数学分析教案(完整)

1、教案2006-2007学年第1学期课程名称：数学分析3课程编号：4081103学院、专业、年级:数学科学学院、数学与应用数学专业、05级任课教师：姜子文教师所在单位：数学科学学院山东师范大学3教案课程简介数学分析课程是高等师范院校和综合性大学数学类专业数学与应用数学专业、信息与计算科学专业本、专科的一门重要基础课，是进一步学习复变函数论、微分方程、微分几何、概率论、实变分析与泛函分析等后继课程的阶梯，是考取数学类硕士研究生的必考基础课之一。本课程内容包括极限论、函数微分学、函数积分学、无穷级数等方面的系统知识，用现代数学工具极限的思想与方法研究函数的分析特性连续性、可微性、可积性。本课程所讲授

2、的这些内容和方法是现代应用数学的基础，是数学类专业学生必须具备的最基础的基本训练，是实现数学类专业培养目标的重要基础课。数学分析课程在大学低年级开设，它集科学性、严密性与连贯性于一体，系统性与逻辑性强，是连接初等数学与高等数学的桥梁，也是区分初等数学与高等数学的标志。对于刚上大学的大学生来说，在从初等数学(用非极限方法研究常量数学)到高等数学(用极限方法研究变量数学)的转变过程中，本课程的学习起着关键的作用。通过本课程的学习，学生可以对近代应用数学的发展有一个初步的了解，进而提高学习数学的兴趣，提高应用所学数学知识解决实际问题的能力与意识。通过本课程的讲授，可以引导学生了解当前数学领域的最新发

3、展状况，培养学生探索新知识的意识和能力。数学分析课程授课时间为三个学期，各学期课程名称分别为：数学分析(1)、数学分析(2)、数学分析(3)。其中数学分析(1)主要包括如下内容：函数；数列极限；函数极限；函数连续性；实数连续性的基本定理；导数与微分。授课学期：第一学期；授课总时数：108学时；学分：6学分。数学分析(2)主要包括如下的内容：不定积分；定积分；定积分的应用；级数理论。授课学期：第二学期；授课总时数：108学时；学分：6学分。数学分析(3)主要包括如下的内容：多元函数偏导数，多元函数可微性，多元函数Taylor公式，多元函数极值，多元函数定积分、面积分、线积分及格林公式，高斯公式，

4、斯托克斯公式。授课学期：第三学期；授课总时数：98学时；学分：6学分。现用教材：数学分析课程现在所用教材为面向21世纪课程教材和国家九五重点教材华东师范大学主编的数学分析（上、下册）（第三版）。同步参考教材：数学分析学习指导书（上、下册），吴良森等编著；数学分析学习指南（自编）（上、下及下下册）；数学分析研究，马顺业编著；数学分析讲义（第三版）（上、下册），刘玉琏等等编著等教材或教学参考书。数学分析3教案教学大纲1 、说明数学分析（3）的教学内容为多元函数的极限与连续、多元函数的微分学、隐函数定理及其应用、含参量正常积分、曲线积分、重积分、曲面积分等七章内容。通过教学，可使学生了解到多元函数与

5、一元函数的差异与联系，理解到积分学多方面的应用。另外，由于学期的差异所造成的原因，本学期的数学分析3这门课程还将讲述傅立叶（Fourier）级数这一章内容。本课程授课学期：第三学期；授课总时数：108学时；学分：6学分。2 、课程内容及课时分配一、傅立叶（Fourier）级数（11学时）三角级数，三角函数系的正交性，傅立叶级数，贝塞尔（Bessel）不等式，黎曼勒贝格（Riemann-lebesgue）定理，傅立叶级数的部分和公式，按段光滑且以2冗为周期的函数展开为傅立叶级数的收敛定理，奇函数与偶函数的傅立叶级数，以2l为周期的函数的傅立叶级数，致收敛性定理，傅立叶级数的逐项积分与逐项微分，维

6、尔斯特拉斯的函数逼近定理二、多元函数的极限与连续（13学时）平面点集概念（邻域、内点、界点、开集、闭集、开域、闭域等），平面点集的基本定理一区域套定理、聚点定理、有限覆盖定理。二元函数概念。二重极限，累次极限，二元函数连续性，复合函数的连续性定理，有界闭域上连续函数的性质。n维空间与n元函数（距离、三角形不等式、极限、连续性等）*。注：建议用映射观点定义多元函数。三、多元函数的微分学（19学时）偏导数及其几何意义，全微分概念，全微分的几何意义，全微分存在的充分条件，全微分在近似计算中的应用，方向导数与梯度，复合函数的偏导数与全微分，一阶微分形式的不变性，高阶导数及其与顺序无关性，高阶微分，二元

