企业退休职工养老金制度的改革

1、2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名

2、号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期： 年 月 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：企业退休职工养老金的模型摘要：养老保险是世界各国较普遍实行的一种社会保障制度，我国也不例外，我国的养老保险改革正处于过渡期。对于问题一，根据附件1，利用MATLAB

3、画出年对应的散点图像1，根据图像分析，年平均工资成指数增长模型，并对它进行拟合，函数为：。接着从网上查找了一些国家统计局数据，并进行拟合，建立了中国经济增长函数为，观察图像3，发现中国经济增长和年平均工资增长模式吻合，确定了模型1对年平均工资的增长假设较为合理。利用MATLAB画出拟合图像2，发现图像3与拟合图像2相吻合。因此预测2011年至2035年的山东省职工的年平均工资。对于问题二，根据附件2数据，利用EXCEL算出年该企业各年龄段职工工资与该企业平均工资之比，即得出职工缴费指数的参考值（附件8），建立替代率的函数模型然后分别将该企业职工自2000年起从30岁、40岁开始缴养老保险，一直

4、缴到退休（55岁，60岁，65岁），这六种情况的对应值代入中，养老金替代率利用EXCEL分别算出来， 。对于问题三，由题意，养老金保险基金的来源于企业将职工工资总额的20%缴纳到社会统筹基金账户与职工个人工资的8%缴纳到个人账户，养老金的支出即为发放给个人的退休养老保险额，则收支平衡模型为：当时，养老金的收支达到平衡；即此人领养工资62岁时，缴存的养老保险与其领养的养老保险之间达到收支平衡。对于问题四应该从社会养老保险基金的征缴、发放与管理等方面做好收支平衡的工作。关键词：拟合；MATLAB软件； EXCEL软件 ；指数增长；收支平衡.问题提出养老保险是世界各国较普遍实行的一种社会保障制度，我

5、国也不例外，我国的养老保险改革正处于过渡期。附录中没有提到职工在职期间每月的缴费工资，因此需要根据题意及附录估算出职工在职期间每月的缴费工资；个人账户储存额储存在银行，务必考虑个人账户的利息，而且得考虑的是银行的存款利息是按复利计算还是按单利计算，这个问题便可在假设中说明；该职工自2000年起从30岁、40岁开始缴养老保险，一直缴费到退休（55岁，60岁，65岁），退休当年，该职工是否还缴养老保险金这容易让人产生误解，值得考虑，根据题意，我们多次的揣摩，认为退休当年不缴养老保险金，且从退休的当年便可以领取养老保险了；既要达到目标替代率，又要维持养老金之间收支平衡，则根据问题二与问题三的模型便可

6、求出，参保人员退休前年的值，而要同时满足这两个模型，求出的值很可能不一样，因此得采取适当的措施来达到目标替代率同时能够维持养老保险基金的收支平衡。.问题的分析本文讨论了历年养老金的缴费、替代率、养老保险的缺口的问题。问题一针对未来中国经济的发展和工资的增长趋势，我们建立的指数增长模型，利用MATLAB 算出的函数，从而根据函数预测出未来中国经济的发展和工资的增长趋势。同样的方法预测出山东省职工的年平均工资。问题二针对替代率，根据题意及附录的信息便可估算出2000年到2035年个人退休前的工资，从而计算出六种情况下的替代率。问题三针对缺口问题，影响缺口的因素主要有缴存养老保险基金额与领取的养老保

7、险基金额，根据题意及附录，建立了收支差额模型，对模型进行求解便可算出该企业职工自2000年从30岁开始缴养老保险金，一直领养到62岁时，他缴存的养老保险基金与领取的养老保险基金达到收支平衡。问题四针对目标替代率与养老保险金的收支平衡，可以提出一些合理的措施，如适当提高退休年龄、推迟职工的就业年龄、建立健全有关的法律法规等。模型假设1.假设此人是年初退休；2.假设年时该企业职工恰好为岁或岁；3.假设山东该企业职工在2000年到2035年无死亡情况；4.假设现阶段企业与个人的缴费比例都不变。.符号说明：职工退休时的养老金；：基础养老金；：个人账户养老金；:国家收入与支出的差值；：本人指数化月平均缴

