行星齿轮传动固有频率的统计特性分析

1、第24卷2005年第6期6月机械科学与技术MECHANICALSCIENCEANDTECHNOLOGYVol.24JuneNo.62005文章编号:100328728(2005)0620705205行星齿轮传动固有频率的统计特性分析王世宇,张策,宋轶民,杨通强(天津大学机械工程学院,天津300072)王世宇摘要:建立了2K-H直齿行星齿轮传动平移-扭转耦合模型,分析了行星传动的固有特性。基于传动系统的三种典型的振动模式(扭转振动模式、平移振动模式和行星轮振动模式),以及有关的特征敏感度计算方法,引入随机参数,以解析形式给出了三种振动模式固有频率的统计量计算方法,并对模态跃迁造成的方差突变现象做

2、了初步研究。指出在发生模态跃迁的参数敏感位置,参数的随机性导致了行星齿轮传动的动态特性不稳定,在动态设计中应小心避开。仿真结果证明了所得结论的正确性。关键词:行星传动;自由振动;随机参数;模态跃迁中图分类号:TH132.425文献标识码:AStatisticalAnalysisoftheEigenvalueofPlanetaryGearsWANGShi2yu,ZHANGCe,SONGYi2min,YANGTong2qiang(SchoolofMechanicalEngineering,TianjinUniversity,Tianjin300072)Abstract:Amodelforsimul

3、atingthefreevibrationof2K2Hspurplanetarygearsisestablished.Thethree2dimensionalmodelincludestworigidbodyandonerotationmotionsofthegearsandthecarrier.Thenaturalfrequenciesandvibrationmodesareinvestigated.Basedonthethreetypicalvibrationmodes:ro2tationalmodes,translationmodesandplanetmodes,theeigenvalu

4、e2sensitivityarecalculatedandex2pressedinsimpleformulae.Randomparametersareincludedandthestatisticsexpressionsofthethreetypesoffrequenciesaregiven.Thephenomenonofthestatisticsmutationcausedbylociveeringisinvesti2gated.Theinstabilityofthedynamiccharacteristicscausedbytherandomnessofparametersinthesen

5、si2tiveregionisobvious,whichshouldbeavoidedinthedynamicdesign.Theconclusionsaredemonstratedbysimulationresult.Keywords:Planetarygear;Freevibration;Randomparameters;Modejumping前人文献中多依据不含随机参数的确定性模型来研究行星传动的动态特性。由于工程实际中存在装配及制造误差,因此,传动系统的结构参数、几何尺寸会产生随机波动。依据参数与固有特性之间的关系,系统的模态也将表现出一定的随机性。建立随机有限元模型,研究由参数随机性

6、引起的模态特性改变的定量描述,以及由此导致的行星传动的可靠性问题,对建立基本参数与动态特性之间准确的映射关系以及基于可靠度的动态设计,均有一定的指导意义。进行行星传动随机分析,需要确定概率密度函数(或累积概率分布函数)。但是,在工程实际中,往往由于信息不足或其它条件的限制,而难以确定。鉴于此,工程中往往利用一阶矩(均值)和二阶矩(方差)所提供的信息对模态特性的某一方面从数字特征角度给以定量描述,从而展开随机分析工作。到目前为止,国内外学者对随机结构的模收稿日期:20040406基金项目:国家自然科学基金项目(50205019)资助,教育部高校博士点基金资助项目(20040056018)作者简介

7、:王世宇(1974-),男(汉),河北,博士研究生态统计特性进行了深入地研究16。文献1应用Krone2cker代数、概率统计理论、随机分析和概率摄动技术等,对随机结构系统中包含随机变量的自由振动问题进行了研究,得出了系统的特征值和特征向量的统计量;文献2将矩阵摄动理论与灵敏度分析方法相结合,得到了固有频率的统计特性(均值与方差)的计算公式;而文献3则运用一阶随机摄动法给出了随机桥梁结构特征值问题的基本关系式,之后,又根据随机有限元法求解了动力特性对随机参数的灵敏度矩阵,并得到随机特征值的统计特征。前人对随机模型的研究做了不少的工作,但是,有关行星传动模态数字特征方面的研究并未见报导。本文研究

