机械工程测试技术基础第一章

1、第一节第一节 信号的分类与描述信号的分类与描述第三节第三节 瞬变非周期信号与连续频谱瞬变非周期信号与连续频谱第四节第四节 随机信号信号随机信号信号第二节第二节 周期信号与离散频谱周期信号与离散频谱 静 态 测 量 动 态 测 量被测对象 静态量值 连续变化的动态量值单次测量结果 具体数值 具体函数（记录曲线）N次重复测量结果 随机变量(一组具体数值) 随机函数(一组具体函数) 静态与动态测量比较1.确定性信号与随机信号第一节第一节 信号的分类与描述信号的分类与描述一、一、信号的分类与描述信号的分类与描述周期信号：是按一定时间间隔周而复始重复出现，无始无终的信号。（1）周期信号如，单自由度振动系

2、统图图1-11-1确定性信号：信号可表为一个确定的时间函数，因而可确定其任何时刻的量值；随机信号：一种不能准确预测其未来瞬时值，也无法用函数关系式来描述的信号，如汽车奔驰时产生的振动信号、环境噪声等。周期信号周期信号是定义在区间，每隔一定时间周而复始重复出现的信号如图所示。连续性的周期信号可表示为 x(t)=x(t+nT0) (n=0,1，2，)离散性的周期信号可表示为 x(n)=x(n+mk) (m=0, 1,2,) 只要给出周期信号在任一周期的函数或波形，便可确知它在任一时刻的数值。例如 集中参量的单自由度振动系统作无阻尼自由振动时，其位移x(t)可由公式确定质点的瞬时位置确定信号中那些不

3、具有周期重复性的信号称为非周期信号。（2）非周期信号非周期信号将确定性信号中那些不具有周期重复性的信号称为非周期信号。包括准周期信号和瞬变非周期信号两种。 准周期信号：由有限个周期信号合成的，但各周期分量之间无法找到公共周期，因而无法按某一时间间隔周而复始重复出现。例如 是两个正弦信号的合成，其频率比 ，不是有理数，不成谐波关系。 瞬变非周期信号在一定时间区间内存在，或随着时间的增长而衰减至零的信号。如有阻尼振动系统的位移信号、用锤子敲击物体时的敲击力信号。图2-4是后者的波形，其数学表达式为式 (0t1)，则信号的频，则信号的频宽扩宽宽扩宽k倍，而幅值变为原来的倍，而幅值变为原来的1/k。

4、sin()( )RfTWfTfTT为为窗的宽度窗的宽度 k=1-10 -9-8-7-6-5-4-3-2-1012345678910-10123tmm(a)窗 函 数 频 谱 图 (T=3)-10 -9-8-7-6-5-4-3-2-1012345678910-0.500.51tmm(b)窗 函 数 频 谱 图 (T=1)-10 -9-8-7-6-5-4-3-2-1012345678910-10123tmm(a)窗 函 数 频 谱 图 (T=3)-10 -9-8-7-6-5-4-3-2-1012345678910-0.500.51tmm(b)窗 函 数 频 谱 图 (T=1)k=3(4).时移、频

5、移特性 若若x(t) X()，则在时域中信号沿时间轴平移一常值，则在时域中信号沿时间轴平移一常值t0，则（时移），则（时移） 020)()(ftjefXttx对应tfjetxffX020)()(如果信号在时域中如果信号在时域中延迟了时间延迟了时间t0，其频谱幅值不会改变，其频谱幅值不会改变，而相频谱中各次谐波的相移而相频谱中各次谐波的相移-2 t0，与，与频率成正比频率成正比在频域中信号沿频率轴平移一常值在频域中信号沿频率轴平移一常值0，则（频移），则（频移）(5).卷积特性 对于任意两个对于任意两个函数函数x1(t)和和x2(t)，定义它们的卷积为：定义它们的卷积为： dtxxtxtx)()

6、()(*)(2121若若x1(t) X1()，x2(t) X2()， 则则1.两个函数在两个函数在时域中的卷积时域中的卷积，对应于，对应于频域中的乘积频域中的乘积2.两个函数在两个函数在时域中的乘积时域中的乘积，对应于，对应于频域中的卷积频域中的卷积 x1(t)* x2(t) X1()X2() x1(t) x2(t) X1()*X2()推导推导 tftfF21 d2121 tfftftf 2121FFtftfF 交换积分次交换积分次序序 dde j21 ttfft de j21 Ff时移时移性质性质 ttfftdedj21 de )(f)(Fj 12)(2)(ffXjdttdx)(2)(fXf