8、费工资；： 企业和职工实际缴纳基本养老保险费的月数合计；：企业和职工实际缴纳基本养老保险费的年限；：替代率；：开始缴纳养老保险的年份：职工的死亡时的年龄：参保人员退休前年本人缴费工资额；：参保人员退休前年山东省 “职工平均工资”；：年龄为时退休养老金的计发月数。：职工工人工资缴纳到个人账户的比例为：个人账户储存额一年期存款的利率为5模型求解（一）问题一的求解图1根据附件1中的统计数据，利用MATLAB对数据进行描点，画出散点图，如图1所示：通过对图像的观察，建立山东省平均工资关于年份成指数增长模型1， （1）利用MATLAB对散点进行拟合（见图2）并求解，得出平均工资关于年份的关系式为： （2

9、） （求解过程见附件1）图2由题可知，工资水平与人均GDP相关，根据中国历年GNP和人口增长率求的从1978-2009年的人均GDP（附件3表1），而利用MATLAB对数据进行拟合，求解的出人均GNP关于年份的表达式为: （3）（求解过程见附件1）利用MATLAB进行绘图，通过对比平均工资的增长和人均GDP的增长模式相符（见图3），从而推断出模型1的假设是合理的。因此可以预测中国经济发展和工资都是成指数增长趋势；2011年-2035年山东省职工的年平均工资也是成指数增长趋势，预测到2035年。如图3所示：图3结果给出（二）问题二的求解根据附录2，利用EXCEL软件计算出2009年该企业各年龄段

10、职工的总人数及各年龄段职工年工资总额（其中：某年龄段年工资总额= 各档工资的中值×相应年龄段该档工资的人数），然后将各年龄段职工年工资总额与对应年龄段职工的总人数相比即得出各年龄段职工年工资的平均值。同理，也可以算出2009年山东省该企业的年平均工资。由题意，将各年龄段职工年工资的平均值分别与山东省该企业的年平均工资相比，得出的即是职工缴费指数的参考值。应给出缴费指数，结果。（太简单）个人账户储存额以当时公布的一年期存款利息计算，题中利息统一设定为。由题意，养老金=基础养老金+个人账户养老金，即；个人账户养老金=个人账户储存额计发月数，即；基础养老基金=（全省上年度在岗职工月平均工资

11、+本人指数化平均缴费工资）缴费年限，即本人指数化平均缴费工资因此替代率若该职工2000为30岁开始缴养老保险，一直缴费到55岁退休，此时计算出从30到55岁缴纳的个人账户养老基金，即这年龄段中每年工资的本息和的8%，30-34岁段个人账户养老金和为元；35-39岁段个人账户养老金和为17256.02379元；40-44岁段个人账户养老金和为31440.71794元；45-49岁段个人账户养老金和为57027.22061元；50-54岁段个人账户养老金和为114116.7198元；将这些年龄段累加得出个人账户养老金21020.66元，进而算出基础养老金，便可算出退休时的养老金，此时退休前工资为元

12、，最终算出此种情况的替代率为，同样地计算出30岁开始缴养老保险，一直缴费到60岁退休，此种情况的替代率为；30岁开始缴养老保险，一直缴费到65岁退休（因为附件中没有60-64岁年龄段的月平均工资，因此需要对这个年龄段的总工资，与这个年龄段的总人数分别进行二次函数拟合与一次线性函数拟合，拟合结果见附件7）得出60-64段的个人月平均工资为1259.693878，缴费指数为0.48821，此种情况的替代率为；40岁开始缴养老保险，一直缴费到55岁退休，此种情况的替代率为；40岁开始缴养老保险，一直缴费到60岁退休，此种情况的替代率为：40岁开始缴养老保险，一直缴费到65岁退休，此种情况的替代率为。

13、 （求解见附件8）（三）问题三的求解 由图3可知山东省该职工历年平均的工资，由附件2可知该职工2009年的个人平均工资，结合图2与图3，可以观察，个人的平均工资与社会平均工资的变化是呈正相关的，则有 便可求出该职工自2000年30岁时的平均工资，同理我们可以得出从2000年到2035年个人退休前的工资，如图5所示，利用图5中的数据算出六种情况的对应值，从而算出六种情况下历年的养老保险，建立收支平衡模型为：当时，不存在养老保险金的缺口情况；当时，养老金的收支达到平衡；当时，存在养老保险金的缺口情况。历年养老保险 将2000年从30岁开始缴养老保险直到（55岁，60岁，65岁）退休时对应的值代入,