8、了行星传动的模态统计特性。文中用到了几个假设:(1)引入的随机变量满足独立性条件。在工程实际中,随机变量间往往是相关的,但相关的随机变量可以转化为相互独立的随机变量7,因此,本文只研究具有独立性的随机变量。由于固有频率(特征值)是随质量、刚度等参8数连续变化的函数,因此,特征值之间也满足独立性条© 1995-2006 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.706机械科学与技术第24卷件9;(2)随机变量不仅独立,且具有可叠加性。在数据量很大的情况下,依据中心极限定理,其极限状态服从正态分布,因此假定随

9、机参数满足正态分布规律;(3)不失一般性,假定固有频率也服从正态分布10。1行星传动模型及其模态特性分析1.1行星传动模型图1中:kpn为行星轮轴承刚度(n=1,2,N);n为(n-1)/N,n=第n个行星轮与水平方向的夹角(n=21,2,N);kij为中心构件(太阳轮、系杆和内齿圈)的轴向、周向支撑刚度(i=c,r,s,c、r和s分别表示系杆、内齿圈和太阳轮;j=x,y,u);(xi,yi,ui)为构件形心的广义坐标。ui=rii式中:ri,若i=c,则为行星轮几何形心到系杆的距离;若i=r,s,1,2,N,则为内齿圈、太阳轮及各行星轮的基圆半径;i为相应各构件的角位移。依据牛顿第二定律,经

10、分析得模型自由振动方程(1)Mq+Kq=0式中:广义坐标q、系数矩阵M和k均为随机参数矩阵11。1.2模态特性分析文献11根据振型向量中3个中心构件振动状况的不同,将其归结分为3类振动模式:(1)扭转振动模式。中心构件只有扭转振动,此时固有频率为单重;(2)平移振动模式。中心构件只有平移振动,固有频率重数为2;(3)行星轮振动模式。中心构件没有振动,只有行星轮振动,固有频率重数为N-3。利用表1中所提供的数据,生成3种振型图,如下图2所示。文献11中给出了行星传动的具体建模过程。图1为行星传动的计算模型。图1行星传动计算模型表13种振动模式固有频率的统计特性及相对误差系杆质量mc=0.3624

11、0(kg)均值(Hz)917.7151248.5321963.477系杆质量mc=0.36245(kg)相对误差1.8533.3634.2862.7064.8343.1332.4621.1244.9751.8712.6690.8725.0983.9322.341均方差(Hz)17.00941.99284.154161.333288.206228.411257.06817.27098.01049.130207.454113.96992.155234.403163.409均值(Hz)917.7131248.5361963.4765961.948(12)5961.948(13)7291.049104

12、41.1211536.4041970.1022625.3947772.51413070.5401807.6975961.954(14)6980.888均方差(Hz)17.00941.99084.154165.472161.307228.405257.06817.27098.01049.130207.454113.96992.155358.320163.409相对误差1.8533.3634.2862.7752.7063.1332.4621.1244.9751.8712.6690.8725.0986.0102.341平移振动模式5962.298(13)5962.298(14)7290.999104

13、41.1201536.4041970.102扭转振动模式2625.3947772.51413070.5401807.697行星轮振动模式5961.954(12)6980.888注:表中括号内的数值为固有频率阶次,相对误差=(均方差/均值)×100%© 1995-2006 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.第6期图2中的3种振动模式,3个中心构件在各振动模式下的运动规律相似,除了振幅和相位差异外,或同时作扭转振动(图2(a),或同时作平移振动(图2(b)。而在行星轮振动模式中,中心构件(太

