n项和：1+1，二+4,+7

6、,、劣+3门2,答案：&=十2二aa2aa-123 .倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和(这也是等差数列前n和公式的推导方法).例3.求sin210+sin220+sin23°+sin2880+sin289%勺值答案：Sn=44.54 .错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法(这也是等比数列前n和公式的推导方法)23n 1例 4.求和：Sn=1+3x+5x +7x +，+(2n-1)x例5,求数列2 4-62,22 ,232n,

7、前n项的和.答案：Sn =4二22n25.裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联, 那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有：11=二(1一，)；n(n 1) n n 1 n(n k) k n n k分 111,11 、111111122()k2 k2 -12 k -1 k 1 k k 1 (k 1)k k (k -1)k k -1 k1111=一n(n 1)(n 2)2 n(n 1) (n 1)(n 2)(n 1)! n!1(n 1)! 2( Jn +1 yfn') =尸<-=_= 2(57nL Vn 1).,n n 1. n 一 n 、n -

8、1 111 一例6.求数列 尸,r尸, ',；一；，- 1的刖n项和.答案:1 - 22.3 n "1Sn = n 1 -112n 一2例 7.在数列an中，an =+，又bn =,求数列bn的刖n项的和.n 1 n 1 n 1an an 1答案:Sn8nn 16.通项转换法：先对通项进行变形，发现其内在特征，再运用分组求和法求和。例8.求1+11+111+111方1之和答案：Sn=10吁9n-n181三.能力综合1 .数列an的通项公式为an=,已知前m项和Sm=9,则m为(),n+1+.nA.99B.98C.10D.92 .数歹U1,1+2,1+2+22,，1+2+22+

9、-一+2n-1前n项和等于()A.2n+1-nB.2nC.2n-nD.2n+1-n-23 .数列4的首项为3,bn为等差数列且bn=an书an(nwNQ,若b3=2,b,0=12,则a8=(A.0B.3C.8D.114 .设数列an满足a1=0且-一-=1。1-an11-an(1)求an的通项公式;(2)设 bn =n记Sn =£ bk，证明:k 4Sn：二15 .如果f(x+y)=f(x)f(y),且f(1)=-2，则fHf3)+f5)+l5f(2007)等于答案:f(2)f(4)f(6)f(2008)-5026 .设数列an的前n项和为$=2n：bn为等比数列，且ab,6(a2-

10、a。=b(l)求数列an和bn的通项公式；a21c(2)设cn=,求数列cn的前n项和Tn答案：(1)an=4n2,bn=F(2)Tn=(6n5)4n+5bn4n97.求满足下列条件的数列an的通项公式。(1)已知 匕门满足an+=an+1,a14n -11n_.=一；(2)已知Qn满足an书=3an,且a1=3,求an。2“4n-31P答案：(1)an=竺an=324n-21111(1), , , ,L1 3 3 5 5 7 7 98 .求下面各数列的前n项和。1111,1232343454569 .设函数f(n)的定义域为N+,且满足f(m+n)=f(m)+f(n)+mn,f(1)=1,求

11、f(n)。a1210 .设正值数列an的前n项和为sn,满足sn=(-)1(1)求a1,a2,a3(2)求出数列an的通项公式(3)设bn=求数列bn的刖n项和Tnanan1答案：(1)a1=1,a2=3,a3=5；(2)an=2n1；(3)Tn=n2n111 .已知数列an：a1,a2,a3,an,构造一个新数列：a,(a2-a0,(a3-a2),，(an-an-1),1此数列是首项为1,公比为1的等比数列3(l)求数列an的通项；(2)求数到an的前n项和Sn12. 已知数列an的首项ai=2,an=_2a_,n=1,2,31an1证明：数列（-1、是等比数列；（2）求数列1口*的前n项和Sanan13. （2012大连一模）已知各项均为正数的数列an满足a=1,an书+an，an书一an=0。12n»（1）求证：数列一卜是等差数列，并求数列an的通项公式；（2）求数列一前n项和Snoan.an答案：（1）an=1Sn=（n1）2n4+2n314. （2012东二省第一次联考）数列an前n项和Sn,且Sn=-（an-1）,数列bn满足21.3,_、一.一bn=bn,一一（n>2）,且b=3。44（1）求数列an与bn的通项公式；（2）设数列Cn满足Cn=anSg2（b