14、从而得出，,;（见附件11）要使收支平衡，则令时，此时得出，约等于62年，即该职工领取养老金到岁时62岁，养老保险达到收支平衡。（四）问题四的求解措施一：退休年龄退休年龄是决定养老金负担水平的一个基本因素。在平均预期寿命和保障水平一定的情况下，提高退休年龄，不仅可以缩短平均享用养老金年限，降低养老金支付总负担，而且还可以延长职工缴纳养老保险费的期限，增加养老保险基金收入，从双向有利于实现养老基金收支的平衡。措施二：缴费工资按照国家规定，企业应以全部职工缴纳工资基数之和作为缴费基数。缴费基数的大小对社保基金收入的增减以及缴费率升降产生重要影响，在缴费比例既定的前提下，缴费基数大，基金收入数额就越

15、大。当基金收入达到一定规模的结余后，又为降低缴费比例创造了条件；反之，缴费基数小，基金收入就少，从而不利于基金收支的平衡。为了保持养老基金收支的平衡，人们又不得不提高养老保险费的征收比例。措施三：就业年龄根据我国的基本养老保险制度，则每个退休职工从岁到岁每年获得养老金和为该职工的总款额，将它折算为其在岁时初的现值为： 每个职工从岁开始工作，到岁退休。退休后养老金包括基础养老金在岁出的现值和个人人账户养老金在岁出的现值.则：根据社会养老基金“以收定支”的原则进行测算，则据此，在其他变量不变的情况下，每增大一岁，养老金的缴费年限就会减少一年，总供款额会因此减少，进入个人账户的供款额也相应减少，故个

16、人账户储存额减少，从而个人账户养老金年龄额也降低。在领取年限不变的情况下，总额款项也因此而减少。因此，推迟职工的就业年龄有利于减少养老金负担，缓解就业压力。而延长年轻人的教育年限，限制正式职工最低年龄等，都不失为推迟职工开始工作年龄的有效途径。另外，从经济发达国家的经验来看，推迟就业年龄也是符合社会经济发展的客观规律的。措施四：工资增长率由于职工缴费的指数化工资与领取的养老金均按一定的比例与工资挂钩，因此一旦工资增长，职工所缴纳与所领取的养老金也会随着整长。过去20年，我国工资增长一直较快，年平均5.7%，预计今后20年仍以3%-5%的速度增长。如此高度的增长速度，大大增加了与其挂钩的养老金负

17、担和转制成本。既然理论分析表明，养老金应首先与消费者物价指数挂钩，使其保值，那么我们就应该尽快改革现有的按工资指数话的管理方法，以相应的减轻养老金支付负担和转制成本，从而缓解养老金收支不平衡的状况。既要达到目标替代率，又要维持养老保基金的收支平衡，则可以建立 （1） （2）的模型，通过上文四项措施对（1）（2）进行优化，从而得到与的最优值。6.模型的评价优点：1.根据题目中的附件，能够提取信息，画出对应的图形，便于模型的建立与求解；2.层次清晰，解答简便，结果明了。缺点：1.没有准确的数据来调整模型的系数，使模型更加贴近现实。2.第二问仅用2009年的职工缴费指数来预测，由于仅利用一年数据来预

18、测，可能会影响预测的效果。3.模型是在理想的情况下建立了J型曲线，没考虑现实生活中存在的因素，因此模型仍存在不足，我们根据发达国家的国情，一个国家或地区的经济增长曲线大致呈一条拉平的“”型曲线。因为Logistic函数具有典型的“”型曲线特征，比较符合自然界和人类社会发展规律，因此经济增长呈“”型曲线具有很好的借鉴意义和指导价值。参考文献：黄开枝译.MATLAB7基础教程面向工程应用. 北京：清华大学出版社，2007.7姜启源,谢金星,叶俊.数学建模M。北京：高等教育出版社，2007历年国内生产总值(出自中国统计年鉴2010)，2f8c2f2a3169a4517723a3d1.html，（20

19、11年9月9日）。kexianchao，中国历年GDP数据,GDP及人均GDP增长率,通货膨胀率,人口总数,人口出生率、死亡率和自然增长率，（2011年9月9日）。吕志勇，王霞，张良。新政策下养老保险基金收支平衡精算模型的相关因素分析.山东大学学报 2009年第1期.哲学社会出版社 附 录1>> x=1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 200