7、函数的泰勒定理，二元函数极值。注：在极值举例中可介绍“最小二乘法”。四、隐函数定理及其应用（13学时）隐函数概念，隐函数定理，隐函数求导。隐函数组概念，隐函数组定理，隐函数组求导，反函数组与坐标变换，函数行列式，函数相关*。几何应用，条件极值与拉格朗日乘数法。注：建议用映射观点阐述函数组、反函数组与坐标变换的概念。五、含参量积分（13学时）含参量积分概念，连续性、可积性与可微性，积分顺序的交换。含参量反常积分的收敛与一致收敛，一致收敛的柯西准则，维尔斯特拉斯判别法、连续性、可积性与可微性，积分顺序的交换*。r函数与b函数。六、曲线积分（10学时）第一型和第二型曲线积分概念与计算，格林（Gree

8、n）公式，曲线积分与路径无关条件。七、重积分（16学时）平面图形面积，二重积分定义与存在性，二重积分性质，二重积分计算（化为累次积分）二重积分的换元法（极坐标变换与一般变换）。三重积分定义与计算，三重积分的换元法（柱坐标变换、球坐标变换与一般变换）。重积分应用（体积，曲面面积，重心，转动惯量等）。n重积分*。无界区域上反常二重积分的收敛性概念，无界函数的反常二重积分。注1：用微元法讲重积分应用。2注1:在讲授无界区域上非正常二重积分时，介绍oexdx的计算。八、曲面积分（13学时）曲面的侧，第一型和第二型曲面积分概念与计算，奥斯特罗格拉斯基一高斯公式，斯托克斯（Stokes）公式。场论初步（场

9、的概念、梯度场、散度场、旋度场、管量场与有势场）楔积、微分形式、外微分与一般斯托克斯公式*0注1:本单元最后的*号部分仅作形式的处理。注2:为了与数学分析其它分支联系的更紧密，我们建议主要介绍康托尔的基本序列说,对戴德金德分割说仅介绍其大意。数学分析3教案授课时间2006.9.12第1次课授课章节钎五章第一节任课教师及职称姜子文、教授教学方法与手段讲授课时安排3使用教材和主要参考书华东师范大学主编数学分析（上、下册）（第三版），高等教育出版社2001年版吴良森等编著数学分析学习指导书（上、下册），高等教育出版社2004年版马顺业编著数学分析研究，山东大学出版社1996年版刘玉琏等编著数学分析讲

10、义（第三版）（上、下册），高等教育出版社1982年版教学目的与要求：1 .明确认识三角级数的产生及有关概念；2 .理解以2/为周期的函数的Fourier级数的有关概念、定义和收敛定理.教学重点，难点：重点：将一个函数展开成Fourier级w难点：Fourier级数的收敛性的判别.数；教学内容：一、傅立叶级数1.三角级数三角级数的定义形如曳(ancosnxbnsinnx)的函数项级数称为三角级数，它是由三角函数2n1列(也称为三角函数系)1,cosx,sinx,cosnx,sinnx,所产生的函数项级数.注：是由三角函数列(或三角函数系)1,cosx,sinx,cosnx,sinnx,所产生的函

11、数项级数一a般形式A0(AncosnxBnsinnx),之所以表不为为一(ancosnxbnsinnx),正为了讨论n12n1该级数一致收敛时系数an,bn与其和函数之间关系表述方便.数学分析3教案三角级数的应用背景在自然界中周期现象是很多的，如单摆运动、无线电波等，都可以用周期函数一一正、余弦函数来表示，这是因为周期现象的数学描述就是周期函数.但是较复杂的周期现象如热传导、电流传播、机械振动等不仅需要正、余弦函数表示，而且需要很多以至于无穷多个正、余弦函数叠加来表示，这在数学上就是将周期函数展开成无穷多个正、余弦函数之和的问题.因此要研究由三角函数列所产生的级数即三角级数，特别必须研究由一个

12、函数做出的三角级数即傅立叶级数2.正交函数系bb9定义设函数f(x)与g(x)定义于区间a,b上.若有f(x)g(x)dx0,且f2(x)dx0,aabg2(x)dx0,则称函数f(x)与g(x)定义于区间a,b上是正交的.若定义于区间a,b上的函数列abb2Un(x)满足Un(x)Um(x)dx0(nm),且un(x)dx0,则称函数列un(x)在区间a,b上具有aa正交性，或称函数列un(x)在区间a,b上是正交函数系.例如，三角函数系1,cosx,sinx,cosnx,sinnx,是区间,上的正交函数系.事实上，1cosnxdx0,1sinnxdx0,cosnxcosmxdx0(nm),

