离散混沌系统的非线性耦合同步(杜)

1、离散混沌系统的非线性耦合同步杜忠波，马维海(1.辽宁科技学院电气与信息工程学院，辽宁 本溪 117022；2. 辽宁工程技术大学电气与控制工程学院，辽宁 葫芦岛125105) 12,摘要：提出了离散系统中的非线性函数对称耦合同步方法，该方法基于线性系统的稳定性准则，通过对离散混沌系统的线性项与非线性项的适当分离，构造一个特殊的非线性函数，作为耦合函数。发现在耦合系数=0.5的邻近区域里存在稳定的混沌同步现象。与传统的混沌同步方法相比较，不需要计算条件Lyapunov指数。以新的混沌系统调制系统和典型Henon映射为例，在非线性耦合下通过理论分析系统参数，得到了系统达到同步时的充分条件。最后用数

2、值仿真实验表明了该方法的有效性与可行性。 关键词：混沌同步；非线性耦合；稳定性准则；线性系统；调制0引言多年来，混沌系统的同步问题一直受到很多科研人员的关注1-2。自从Pecora和Carroll提出并成功地实现了混沌的驱动响应同步以来1，混沌同步的研究迅速发展。近年来，由于混沌同步在各个领域，特别是在保密通信中潜在的巨大应用前景，吸引大量的科研人员开展其理论与实验的研究3-8。从众多的同步方法中不难发现，系统要达到同步，它们之间必须存在耦合作用，驱使它们朝相同的目标发展，最终具有相同的系统动力学行为。因此，两个混沌系统的耦合同步引起了相当的关注5-7。但是，大多数文献研究的都是连续混沌系统。

3、由于离散系统能够实现参数的严格匹配,具有比连续系统更多的优势,因此研究离散混沌系统具有更重要的意义。文献7提出一个基于线性系统稳定性准则的混沌同步方法(SC方法)，通过对驱动混沌系统的线性项与非线性项的适当分离，构造一个受驱动系统的非线性项驱动的响应混沌系统，利用线性系统稳定性准则保证两个系统的同步。文献8发展文献7的SC方法提出利用非线性函数耦合实现连续混沌系统同步的新方法。本文在文献78的基础上，提出一种基于离散时间线性系统稳定准则的混沌同步方法。即通过非线性耦合项的构造使两个混沌系统对称耦合，两个离散混沌系统的状态变量互相驱使以实现同步。1 非线性耦合同步法考虑离散时间系统X(k+1)=

4、F(x(k) (1)式中X(k)Rn为n-维状态变量，F:RR，将F适当分离为X(k+1)=G(x(k)-D(x(k) (2) nnG(x(k)为F(x(k)的线性部分，G(x(k)=Ax(k) (3)式中A为满秩的常数矩阵，要求通过适当的分离使A所有的特征根都在单位圆内，-D(x(k),k)=F(x(k),k)-G(x(k)为F(x(k),k)的非线性部分。此时系统(1)可写为X(k+1)=Ax(k)-D(x(k),k) (4)对于离散混沌系统(4),将非线性函数作为新系统S1和S2的对称耦合函数，用D(X1)与D(X2)的差，构造两个新系统X1(k+1)=Ax1(k)-D(x1(k),k)

5、+D(X1(k),k)-D(X2(k),k) (5) X2(k+1)=Ax2(k)-D(x2(k),k)+D(X2(k),k)-D(X1(k),k) (6) 式中X1,X2Rn为所构造新系统的状态矢量，耦合系数为常数。当系统(5)和(6)实现状态同步时，即X1(k)=X2(k)时，系统(5),(6)即与原系统(1)一致，保持其混沌动力特性。取系统(5)和系统(6)之间微小的同步误差为e(k)=X1(k)-X2(k)，利用局部线性化方法分析这个问题，由(5),(6)得到同步化误差的线性演化方程： e(k+1)=A+(2-1)De(k) (7) X当=0.5时，e(k)的原点为平衡点，由于A的全部

6、特征值i(A)(i=1,2, ,n)的幅值均小于1，根据离散时间线性系统的稳定判据，同步误差的原点为渐近稳定，当k时，e(k)0。此时即实现系统(5)和(6)的状态矢量X1(k)和X2(k)的完全同步。当0.5时，根据朱里稳定性准则，计算误差方程(7)系统矩阵的特征根的取值范围，若同步状态具有稳定性，则所有特征根均在单位圆内。2 调制系统的同步及其条件调制系统可描述为xn+1x01when (8) =axn-sgn(xn) sgn(x)= whenx<0-1式中1<a<2，xn-,。将方程(8)的右端分离为函数G(x(k)和-D(x(k)G(xn)=xn 式中-1<&l

7、t;1 D(xn)=sgn(xn)+(-a)xn此时按照式(5)和(6)构造2个新系统X(k+1)=F(x(k)和Y(k+1)=F(y(k)xn+1=axn-sgn(xn)+(-a)xn-(-a)yn+sgn(xn)-sgn(yn) (9)yn+1=ayn-sgn(yn)+(-a)yn-(-a)xn+sgn(yn)-sgn(xn) (10)定理2 当k时两个相互耦合的调制系统能够实现渐近稳定同步的充分条件是耦合系数满足如下条件：2(-a)+a<1 (11)证明：设en=xn-yn，那么系统(9)(10)的同步化误差方程为en+1=+(2-1)(-a)en+(2-1)sgn(xn)-sgn