7、jdttxdFnnn(7).积分特性 )()2(1)(fXfjdttxFt)(21)(fXfjdttxFnntt 重积分(6).微分特性 复指数函数形式的频谱为复指数函数形式的频谱为双边谱双边谱（从从-到到+），）， 三角函数形式的频谱为三角函数形式的频谱为单边谱单边谱（从从0到到+）几点结论：几点结论：收敛性收敛性：一般周期信号展开成傅立叶级数后，在频域上是：一般周期信号展开成傅立叶级数后，在频域上是无限的，但从总体上看，无限的，但从总体上看，其谐波幅值随谐波次数的增高而其谐波幅值随谐波次数的增高而减小减小。周期信号的频谱特点：周期信号的频谱特点：离散性离散性：周期信号的频谱是离散谱；：周期

8、信号的频谱是离散谱；谐波性谐波性：每个谱线只出现在基波频率的整数倍上，基波频率：每个谱线只出现在基波频率的整数倍上，基波频率是诸分量频率的公约数；是诸分量频率的公约数；瞬变非周期信号幅频谱具有三个特点瞬变非周期信号幅频谱具有三个特点 1、瞬变非周期周期信号的频谱是连续的连续性。 2、因为基波为无穷小谱线是连续的出现在任何频率上，基波频率是诸分量频率的公约数非谐波性。 3、各频率分量的谱线的高度表示该谐波的幅值。其谐波幅值总的趋势是随谐波次数的增高而减少收敛性。如图所示。三三.几种典型信号的频谱几种典型信号的频谱1.1.矩形窗函数的频谱矩形窗函数的频谱三三.几种典型信号的频谱几种典型信号的频谱

9、在在时间内激发矩形脉冲时间内激发矩形脉冲S(t)（或三角脉冲、双边指数（或三角脉冲、双边指数脉冲，钟形脉冲）所包含的面积为脉冲，钟形脉冲）所包含的面积为1；2 单位脉冲函数单位脉冲函数(t)及其频谱及其频谱)()(lim0ttS0t)(tS单位面积10t0t211)(t)(tS1各种单位面积为各种单位面积为1的脉冲的脉冲 矩形脉冲到矩形脉冲到函数函数 当当0时，时，S(t)的极限就称为单位脉冲函数，记作的极限就称为单位脉冲函数，记作(t)，即（单位脉冲函数）。即（单位脉冲函数）。 (1).(t)的定义的定义从极限角度从极限角度: : (2). (t)的特性的特性000)(ttt从面积角度从面积

10、角度: : 1)(lim)(0dttSdtt0t0t211)(t)(tS1矩形脉冲到矩形脉冲到函数函数 (3). (t)乘积性和积分性乘积性和积分性乘积性乘积性)()()()0()()(0tttftfttf积分性积分性dttttffdtttf)()()0()()(0000)(ttt)()(00tttf)(0tf1)(lim)(0dttSdtt)0()()0()()0()()(xdttxdttxdtttx(4). (t)的采样性的采样性)(txt0t)(t0-1+1)(txt0-1+1)(txt0t)(t0-1+1)(txt0-1+1t0t0)()()()()()()(000000txdtttt

11、xdttttxdttttx)(txt0t)(t0-1+1)(txt0-1+1)(txt0t)(t0-1+1)(txt0-1+1t0t01)(lim)(0dttSdtt 以上表示函数的采样性质采样性质：任何函数x(t)和(t-t0)的乘积是一个强度为x(t0)的函数(t-t0)，而该乘积在无限区间的积分则是x(t)在t=t0时刻的函数值x(t0)。 这个性质是连续信号离散采样的依据。(5). (t)与其它信号的卷积与其它信号的卷积 )()()()(*)(txdtxttx结果：结果：x(t)与与(t)的卷积等于的卷积等于x(t)。 函数的卷积特性函数的卷积特性1 )()()()(*)(000ttx

12、dttxtttx结果结果：(tt0)时卷积，就是将函数时卷积，就是将函数x(t)在发生脉冲函数的在发生脉冲函数的坐标位置上重新作图，或可以说平移至坐标位置上重新作图，或可以说平移至t0当脉冲函数为当脉冲函数为(tt0)时，与函数时，与函数x(t)的卷积的卷积 函数的卷积特性函数的卷积特性2 (6). (t)的频谱的频谱2( )( )jftft edt逆变换：逆变换： dfetftj21)(t) 1 即：即：1() 0t)(t0)( f1函数的频谱函数的频谱 10 e直流分量的频谱直流分量的频谱 (t-t0)ej20t(t) 1 1() 0t)(t0)( f1函数的频谱函数的频谱 根据时移和频移