13、sinnxsinmxdx0(nm),222cosnxsinmxdx0,而1dx2,cosnxdx,sinnxdx.容易看出，三角函数系1,cosx,sinx,cosnx,sinnx,中所有函数具有共同周期2,故容易验证若三角级数a_(ancosnxbnsinnx)收敛，则它的和函数一定是一个以2为周期的函数.2 n13 .三角级数收敛定理及其性质定理15.1若级数|且(|an|bn|)收敛，则三角级数%(ancosnxbnsinnx)在整个数轴2n12n1上绝对收敛且一致收敛.证明：利用优级数判别法.性质：定理15.2若在整个数轴上f(x)曳(ancosnxbnsinnx)且等式右边级数一致收

14、敛，则则有20n1如下关系式：1anf(x)cosnxdx,n0,1,2,数学分析3»教案bnf(x)sinnxdx,n1,2,证明：利用一致收敛函数项级数的逐项可积性、第十三章第一节习题4、三角函数系的正交性即可二、以2为周期的函数的傅立叶级数1 .傅立叶级数的定义设£(刈是(，)上以2为周期的函数，且f(x)在,上可积，称形如a0一(ancosnxbnsinnx)2 n1的函数项级数为f (x)的傅立叶级数(或f(x)的傅立叶展开式)，其中1一、，1a0 f (x)dx , an1f (x)sin nxdx, n 1,2，f(x)cosnxdx,n1,2，bn称为f(x

15、)的傅立叶系数，记为f(x)曳(ancosnxbnsinnx).2n1注：1)在未讨论收敛性，即证明电(ancosnxbnsinnx)一致收敛到f(x)之前，不能将“”改2n1bn sinnx)是f (x)的傅立为“=”；此处“”也不包含“等价”之意，而仅仅表示巴(ancosnx2ni叶级数，或者说f (x)的傅立叶级数是ao(an cosnx bn sin nx). n 12)求,上f(x)的傅立叶级数，只需求出傅立叶系数例1设f(x)是以2为周期的函数，其在,上可表示为f(x) 1,00,，求f (x)的傅立0叶展开式.三、收敛定理1 .按段光滑的定义设函数f(x)定义于区间a, b上.若

16、函数f (x)在a, b上至多有有限个第一类间断点,其导函数在a, b上除了至多有限个点外都存在且连续，在这有限个点上导函数的左、右极限存在，则称f(x)在区间a, b上按段光滑.(注：导函数的间断点只能是第二类间断点数学分析3教案注：区间a, b上的按段光滑函数f(x)具有性质：(1) f (x)在区间a, b上可积.(2) f (x)在区间a, b上没一点都存在左右极限f (x 0),且有lim f(x_t)_f(x_0)f (x °), Hm f(xJ)f(x 0) f(x 0).x 0tx 0t(3)补充定义f在区间a, b上那些至多有限个不存在点上的值后(仍记为f ),则f

17、在区间a,b上可积.2 .收敛定理定理15.3 以2为周期的函数f (x)在区间,上按段光滑，则在每一点 x , , f的傅立a叶系数 (an cosnx bn sin nx)收敛于f在点x的左、右极限的算术平均值，即2 n 1f(x 0) f(x 0)a0(ancosnxbnsinnx),n1其中an,bn为f的傅立叶系数.(证明放到以后进行)推论若函数f(x)是以2为周期的连续函数，且在区间,上按段光滑，则f的傅立叶级数在(,)上收敛于f.注：3)计算f(x)的傅立叶系数的积分也可以沿别的长度为2的区间来积.如121212a0一0f(x)dx,an。f(x)cosnxdx,n1,2,，bn

18、。f(x)sinnxdx,n1,2,例2设f(x)是以2为周期的函数，其在0,2)上等于x,求f(x)的傅立叶级数注：4)在具体讨论函数的傅立叶级数展开式时，通常只给出f(x)在长为2的区间上的解析表达式，例如在0,2)上的解析表达式，此时我们应对f(x)作解析延拓，即定义f(x)f(x2n),x2n,2(n1),n0,1,2,使其以2为周期，它有下述性质：a)x0,2)时，f(x)f(x)；b)f(x)以2为周期.因此f的傅立叶级数就是指f的傅立叶级数.例3把函数f(x)x,x,展开为Fourier级数.数学分析3»教案解参阅例1,有2(n1八n1sinnx1)nf(x),Qxx,

19、.例4展开函数f(x)|x|,x,.解bn0；a02Hxdx0.a2n0xcosnxdx2.xsinnxn20nsinxdx022cosnxn(cos n 1)42 n0,n为奇数,n为偶数。函数f(x)在,上连续且按段光滑，又f( ) f(),因此有( 倘令x在区间(解法(直接展开)2an x2 cos nxdx o函数f(x)2 .x在区间(|x| 24 cos(2k 1)x.2 , x k 1 (2k 1)2k 1 (2k11)12 ,2 k 1(2k1)2)内把函数f (x)2x展开成Fouriera02x2dx0022x sinnx nxsin xdx on 4(1)n 2. n 1

