第四章随机变量的数字特征

1、第四章随机变量的数字特征本章要求1. 掌握数学期望、方差的概念、性质和计算方法。2. 掌握并熟记，（01）分布、二项分布、泊松分布、指数分布、均匀分布和正态分布的数学期望和方差。3. 了解协方差、相关系数、矩的概念，并掌握它们的性质和计算方法。内容提要与疑难解析一、 数学期望的定义定义1（一维离散型）设离散型随机变量X的分布律为PX=,k=1,2若级数绝对收敛， 则称级数的和为随机变量X的数学期望，记作E(X)。即E(X)= 定义中要求级数绝对收敛，这一条件值得注意，绝对收敛是保证其和不会因各项的次序改变而发生变化。而条件收敛的级数，若改变各项的顺序可使之发散或收敛到不同的和，这显然与实际意义

2、不相符合。正是因为要保证级数绝对收敛，因此有些随机变量就不存在期望值了。例1 随机变量X的取值为=，k=1,2对应的分布律为，k=1,2由于 = -ln2而 = =因此，E(X)不存在。定义2（一维连续型）设连续型随机变量X的概率密度为f(x),若积分绝对收敛，则称积分的值为（均值），记为E(X) ，即E(X)= 在这个定义中要求广义积分绝对收敛，理由与定义1 中相类似，随机变量的数学期望，是刻画随机变量取值平均大小的一个数学特征。例2设随机变量X服从哥西分布（cauchy）即，它的分布密度为， 求E(X) 解 由于 =ln(1+)=ln(1+)=故E(X)不存在。定义3（二维随机变量）若二维

3、随机变量（X,Y）的两个分量X,Y都具有数学期望E(X)，E(Y),则称(E(X),E(Y)，为二维随机变量（X,Y）的数学期望。从定义3中可以看出，二维随机变量的数学期望不过是一维情形的推广。所以，一般教材中不给与介绍，而是给出比这个概念更重要的Z=g（X,Y）的数学期望的计算公式：设为离散型随机变量，其概率分布为PX=X,Y= ,i,j=1,2若 绝对收敛 则 E(Z)=Eg(X,Y)= 设（X,Y）为连续型随机变量，其概率密度函数为f(x,y)若绝对收敛则 E(Z)=Eg(X,Y)=数学期望是一个非常重要的概念，它在很多方面都有重要的应用，下面我们仅以一个例子来说明它在最优决策方面的应用

4、。例3 假定在国际市场上每年对我国某种出口商品的需求量是随机变量X（单位吨），它服从2000，4000均匀分布，设每售出这种商品一吨可为国家挣得外汇3万元，但假如销售不出而积于仓库，则每吨需浪费保养费1万元，问题是要确定应组织多少货源，才能使国家的收益最大。解 以y记预备某年出口的此种商品量（显然可以考虑20004000的情况），则收益（单位：万元）而=+=-对上式求导，并令=0，可得当y=3500时达到最大值，因此组织3500吨此种商品是最好的决策。二、 数学期望的性质1 设C是常数，则有E(C)=C2 设X是一个随机变量，C是常数，则有E(CX)=C E(X)3 设X,Y是两个随机变量，则

5、有E(X+Y)=E(X)+E(Y)4 设X,Y是相互独立的随机变量，则有E(X,Y)=E(X) E(Y) 上述性质中(3)非常重要，将一个随机变量分解成两个（或多个）随机变量之和，然后利用该性质可以很简便求出数学期望，这种处理方法具有实际意义。例4 求超几何分布 m=0，1，n的数学期望。解 此题当然可以用定义直接求出，但也可以用下面方法计算设想一个相应的不放回抽样，令则 因此，而表示几次抽样中抽出的废品数，它服从超几何分布，利用性质(3)得到三、 方差定义4 设X是一个随机变量，若EX-E(X)存在，则称为X的方差，记为D(X)，或(X)，即(X)(X)而称为的标准差或均方差。方差的计算对于

6、离散型的随机变量；若其分布律为则其方差为对于连续型随机变量，其概率密度为f(x),则其方差为方差除了利用上述公式计算外，也可以利用下面的公式来计算。从方差的定义中，我们可以看到，方差实际上就是随机变量函数的数学期望，因此方差表达了X的取值与其数学期望的偏离程度，在实际问题中方差可以帮助我们更好地了解随机变量的取值情况，是分散还是集中。例5 设在同一组条件下独立地对某物体的长度a进行了几次测量，第k次测量的结果为，它是随机变量。又设(k=1,2,n)服从,试计算几次测量结果的平均长度的数学期望和方差。解 由数学期望的性质可得=a而(此处用到了方差的性质(3)。上述结果表明，几次测量结果的平均值的

7、期望恰好是物体的长度a，而几次测量结果的平均所产生的离散程度（或说绝对误差）比一次测量的偏离程度（或说误差）来得小，因此在实际测量中常常利用这一结果，以减小误差。四、 方差的性质1. 设C是常数，则D(C)=02. 设X是随机变量，C是常数，则有 D(CX)=D(X)3. 设X、Y是两个相互独立的随机变量，则有 D(X+Y)=D(X)+D(Y)4. D(X)=0,的充分必要条件是X以概率1取常数C，即 PX=C=1五、 协方差及相关系数，矩定义5 称EX-E(X)Y-E(Y)为随机变量X与Y的协方差，记为Cov(X，Y），即Cov(X，Y）= EX-E(X)Y-E(Y)而称为随机变量X与Y的相