8、(yn) (12)当=0.5时，en+1=en,由于-1<<1所以n时en0。当0.5时，根据公式(7)可得：en+1=+(2-1)(-a)en要使en渐近稳定，必须有+(2-1)(-a)<1即2(-a)+a<13 Henon映射的同步Henon映射可描述为2xn+1=1-axn+byn (13) yn+1=xn式中a=1.4，b=0.3，系统处于混沌状态。将方程组(13) 右端分离为函数G(x(k)和-D(x(k)，21-axn0bxnG(xn,yn)=，D(x,y)=- ynn10n0矩阵A的特征值为(0.3,-0.3)，此时按照式(5)和(6)构造两个新系统：22

9、2xn+1=1-axn+byn-(-axn+aun) (14) y=xn+1n222un+1=1-aun+bvn+(-axn+aun) (15) vn+1=un定理3 如果系统(14)和(15)满足如下=0.5的邻近区域： 1111-<<+ (16) 28M28M则对于初始值(x0,y0,u0,v0)充分小时，系统(14)(15)具有同步性。证明：对系统(14)和(15)，令n=xn-un,n=yn-vn，则2222n+1=-axn+byn+aun-bvn-2(-axn+aun) (17) n+1=xn-un当=0.5时，则误差系统为：n+10bn=10nn+1由于A的全部特征值i

10、(A)(i=1,2)的幅值均小于1，满足离散时间线性系统的稳定判据，根据定理1系统(14)和(15)能够实现同步。当0.5时，误差系统为：n+1a(2-1)(2un+n)bn = (18) 10nn+1式(18)的系数矩阵为：2aun(2-1)bA= 10显然，矩阵A的特征方程为：T()=I-A=-2aun(2-1)-b -1=2-2aun(2-1)-b (19)由朱里稳定性准则可知：T()所有特征根均在单位圆内的充要条件是： T(1)>01-2aun(2-1)-b>0 T(-1)>0 即：1+2aun(2-1)-b>0 (20)-b<1b<1由(20)得：

11、 1111 (21) -<<+28un28un根据该定理选择适当的耦合系数，使用耦合控制混沌同步方法就能使系统(14)和(15)达到同步。需要说明的是式(21)的稳定条件仅仅是给出了耦合Henon映射同步的充分条件而非充分必要条件，对于一些即使耦合系数不满足此条件的系统也能够达同步。4 数值仿真4.1 调制系统的数值仿真在数值实验中，选取初始条件y0=0.5,x0=0.45。系统(9)(10)的参数a=1.8，两系统均成混沌态。取耦合强度=0.5，=0.8。图1显示x(k)和y(k)的同步误差en很快趋于零，图2为x(k)和y(k)的同步相图。=0.5时，如前所述，A的全部特征值i

12、(A)(i=1,2)的幅值均小于1，满足离散时间线性系统的稳定判据，其同步误差具有渐近稳定性。根据式(12)可以看出当=0.5，a的值固定时，的值越小，同步误差收敛的越快。如图3为=0.3时的同步误差曲线。从仿真曲线中可以发现en在几次迭代之后就收敛于零。当0.5时，根据式(12)耦合强度要满足下列关系：1-a1+a<<-其中<1。当=0.8时，耦合强度的取值范围为0.4<<1.4。图42(-a)2(-a)为=1时的误差收敛曲线。从图中可以看出误差系统收敛速度既和关。的值有关系也和耦合系数有图1=0.8时的同步化误差曲线图2 x与y的同步相图图3=0.3时的同步化

13、误差曲线图4=1时的同步化误差曲线4.2 Henon映射的数值仿真为了验证上述结论，下面给出Henon映射的同步仿真实验结果。系统(13)的系数为：a=1.4,b=0.3。实验中取M=1.5，则定理3即为：(2257,)。驱动与响应系统之间的均方误1212差为en=n+n。选取初始值x0=0.4,y0=0.18, u0=0.2,v0=0.3。当耦合系数=0.5时，进行仿真实验。如图5所示，系统误差在很短的时间内收敛到零，两系统达到了一致同步。两系统的李萨育图形如图6所示。下面说明定理3是系统同步的充分条件而不是充分必要条件，当耦合系数=0.7时，其它条件不变进行实验。系统误差如图7所示，误差曲

14、线也收敛到零即两耦合系统达到了同步。图5=0.5时的同步化误差曲线(a)x-u同步图(b)图6y-v同步图 =0.5时的两个耦合系统的李萨育图形图7=0.7时的同步化误差曲线5 结论本文对非线性耦合的离散混沌系统的同步进行了研究。提出了一种对称非线性耦合离散混沌系统同步的新方法。在耦合系数=0.5的邻近区域，发现两个混沌系统存在稳定的混沌同步现象。基于离散时间线性系统的稳定性理论，用数学方法推导出非线性耦合混沌系统达到同步的充分条件。与其它的耦合混沌同步方法相比较，该方法简单，避免使用 Lyapunov指数方法带来的复杂性。最后通过选择适当的参数和初值对调制系统和Henon映射进行计算机数值仿

15、真，进一步验证了所提出的方法不仅是可行的而且是有效的。参考文献：1 Pecora L M, Carroll T L. Synchronization in chaotic systemsJ. Phys Rev Lett,1990,64:821-8242 Morgul O. On the synchronization of logistic mapsJ. Phys Lett A, 1998,247:391-3963 Jiang G P, Zheng W X, Tang W K S, Chen G R. Integral-observer-based chaos synchronizationJ

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