20、,2, n,)内连续且按段光滑).2ncosnx4(1)2k1n数学分析3教案由于f()f(),该展开式在,上成立.(在该展开式中，取x，得12；取x0,得"2.)k1n6k1n12解法二(间接展开：对例3中f(x)x的展开式作积分运算)由例3,在区间(，)内有八 n 1 sinnx1)xtdt1)xsinntdt0c 11) f (cosnx 1) n1)n 12 n1)cosnx2n为求得n(1)n2n上式两端在,上积分，2x-dx21)n12ndxL? cosnxdx n(1)n(1)n12n12因此，x2(1)n1cosnx2n注：若题目中给定的函数只是在长度为的区间上,解题

21、时一定要先延拓，再按收敛定理判断傅立叶级对该式两端积分,由Fourier级数可逐项积分,有数是否收敛，然后进行展开.做到一定程度以后，可以不用延拓，直接先判断函数是否按段光滑，即傅立叶级数是否收敛，然后进行展开数学分析3»教案复习思考题、作业题:1(1),2(2),3(1),7(1),8下次课预习要点15.2以21为周期的函数的傅立叶级数实施情况及教学效果分析完成教学内容。通过本次教学，学生对本次课讲授的知识基本掌握，反映良好。学院审核意见学院负责人签字年月日数学分析3教案授课时间2006.9.14第2次课授课章节钎五章第二节任课教师及职称姜子文、教授教学方法与手段讲授课时安排3使用

22、教材和主要参考书华东师范大学主编数学分析（上、下册）（第三版），高等教育出版社2001年版吴良森等编著数学分析学习指导书（上、下册），高等教育出版社2004年版马顺业编著数学分析研究，山东大学出版社1996年版刘玉琏等编著数学分析讲义（第三版）（上、下册），高等教育出版社1982年版教学目的与要求：（1）掌握以21为周期的函数的傅里叶级数展开的基本方法.（2）掌握通过对函数做奇延拓或偶延拓并展开为正弦级数或余弦级数的基本方法.教学重点，难点：重点：将一个以21为周期的函数展开成Fourier级数；难点：理解将一个函数展开为正弦级数或余弦级数.教学内容：一.以21为周期的函数的Fourier级数

23、：设函数f(x)以21为周期，在区间1,1上(R)可积.作代换x",则函数F(t)f(U)以2为周期.由x七是线性函数，F(t)在区间,上，)可积.函数F(t)的Fourier系数为1anF(t)cosntdt,n0,1,2,1bn一F(t)sinntdt,n1,2,a0F(t)(ancosntbnsinnt).2 n1数学分析3教案还原为自变量x,F到F(t)f(-)f(x),就有f(x)F(t)(ancos2n1lxnxbnsin-),其中an1,、.1一F(t)cosntdtl.nx.f(x)cosdx,nQ1,2,bn11iF(t)sinntdtnxf(x)sindx,n1,

24、2,当函数f(x)在区间l,l上按段光滑时，f(x)可展开为Fourier级数.注三角函数系1,cos,sin,cosn-x,sinn-x,是区间l,l上的正交函llll数系.把函数f(x)0,5x3,0x0,展开成Fourier级数.P72例15正弦级数和余弦级数：1.区间,上偶函数和奇函数的Fourier级数:设函数f以21为周期的偶函数，或是定义于1,1上的偶函数，则f的傅立叶级数为a0f(x)一2nx2lnxancos'j,an0f(x)cosdx,n0,1,2,同理，设函数f以21为周期的奇函数，或是定义于l,l上的齐函数，则f的傅立叶级数为nxf(x)bnsinn1l，bn

25、2.nx.-pof(x)sindx,n1,2,数学分析3教案2牛寸力Ll时有f(x)bnsinnx,bnof(x)sinnxdx,n1,2,.n12.奇展开和偶展开：在实际应用中，有时需把定义在0,l(或0,)上的函数f展开成余弦级数或正弦级数.可先把定义在0,l(或0,)上的函数作偶式延拓或作齐式延拓到l,l(或,)上，然后求延拓后函数的傅anx2lnx立叶级数.也可不必做延拓，直接按公式f(x)一acos,anf(x)cosdx,2n1nll0lnx2inxn0,1,2,或f(x)bnsin,bn-0f(x)sindx,n1,2,直接计算出f的傅立叶系n1111数和傅立叶级数.把定义在0,