13、特性根据时移和频移特性 ：020)()(ftjefXttx对应tfjetxffX020)()(1e-j2to(-0) 故知时域的函数具有无限宽广频带的频谱，而且在所有的频段上都是等强度，这种频谱常称为“均匀谱”根据傅里叶变换的对称性质和时移、频移性质，可以得到下列傅里叶变换对： 3、 正、余弦函数的频谱密度函数由于正、余弦函数不满足绝对可积条件，因此不能直接进行傅里叶变换，而需在傅里叶变换时引入函数。根据欧拉公式正、余弦函数可以写成可认为正、余弦函数是把频域中的两个函数向不同方向频移后之差或和的傅里叶逆变换。00002202201sin2()21cos2()2jf tjf tjf tjf tf

14、 tjeef tee0000001sin2()()21cos2()()2f tjfffff tffff根据根据 ej20t(-0) 正弦函数的频谱正弦函数的频谱 7.3 周期单位脉冲序列的频谱周期单位脉冲序列的频谱 相等间隔的周期单位脉冲序相等间隔的周期单位脉冲序列，常称为列，常称为梳状函数梳状函数 sT1式中，式中，Ts周期，周期，n整数，整数，n=0,1, 2, 3,。 为周期函数，而为周期函数，而s=1/Ts，用傅立叶级数的复指数形式表示：用傅立叶级数的复指数形式表示： 222222)(1)(1ssssssTTtnfjsTTtnfjsndtetTdtetgTC2( ,)sjkf tskk

15、comb t TC e( , )()ssncomb t Tt nT因为在(-Ts/2，Ts/2)区间内，只有一个函数，而当t=0时， ，所以 201sjf tee22211( )sssTjkf tTkssCt edtTT因为这样，可写成于是comb(t,Ts)的频谱，comb(f,fs)，也是梳状函数 21( ,)sjkf tskscomb t TeT2()sjkf tsefkf11( , )()()ssnnssskcomb f ffkffTTT 时域时域中，序列的周期为中，序列的周期为Ts，频域频域中，序列的周期为中，序列的周期为1/Ts。 时域时域中，幅值为中，幅值为1 频域频域中，幅值为

16、中，幅值为1/Ts 11( ,)()()ssnnssskcomb f ffkffTTT由图可见，时域周期单位脉冲序列的频谱也是周期脉冲序列。若时域周期为Ts，则频域脉冲序列的周期为1/Ts；时域脉冲强度为1，频域中强度为1/Ts。 矩形窗函数和常值函数的频谱矩形窗函数和常值函数的频谱 7.5 指数函数的频谱指数函数的频谱 1、双边指数衰减函数的频谱、双边指数衰减函数的频谱 atateetx )(0, 0ta0, 0ta222)2(4)()(fafjdtetxfXftjatetx0)(0t0, 0at2、单边指数衰减函数的频谱单边指数衰减函数的频谱 22022)2(221)()(fafjafja

17、dteedtetxfXftjatftjafffafX2arctan)()2(1)(22第四节第四节 随机信号随机信号一、一、概述概述随机信号是不能用确定的数学关系式来描述的，不能预测其未来的任何瞬时值。任何一次观测值只代表在其变动范围中可能产生的结果之一，但其值的变动服从统计规律。随机过程与样本函数如图1-21所示。图图1-211-21样本函数对随机信号按时间历程所作的各次长时间观测记录被称为样本函数。 样本记录对随机信号按时间历程所作的各次有限长时间观测记录被称为样本记录。 随机过程在同一试验条件下，全部样本函数的集合（总体）就是随机过程。x(t)=x1(t),x2(t),xi(t),集合平

18、均随机过程的各种均值（均值、方差、均方值和均方根值）的计算是将集合中所有样本函数对同一时刻的观测值取平均。 时间平均随机过程的各种均值（均值、方差、均方值和均方根值）的计算如果是按某单个样本函数的时间历程进行平均的计算叫作时间平均。根据集合平均和时间平均的关系不同可对随机过程进行分类。 随机过程分类：平稳随机过程和非平稳随机过程。平稳随机过程：指其统计特征参数不随时间而变化的随机过程；否则为非平稳随机过程。 而平稳随机信号又分为各态历经平稳随机过程和非各态历经平稳随机过程各态历经随机过程：在平稳随机过程中，任一单个样本函数的时间平均统计特征等于该过程的集合平均统计特征 一般的随机过程需要足够多