14、阳轮、系杆、内齿圈)不再振动(图2(c)。为了表达清晰,没有给出系杆的振动状况。2行星传动模态敏感度及王世宇等:行星齿轮传动固有频率的统计特性分析70722xn+yn=mc,mr,ms,m1,mN,n=c,r,s,1,2,Nun2=Ic,Ir,Is,I1,IN,n=c,r,s,1,2,N=kr,ks(7)式(6)中:sn+yscossn-xnsins-yncoss+us+unsn=-xssinrn+yrcosrn+xnsinr-yncosr+ur-unrn=-xrsin综合式(3)式(7)可得固有频率关于传动的刚度及质量参数的敏感度计算公式,即n=1()ijnN2=kr,j=r或=ks,j=s

15、=kj,j=c,r,s其数字特征计算2.1特征值敏感度计算为了考察传动随机参数对固有频率的影响,需要研究固有频率关于某参数的敏感度。下面给出文献12中有关灵敏度分析的简要推导过程。设i为第i阶扭转振动图2行星传动的振动模式模式固有频率,<i为与之对应的振型,则特征对(i,<i)满足(K-iM)<i=0(2)式中:K为刚度矩阵;M为质量矩阵。设传动参数为,对式(1)关于此参数求偏导可得固有频率灵敏度公式-(3)=<i<ii如果i为平移振动模式或行星轮振动模式固有频率,此时为重根。假定i的重数为m,并有一组m个两两正交T=Im×的特征向量=1,2,m,且满足

16、Mm,假xj+yjN22n=1()inr2i2+(=kpnt)uj2=kju,j=c,r,s(8)和22-i(xj+yj)=mj,j=c,r,s=Ij,j=c,r,s-iuj/rjN22-in=1N(x2n+yn)2=mp=Ip(9)22-iun/rpn=12.2固有频率的数字特征将第i阶特征值i表示为-1,10i=i+i(10)定ai=-1<i,则有D-i为由参数随机性引起式中:i为第i阶固有频率均值;的第i阶固有频率的微小改变量。由概率知识得2(11)var=E-E()2(12)vari=Ei-E(i)i在随机参数均值p附近展开,由Taylor展开式,将并取至一阶,有-i(13)-E

17、()i()=-=综合式(10)式(13),得特征值方差计算表达式-2(14)vari=var()5由式(8)、式(9)和式(14)得固有频率的方差计算公式vari()=N-ai=0(4)D=-i<Ti<=i(5)经分析得Nn=1()ijn2=kr,j=r或=ks,j=s,n=1,2,N=mc,mr,ms,m1,mN(6)n=1Ni2(jn)2=kr,j=r或=ks,j=s=kj,j=c,r,s22(x2j+yj)和<Ti<=iuj4n=1()inr2i2+(nt)2=kp=kju,j=c,r,s© 1995-2006 Tsinghua Tongfang Opt

18、ical Disc Co., Ltd. All rights reserved.708机械科学与技术第24卷和2222i(xj+yj)442iuj/rj=mj,j=c,r,s=Ij,j=c,r,s3仿真算例vari()2iNn=1(xN2n+yn2222=mp=Ip以四行星轮传动为例,假定各构件的质量为随机参数,且满足独立性,方差均为0.02kg2。利用表2中数据,通过变动系杆质量均值,得到固有频率及方差变化规律(图3、图5)。2iun/2n=1表2行星传动基本参数传动参数基圆半径(m)质量(kg)I/r2(kg)系杆0.1768内齿圈0.27502.353.008太阳轮0.07740.40.

19、398行星轮0.10030.660.6186.291.0×100.00轴承刚度(N/m)周向支撑刚度(N/m)啮合刚度(N/m)啮合角(°1.0×101.0×100.005.0×10824.61.0×1081.0×109图3中,系杆质量的改变只对高阶固有频率有较大影响。值得注意的是点A、B两处的“模态跃迁”现象。其中A处即为文献12中提到的“固有频率轨迹分离”位置,而B为“固有频率轨迹相交”位置。对于前者,轨迹发生突变,离得很近,但没有相交;后者较复杂些,图4为点B处的局部放大,粗实线为具有平移振动模式的13和14,此时两条