8、关系数。协方差的性质：1. Cov(X,Y)=Cov(Y,X)2. Cov(aX,bY)=abCov(X,Y), a,b是常数。3. Cov(,Y)=Cov(,Y)+Cov(,Y)相关系数的性质1. 2. 若，则，说明X与Y之间以概率1存在着线性关系。定义6 设X和Y是随机变量，若,k=1，2，存在，称它为X的K阶原点矩，若， k=1，2，存在，称它为X的k阶中心矩。若， k，l=1，2，存在，称它为X和Y的k+l阶混合矩。若存在，称它为X和Y的k+l阶混合中心矩。值得注意的是相关系数的大小，反映了两个变量X与Y之间是否存在线性关系的程度，当越接近1时，Y与X越有近似的线性关系。当=0时X与Y

9、之间不相关。X与Y 不相关和X与Y相互独立是两个不同的概念。X与Y不相关是指X与Y之间不存在线性关系，不是说它们之间不存在其它关系。即由X与Y不相关，推不出X与Y相互独立，反之，若X与Y相互独立，则X与Y一定不相关。例6 设X N（0，1），Y,求X与Y 的相关系数解 因 XN（0，1）,故E（X）=0，可是 Cov（X，Y）=E（X·Y）=E（） 而 E（）=0故 Cov(X,Y)=0 ,即=0此例中，虽然X与Y是不相关的，但是不独立，因为Y是由X通过函数关系决定的，这种关系不是线性的。典型例题例7 在灯谜晚会上解 首先，设X表示先猜谜a的获分，显然，X所取的全部可能值为0，12，

10、20。为求X的分布列，令 =“猜对谜a” =“猜对谜b” 由题设知，与独立，且P（）=0.7，P（）=0.8 由于X=0=，X=12=，X=20=因此，PX=0=P（）=0.3P（X=12）=P（）=P()·P()=0.7×0.2=0.14PX=20=P（）=P（）·P（）=0.56 故X的分布列为X01220P0.30.140.56 其次，设Y表示先猜谜b的获得，用类似的方法可求得Y的分布列为Y0820P0.20.240.56先猜谜a的平均获分为E（X）=0×0.3+12×0.14+20×0.56=12.88先猜谜b的平均获分为E（

11、Y）=0×0.2+8×0.24+20×0.56=13.12即：先猜谜b的平均获分比先猜谜a的平均获分高。例8 r个人在楼的底层进入电梯，楼上有n层，每个乘客在任一层下电梯的概率相同。如果某一层无乘客下电梯，电梯就不停车，求直到乘客都下完时电梯停车次数X的数学期望。 设表示在第i层电梯停车的次数。 则 易见， 且 由于每个人在任一层下电梯的概率均为1/n，故r个人同时不在第i层下电梯的概率为 即：= =1- 于是，=1- i=1，2，n 故 EX=n1-例9 设X服从自由度为n的分布，其概率密度为 试求EX。 解 E（X）= 即 E（X）=n 注 上面用到了函数的定

12、义和性质 1） 2）例10 假设X和Y独立，且都服从标准正态分布，求min，的数学期望。解（min，）例11 设随机变量的分布律为求（X）解 由于 E（X）=1.60×+1.65×+1.70×+1.75×+1.77×+1.80×=1.69所以， D（X）=×+例12 一卡车装运水泥，设每袋水泥的重量为，且设服从正态分布，其数学期望为，均方差为，若一卡车装水泥袋，（）求这车水泥的总重量的方差。（）求这车水泥的总重量超过的概率。解（）设第袋水泥的重量为，。由题意知，（，）。因各袋水泥的重量互不影响，所以，相互独立。显然故（）例1

13、3 设服从上的均匀分布，又，。求（，），（，）。解（）（）而，（）所以（，）（）（）·（）而例14 设随机变量（，）具有概率密度求与的协方差矩阵。解由于（）而所以（）同理（）（）又由于（）所以（，）（）（）·（）于是这里（，）（）（）即与的协方差矩阵为考研题精解1.（1997I）已知连续型随机变量X的概率密度为求随机变量X的数学期望和方差。解 将f(x)改写为则，可见 XN（1，1/2），所以，E（X）=1，D（X）=1/22.(1990I)已知离散型随机变量X服从参数为2的泊松分布，即PX=K=k=0，1，2，求随机变量Z=3X-2的数学期望E（Z）解 由于XP（2），所以E（X）=2所以，E（Z）=E（3X-2）=3E（X）-2=3×2-2=43.（1996I）设X，Y是两个相互独立且均服从正态分布N（0，1/2）的随机变量，求随机变量的数学期望。解 由于X，Y均服从N（0，1/2），且相互独立，所以Z=N（0，1）从而E（|Z|）=E=4. (1990I)设二维随机变量（X，Y）在区域D：0<x<1,|y|<x内服从均匀分布，求关于X的边缘概率密度及随机变量Z=2X+1的方差D（Z）。解 （X，Y）的联合概率密度函数是 X的边缘概率密度是所以，