26、l(或0,)上的函数f展开成余弦级数或正弦级数通常称为偶展开和奇展开例2设f(x)|sinx|,x,.求f的Fourier级数展开式.P74例2例3把定义在0,上的函数1,0xh,-1f(x)-,xh,(其中之一0h)0,hx展开成正弦级数.例4把函数f(x)x在(0,2)内展开成：1)正弦级数；2)余弦级数.P76例4数学分析3»教案复习思考题、作业题：1(1)、(2),2,4,5,6.下次课预习要点15.3收敛定理的证明实施情况及教学效果分析完成教学内容。通过本次教学，学生对本次课讲授的知识基本掌握，反映良好。学院审核意见学院负责人签字年月日数学分析3教案授课章节钎五章第二节任课

27、教师及职称姜子文、教授教学方法与手段讲授课时安排3使用教材和主要参考书华东师范大学主编数学分析（上、下册）（第三版），高等教育出版社2001年版吴良森等编著数学分析学习指导书（上、下册），高等教育出版社2004年版马顺业编著数学分析研究，山东大学出版社1996年版刘玉琏等编著数学分析讲义（第三版）（上、下册），高等教育出版社1982年版第二_次课授课时间2006.9.19教学目的与要求:(1)掌握贝塞尔不等式，黎曼-勒贝格定理；了解收敛定理的证明要点.(2)理解收敛定理的证明.教学重点，难点:重点：贝塞尔不等式，黎曼-勒贝格定理、预备定理2.难点：收敛定理的证明.教学内容:定理15.3 ( D

28、ini定理)以2为周期的函数f(x)在区间,上按段光滑，则在每一点x , , f的傅立叶系数ao(an cosnx1bn sin nx)收敛于f在点x的左、右极限的算术平均值，即f(x 0) f(x 0)ao(an cosnx1bn sin nx)，其中an,bn为f的傅立叶系数.a-证明思路：设f(x)a02(an cosnxn 1bnsinnx),对每一点x ,我们要证明a0 (an cosnx bn sin nx)2 n 1f(x 0)-f(x 0).即证明数学分析3»教案a0 nlim (一 (an cosnx bn sin nx) n 2 n 1f(x 0) f(x 0)0

29、.方法是把该极限表达式化为积分，利用RiemanrLebesgue定理证明相应积分的极限为零施证方案：1.写出Sn(X)a0(an cosnx2 n 1bn sin nx)的简缩形式.称这一简缩形式为Sn(X)的积分形式，或称为Dirichlet 积分，即C1Sn(X)f (xt)sin2n 1t2dt.2sin - 2利用该表示式，式"X 0)2f(x 0)Sn (x)可化为f (x 0) f (x 0)2Sn(x)f (x 0) f (x 0)2f(x2n 1sin1t) 2 t dt2sin2f(x 0)2f(xt)sin2n 1t22sin t2dtf(x 0)21 0 f(

30、xt)sin2n 1t22sint2于是把问题归结为证明一n1sin1lim(-f(xt)2dt)0,no0t2sin2_2n1.-f(x0)1osin2t和Jm(-f(xt)2dt)0.n22sint2数学分析3教案这两式的证明是相同的，只证第一式.2.为证上述第一式，先利用三角公式12cost2cos2tcosnt.2n1sint2.tsin2建立所谓Dirichlet八1积分.2n1sin12dt1,利用该式把f(x0)表示为积分，即把f(x0)表示为Dirichlet积分0.tsin222f(x 0)2f(x 0).2nsin21t2sin t2dt1.于是又把上述1中所指的第一式左端

31、化为n-f(x20)f(xsin2n，)2t2sin1tdt)3.利用所谓Riemannlimn1.10(f(x0)f(x,2n1sin少t2sintdt.Lebesgue定理证明上述极限为零.为此，先证明Bessel不等式(P78预备定理1),再建立Riemann-Lebesgue定理.4.把上式化为应用RiemannLebesgue定理的形式，即令(t)f(xt)f(x0)t丹，t(0,1,sin2数学分析3教案.2n11sint则lim1(f(x0)f(xt)2dtn0t2sin2lim1no(t)sinn2tdt.为使最后这一极限等于零，由RiemannLebesgue定理，只要函数在

32、区间0,上可积.因此希望(00)存在.由函数f在区间,上按段光滑，可以验证(00)存在.预备定理及其推论：为实施以上证明方案，我们先建立以下预备定理和其推论预备定理1(Bessel不等式)若函数f在区间,上可积，则有Bessel不等式其中an,bn为证P78.2a。2(a2b2)11f的傅立叶系数.推论1(Riemann-Lebesgue定理)limnf(x)cosnxdx0,证P79.推论2若函数limn证P79.预备定理2f2(x)dx,若函数f在区间上可积，则有limf(x)sinnxdxnf在区间,上可积，则有f(x)sin(n1)xdx0,limn0f(x)sin(n若函数f(x)是