20、轨迹重合。12为行星轮振动模式轨迹。在点A、D两处,传动的固有频率轨迹发生突变,随系杆质量的增加,固有频率轨迹在A处“一分为二”,单值变双值,同时振动模式发生突变。而在D处则“合二为一”,两条振动模式不同的轨迹重合,振动模式也转变为单一的平移振动。此外,轨迹上的线段AB、AD和CD上,振动模式不明显,不再具有文献11中所提的清晰振动模式特征。13始终保持上升状态,14则迅速下降,三者之间变化各异,规律明显,形成强烈反差。取点B附近的两个值,在B点左侧取系杆质量mc=0.36240kg,B点右侧取系杆质量mc=0.36245kg。经计算得固有频率的均值、方差和相对误差,如表1所示。图4模态跃迁现

21、象图3固有频率变化轨迹图5为各阶固有频率方差随系杆质量的变化轨迹。图6为与之对应的三维图。可以看出,图中存在的“方差跳变(点A和B两处)。无论在“现象”固有频率轨迹分离”位置还是“固有频率轨迹相交”位置,相关轨迹方差的上升与下降是同时发生的。就点B处而言,12方差值突然上升,而图5固有频率方差变化曲线© 1995-2006 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.第6期王世宇等:行星齿轮传动固有频率的统计特性分析7096OhDH,LibrescuL.Freevibrationandreliability

22、ofcompositecantileversfeaturinguncertainpropertiesJ.ReliabilityEngi2neeringandSystemSafety,1997,56(3):2652727何水清,王善.结构可靠性分析与设计M.北京:国防工业出版社,19938程云鹏.矩阵论M.西安:西北工业大学出版社,20009天津大学数学系概率统计教研室.应用概率统计M.天津大学出版社,199010张义民,闻邦椿.随机结构系统振动的频率可靠性分析J.机械强度,2002,24(2):24024211LinJ,ParkerRG.Analyticalcharacterizationof

23、theuniquepropertiesofplanetarygearfreevibrationJ.JournalofVi2brationandAcoustics,1999,121:31632112LinJ,ParkerRG.Sensitivityofplanetarygearnaturalfrequen2ciesandvibrationmodestomodelparametersJ.JournalofSoundandVibration,1999,228(1):109128图6与图5对应的三维图文献12给出了传动的模态特性与传动参数间的关系,并指出系杆质量对扭转振动模态和行星轮振动模态没有影响,

24、仅对平移振动模态有影响。由表2可知扭转振动模式固有频率不随系杆质量的改变而改变,而平移振动模式固有频率随系杆质量改变有较大幅度变化。行星轮模式固有频率也基本符合文献12中所述规律。但12的均值基本不变,但均方差发生突变,降低了许多,其振动模式也发生突变:由行星轮振动模式变为平移振动模式。13的均值和均方差基本不变,其振动模式也没有改变。14的固有频率均值也基本未变,但基均方差发生突变,振动模式则由平移振动模式变为行星轮振动模式。总之,模态跃迁不仅影响了传动的模态特性,而且影响了其模态的统计特性,产生方差突变现象。在设计参数随机性影响下,均方差的突然变化,会使传动参数的取值不稳定,在参数随机性影

25、响下,传动性能难以得到保障。因此,若从参数取值稳定性角度考虑,在行星传动的动态设计中,应避开模态统计特性的参数敏感区域。4结论(1)建立了2K-H直齿行星传动模型,分析了基本参(上接第704页)5结论(1)行星轮装配误差对系统均载的影响最大,因此在工作中尤其要注意在圆周方向的误差分布情况;(2)各误差对均载共同起作用,如果只减小其中某一个误差值,并不能达到良好的均载效果;(3)在确定某个误差参数后,能利用本文提供的方法得到其余参数的最佳值,提高系统的均载性能;(4)对于各齿轮中心轴线的制造和安装误差,在误差值相同的情况下,具体来说,内齿轮的误差影响最大,太阳轮的误差影响次之,行星轮误差影响最小。参考文献1KrantzTL.AMethodtoAnalyzeandOptimizetheLoadSharingofSplitPathTransmissionsR.NASATechnicalMemorandum107201,19962KahramnA