19、的样本函数才能描述，而要进行大量的观测来获取足够多的样本函数式非常困难或做不到的。 实际测试工作常把随机信号按各态历经过程来处理，进而以有限长度样本记录的观察分析来推断、估计被测对象的整个随机过程；也就是说，在测试工作中常以一个或几个有限长度的样本记录来推断整个随机过程，以其时间平均来估计集合平均。 二、随机信号的主要特征参数二、随机信号的主要特征参数描述各态历经随机信号的主要特征参数描述各态历经随机信号的主要特征参数有：有：1)1)均值、方差和均方值。均值、方差和均方值。2)2)概率密度函数。概率密度函数。3)3)自相关函数。自相关函数。4)4)功率谱密度函数。功率谱密度函数。 ( () )

20、均值均值 x x、方差、方差 x x2 2和均方值和均方值 x x2 2TTxdttxT0)(1lim表示信号的常值分量表示信号的常值分量, , x(t) x(t) 样本函数样本函数,T,T观察时间观察时间描述随机信号的波动分量描述随机信号的波动分量方差的正平方根叫方差的正平方根叫标准偏差标准偏差 x x，是随机数据分析的重要参数是随机数据分析的重要参数描述随机信号的强度描述随机信号的强度dtTTTxxtx022)(lim1TTxdttTx022)(1lim均方值的正平方根称为均方值的正平方根称为均方根值均方根值, 即即xrms= x2对于集合平均，则某时刻的均值和均方值为式中 M样本记录总数

21、 i样本记录序号 ti观测时间1,111lim( )Mx tiMix tM122,111lim( )Mx tiMixtM x2描述了信号的波动量；描述了信号的波动量； x2描述了信号的静态量。描述了信号的静态量。 可以证明可以证明 均方值均方值方差方差均值平方均值平方2x2x2x已知其中任意两个可以求第三个已知其中任意两个可以求第三个 例例, , 已知某随机信号的已知某随机信号的x x=50,=50, x x=40,=40,求求x x=?=? 根据根据 2 2x x = =2 2x x- -2 2x x x x=30=302、 概率密度函数第四节第四节 随机信号随机信号二、二、随机信号的主要特

22、征参数随机信号的主要特征参数随机信号的概率密度函数是表示信号幅值落在指定区间的概率。如图1-22所示。图图1-221-22121.nxniiTtttt 当样本函数的记录时间T趋于无穷大时，Tx/T的比值就是幅值落在（x,x+x）区间的概率，即定义幅值概率密度函数P(x)为概率密度函数提供了随机信号幅值分布的信息，是随机信号的主要特征参数之一。不同的随机信号有不同的概率密度函数图形，可以借此来识别信号的性质。当不知道所处理的随机数据服从何种分布时，可以用统计概率分布图和直方图法来估计概率密度函数。 ( )limxTTTP x txxT0( )( )limTxP xx txxP xx 2、 概率密

23、度函数第四节第四节 随机信号随机信号二、二、随机信号的主要特征参数随机信号的主要特征参数常见的四种随机信号如图1-23所示。图图1-231-23正弦信号正弦信号+随机噪声窄带随机信号宽带随机信号三、样本参数、参数估计和统计采样误差 用时间平均法计算随机信号特征参数，需要进行T趋向无穷大的极限运算，它意味着要使用样本函数(观测时间无限长的样本记录)。这是一个无法克服的困难。实际上只能从其中截取有限时间的样本记录来计算出相应的特征参数(称为样本参数)，并用它们来作为随机信号特征参数的估计值。显然，样本参数将随所采用的样本记录而异的，因而它们本身也是随机变量。若把参数的估计值记为 ，则随机信号的均值

24、、均方值的估计值按下式计算 0201( )1( )TxTxx t dtTxt dtT用集合平均法计算随机信号特征参数时，也同样存在这种困难。其困难表现在要求使用无限多个样本记录，进行趋于无穷大的极限运算。实际上也只能使用有限数目的样本记录来计算相应样本参数，并作为随机信号特征参数的估计值。例如样本均值、均方值的估计值用下式计算 11,112,111( )1( )Mx tiiMx tiix tMxtM其中，M、i分别为所采用的样本记录总数目和样本记录序号。 随机信号特征参数分析就是由有限样本记录获取样本参数，而后以样本参数作为随机信号特征参数的估计值。显然，这样做，必定带来误差。这类误差称为统计采样误差，其大小和样本记录的长度、样本记录的数目有关。 周期信号傅立叶级数连续频谱（密度函数）瞬变非周期信号傅立叶变换离散频谱随机信号统计分析样本估值频谱分析 欧拉公式欧拉公式 )1(sincos000jtnjtnetjn)(21cos000tjntjneetn)(2sin000tjntjneejtn10)(2)(20000ntjntjnntjntjnneebjeeaa100022ntjnnntjnnnejbaejbaa00aC )(21nnnjbaC)(21nnnjbaCt