33、以2为周期的周期函数Fourier级数部分和Sn(x)有积分表示式0.12)xdx0.,且在区间,上可积，则函数f(x)的数学分析3教案2n1sin1Sn(X)f(xt)2dt.2sin2当t0时，被积函数中的不定式由极限limsin(n为n2sin；t1，一、，来确定.2Dirichlet 积分:.2nsin2.tsin21tdt1.证由三角公式12cost2cos2t.2n1sint,2cosnt.tsin2.2n1sint2dt.tsin21.Dini定理的证明：P8182.数学分析3教案复习思考题、作业题：1Fourier级数与三角级数的区别与联系2设可积函数方）的Fourier级数在

34、区间-石，后上一致收敛于丁,则成立Parseval等式.汽卜2公下次课预习要点16.1平面点集与多元函数实施情况及教学效果分析完成教学内容。通过本次教学，学生对本次课讲授的知识基本掌握，反映良好。学院审核意见学院负责人签字年月日授课时间2006.9.21第4次课授课章节弟十八F第一节任课教师及职称姜子文、教授教学方法与手段讲授课时安排3使用教材和主要参考书华东师范大学主编数学分析（上、下册）（第三版），高等教育出版社2001年版吴良森等编著数学分析学习指导书（上、下册），高等教育出版社2004年版马顺业编著数学分析研究，山东大学出版社1996年版刘玉琏等编著数学分析讲义（第三版）（上、下册），

35、高等教育出版社1982年版教学目的与要求：1了解平面中的邻域，开集，闭集，开域，闭域的定义_22了解R的完备性教学重点，难点：重点：平面中的邻域，开集，闭集，开域，闭域的定义难点：掌握R2的完备性定理教学内容：§1平面点集与多元函数在前面各章中，我们所讨论的函数都只限于一个自变量的函数，简称一元函数.但是在更多的问题中所遇到的是多个自变量的函数.例如，矩形的面积sxy,描述了面积s和长x、宽y这两个变量之间的函数关系.又如，烧热的铁块中每一点的温度T与该点的位置之间有着确定的函数关系，即当铁块中点的位置用坐标x,y,z表示时，温度T由x,y,z这三个变量所确定.如果进一步考虑上述铁块

36、的冷却过程，那么温度T还与时间t有关，即T的值由x,y,z,t这四个变量所确定.这种两个、三个或四个自变量的函数，分别称为二元、三元或四元函数，一般统称为多元函数多元函数是一元函数的推广，因此它保留着一元函数的许多性质，但也由于自变量由一个增加到多了，产生了某些新的内容，读者对这些内容尤其要加以注意.对于多元函数，我们将着重讨论二元函数在掌握了二元函数的有关理论与研究方法之后，我们可以把它推广到一般的多元函数中去一元函数的定义域是实数轴上的点集；二元函数的定义域将是坐标平面上的点集.因此，在讨论二元函数之前，有必要了解有关平面点集的一些基本概念一平面点集由平面解析几何知道，当在平面上确定了一个

37、坐标系(今后如不特别指出，都假定是直角坐标系)数学分析3教案之后，所有有序实数对(x,y)与平面上所有的点之间建立了一一对应.因此，今后将把“数对”与“平面上的点”这两种说法看作是完全等同的.这种确定了坐标系的平面，成为坐标平面.坐标平面上满足某种条件P的点的集合，称为平面点集，并记作E(x,y)|(x,y)满足条件P.例如全平面上的点所组成的点集是R2(x,y)|x,y.(1)平面上以原点为中心，r为半径的圆内所有的点的集合是222-C(x,y)|xyr.(2)而集合S(x,y)|axb,cyd.(3)则为一矩形及其内部所有点的全体，为书写上的方便，也常把它记作a,bc,d.平面点集(x,y

38、)|(xXo)2(yy。)22与(x,y)|xXo|,|yyo|分别称为为以点A(xo,yo)为中心的圆邻域与方邻域(图16-1).由于点A的任一圆邻域可以包含在点A的某一方邻域之内(反之亦然)，因此，通常用“点A的邻域”或“点A的邻域”泛指这两种形状的邻域，并以记号U(A;)或U(A)来表示，点A的空心邻域是指222(x,y)|0(xxo)2(yyo)22或(x,y)|xxo|,|yyo|,(x,y)(x°,yo)并用记号U(A;)或U(A)来表示.下面利用邻域来描述点和点集之间的关系.任意一点AR2与任意一个点集ER2之间必有以下三种关系之一：(i)内点一若存在点A的某邻域U(A

39、),使得U(A)E,则称点A是点集E的内点；E的全体内点构成的集合成为E的内部，记作intE.(ii) 外点一若存在点A的某邻域U(A),使得U(A)PE,则称A是点集E的外点.(iii) 界点一若在点A的任何邻域内既含有属于E的点，又含有不属于E的点，则称A是集合E的界点.即对任何正数，恒有数学分析3教案U(A;)AE且U(A;)ACE,其中匚ER2E是E关于全平面的余集，£的全体界点构成E的边界，记作E.E的内点必定属于E；E的外点必定不属于E；E的界点可能属于E,也可能不属于E.点A与点集E的上述关系是按“点A在E内或在E外”来区分的.此外，还可按在点A的近旁是否密集着E中无穷

40、多个点而构成另一类关系：(i) 聚点一若在点A的任何空心邻域U(A)内都含有E中的点，则称A是E的聚点，聚点本身可能属于E,也可能不属于E.(ii) 孤立点一若点AE，但不是E的聚点，即存在某一正数，使U(A)IE,则称点A是E的孤立点.显然，孤立点一定是界点；内点和非孤立的界点一定是聚点；既不是聚点，又不是孤立点，则必为外点.例1设平面点集_一.、.，22-D(x,y)|1xy4.(4)满足1x2y24的一切点都是D的内点；满足x2y21的一切点是D的界点，它们都属于D；满足x2y24的一切点也是D的界点，但它们都不属于D；点集D连同它外圆边界上的一切点都是D的聚点.根据点集中所属点的特征，

41、我们再来定义一些重要的平面点集开集一若平面点集所属的每一点都是E的内点（即intEE）,则称E为开集.闭集一若平面点集E的所有聚点都属于E,则称E为闭集.若点集E没有聚点，这时也称E为闭集.在前面列举的平面点集中，（2）所表示的点集C是开集；（3）所表示的点集S是闭集；（4）所表示的点集D既非开集，有非闭集；而且（1）所表示的点集R2既是开集又是闭集.此外，还约定既是开集又是闭集.可以2证明，在一切平面点集中，只有R与是既开又闭的点集.开域一若非空开集E具有连通性，即E中任意两点之间都可用一条完全含于E的有限折线（由有限条直线段连接而成的折线）相连接，则称E为开域（或称连通开集）.闭域一开域连

42、同其边界所成的点集称为闭域.区域一开域、闭域、或者开域连同其边界点所成的点集，统称为区域在上述诸例中，（2）是开域，（3）是闭域，（1）既是开域又是闭域.又如E（x,y）|xy0虽然是开集，但因、象限之间不具有连通性，所以它不是开域，也不是区域有界点集一对于平面点集E,若存在某一正数r,使得EU（;r）,其中是坐标原点（也可以是其他固定点），则称E是有界点集.否则就是无界点集.上述（2）、（3）、（4）都是有界点集，（1）、（5）则是无界点集.数学分析3»教案E为有界点集的另一个等价说法是：存在矩形区域Da,bc,dE.点集的有界性还可用点集的直径来反映，所谓点集E的直径，就是d（E

43、）sup（PF2）,R展E其中（P,B）表示Pi与P2两点之间的距离，当P、P2的坐标分别为（。必）和（X2,y2）时，则（Pi,P2）=（XL）2（yy?）2.于是，当且仅当d（E）为有限值时E是有界点集.根据距离概念，读者不难证明如下的三角形不等式，即对R2上任何三点P、P2和P3,皆有（P,P2）（P.P3）（P2,P3）.一_2.一R上的完备性定理反映实数系完备性的几个等价定理，构成了一元函数极限理论的基础.现在把这些定理推广到R2,它们同样是二元函数极限理论的基础.为此，先给出平面点列的收敛性概念.定义1设PJR2为平面点列,P0R2为一固定点.若对任给的正数，存在正整数N,使得当n

44、N时，有RU（P0;）,则称点列Pn收敛于点R,记作nimP1P0或PnP0,n.在坐标平面中，以（Xn，yn）与（Xo,yo）分别表示Pn与R时，1mPnP0显然等价于“mXnXo/imyny0.同样地，当以n（Pn,P0）表示点Pn与R之距离时“mPnP。，也就等价于limn0.由于点列极限这两种等价形式都是数列极限，因此立即得到下述关于平面点列的收敛原理.n定理16.1 （柯西准则）平面点列Pn收敛的充要条件是：任给正数，存在正整数N,使得当nN(6)时，对一切正整数p,都有(PFnp)证必要性设lim PnnP0 ,则由三角不等式(RFnp)(RR)(R p,P°)及点列收敛

45、定义，对所给，存在正整数N,当nN（也有npN）时，恒有数学分析3教案(Pnp,P°)应用三角形不等式，立刻得到（6）式.充分性当（6）式成立时，则同时有xn pxn(PnPn p)yn pyn(Pi,Pnp)这说明数列xn和yn都满足柯西收敛准则（定理2.10 ),所以它们都收敛.设lim XnX0,lim yny0.从nn而由点列收敛概念推得Pn收敛于点P0（X0,y0）（本节习题5）定理16.2（闭域套定理）设Dn是R2中的闭域列，它满足;（i） DnDn1，n1,2,；（ii） dnd（Dn）,limdn0,n则存在惟一的点P0Dn,n1,2，.证任取点列RDn,n1,2，.

46、由于DnpDn,因此Pn,PnpDn,从而有（图16-2）（Pn，Rp）dn0,n由定理16.1知道存在F0R2,使得“mPnF0,任意取定n,对任何正整数p有RpDnpDn.再令P，由于Dn是闭域，从而必定是闭集（本节习题4）.因此P0作为Dn的聚点必定属于Dn,即BlimPnpDn,n1,2,.p最后证明P0的惟一性.若还有P'oDn,n1,2，则由（Po,P）'）（RFn）（P'o,Pn）2dn0,0得到（Po,Po'）o,即PoP）'.闭域套定理显然是R中闭区间套定理（定理7.1）的直接推广.定理16.3（聚点定理）设ER2为有界无限点集，则E在

47、R2中至少有一个聚点.证现用闭域套定理来证明.由于E是平面有界集合，因此存在一个闭正方形D1包含它.连接正方形对边中点，把d分成四个小的闭正方形，则在这四个小闭正方形中，至少有一个小闭正方形含有E中无限多个点.数学分析3»教案记这个小闭正方形为D2.再对正方形D2如上法分成四个更小的闭正方形，其中又至少有一个小闭正方形含有E的无限多个点.如此下去得到一个闭正方形序列（图16-3）:D1D2D3.容易看到这个闭正方形序列Dn的边长随着n趋向于无限而趋向于零.于是由闭域套定理，存在一点MoDn,n1,2，.现在证明M0就是E的聚点.任取M0的邻域U（Mo；）,当n充分大之后，正方形的边长

48、可小于/2,即有DnU（Mo；）.又由Dn的取法知道U（Mo；）中含有E的无限多个点，这就表明Mo是E的聚点.推论有界无限点列PnR2必存在收敛子列Pn.证明可仿照R中的相应命题（定理7.2推论）定理16.4（有限覆盖定理）设DR2为一有界闭域，为一开域族，它覆盖了D（即nDU，则在中必存在有限个开域1,2,，n,它们同样覆盖了D（即DUi）.i1本定理的证明与R中的有限覆盖定理（定理7.3）相仿，在此从略.在更一般的情况下，可将定理16.4中的D改设为有界闭集，而R2为一族开集，此时定理结论依然成立.数学分析3»教案复习思考题、作业题:1（1）（3）（5），3下次课预习要点16.2

49、二元函数的极限实施情况及教学效果分析完成教学内容。通过本次教学，学生对本次课讲授的知识基本掌握，反映良好。学院审核意见学院负责人签字年月日数学分析3教案授课章节弟十八FITT第F任课教师及职称姜子文、教授教学方法与手段讲授课时安排3使用教材和主要参考书华东师范大学主编数学分析（上、下册）（第三版），高等教育出版社2001年版吴良森等编著数学分析学习指导书（上、下册），高等教育出版社2004年版马顺业编著数学分析研究，山东大学出版社1996年版刘玉琏等编著数学分析讲义（第三版）（上、下册），高等教育出版社1982年版第_5_次课授课时间2006.9.26教学目的与要求：(1)掌握二元及多元函数的

50、定义(2)掌握二元函数的极限的定义(3)熟悉判别极限存在性的基本方法.教学重点，难点：重点：二元函数的极限的定义难点：判别极限存在性的方法教学内容：三二元函数函数(或映射)是两个集合之间的一种确定的对应关系.实数集到实数集的映射是一元函数，现在定义二元函数.定义2设平面点集DR2,若按照某种应法则f,D中每一点P(x,y)都有惟一确定的实数z与之对应，则称f为定义在D上的二元函数(或称f为D到R的一个映射)，记作f:DR,PTZ,(7)且称D为f的定义域；PD所对应的z为f在点P的函数值，记作zf(P)或zf(x,y)；全体函数值的集合为f的值域，记作f(D)R.通常还把P的坐标x与y称为f的自变量，而把z称为因变量.在映射意义下，上述zf(P)称为P的象，P称为z的原象.当把(x,y)D和它对应的象数学分析3»教案3zf(x,y)一起组成三维数组(x,y,z)时，三维欧氏空间R3中的点集_3S(x,y,z)|zf(x,y),(x,y)DR便是二元函数f的图象.通常zf(x,y)的图象是一空间曲面，f的定义域D便是该曲面在xOy平面上的投影.为方便起见，