20、6 2007 2008 2009 2010;>> y=566 632 745 755 769 789 985 1110 1313 1428 1782 1921 2150 2292 2601 3149 4338 5145 5809 6241 6854 7656 8772 10007 11374 12567 14332 16614 19228 22844 26404 29688 32074;>> plot(x,y,'*')2x=1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1

21、991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010;y=566 632 745 755 769 789 985 1110 1313 1428 1782 1921 2150 2292 2601 3149 4338 5145 5809 6241 6854 7656 8772 10007 11374 12567 14332 16614 19228 22844 26404 29688 32074;y=log(y');d =ones(1,size(x,

22、2);a=d;x;b = a*y;a=a*a'c=abc = -254.63000.13193x=1978:0.1:2010;>> y=exp(-254.7+0.1319*x);>> w=1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010;z=566 632 745 755 769 789

23、 985 1110 1313 1428 1782 1921 2150 2292 2601 3149 4338 5145 5809 6241 6854 7656 8772 10007 11374 12567 14332 16614 19228 22844 26404 29688 32074;>> plot(x,y,'r',w,z,'*')>> title('附件1数据拟合')>> xlabel('年份'),ylabel('元')4x=1978:1:2009;>> y=3

24、79.0823 416.4954 460.5262 488.5943 524.372 581.0764 694.1318 854.1003 955.649 1102.527 1354.352 1508.457 1637.176 1884.444 2298.971 2975.103 4014.056 4938.081 5731.111 6314.273 6654.666 7034.102 7734.218 8467.505 9271.538 10460.2 12277.04 14210.33 16548.19 20265.32 23812.05 25441.83 ;>> y=log(

25、y');d =ones(1,size(x,2);a=d;x;b = a*y;a=a*a'c=abc = -275.9364 0.14245>> x=1978:0.1:2035;>> y=exp(-254.63+0.1319*x);>> plot(x,y,'r',w,z,'*')>> w=1978:0.1:2035;>> z=exp(-275.9364+0.1424*w);>> plot(x,y,'r',w,z,'b')>> titl

26、e('GNP和平均工资增长对比图')>> xlabel('年份'),ylabel('元')61978379.08231979416.49541980460.52621981488.5943 1982524.3721983581.0764198469410031986955.69419871102.52719881354.35219891508.4571990163744419922298.97119932975.10319944014.05619954938.08119965731.

27、11119976314.27319986654.66619997034.10220007732.21820018467.50520029271.538200310460.2200412277.04200514210.33200616548.19200720265.32200823812.05200925441.837x=22 27 32 37 42 47 52 57;y=487000 546250 613500 622000 668750 634000 421000 301000;polyfit(x,y,2)ans = 1.0e+005 * -0.0088 0.6551 -5.5545x=22

28、 27 32 37 42 47 52 57;y=282 263 242 226 221 194 135 101;>> polyfit(x,y,1)ans = -4.8952 401.36198年份职工平均工资xi/ci20008988.7261.024707200110254.241.024707200211655.011.024707200312877.491.024707200414686.091.024707200518482.321.112454200621390.271.112454200725412.911.112454200829373.251.11245420093

29、3026.551.112454201039230.61.223128201146737.931.223128201253327.711.223128201360846.611.223128201469425.631.223128201585549.851.320954201697611.881.3209542017111374.61.3209542018127077.81.32095420191449951.3209542020157869.11.2605172021180127.81.2605172022205524.81.2605172023234502.61.26051720242675

30、66.11.2605172025291750.31.2046072026332885.41.2046072027379820.31.2046072028433372.71.2046072029494475.81.20460720302384780.5091732031272102.10.5091732032310466.90.5091732033354240.90.5091732034404186.80.5091732035461174.80.509173年龄段各年龄段平均工资缴费指数20-24岁职工数1726.9503550.669325-29岁职工数2076.9961980.80530-3

31、4岁职工数2535.1239670.982535-39岁职工数2752.2123891.066740-44岁职工数3026.01811.172845-49岁职工数3268.0412371.266650-54岁职工数3118.5185191.208655-59岁职工数2980.198021.15560-65岁职工数1259.6938780.488219年份社会平均工资个人年平均工资缴费指数 200087728988.7257231.02470653520011000710254.238291.02470653520021137411655.012131.02470653520031256712877.487021.02470653520041433214686.094061.02470653520051661418482.318771.11245448220061922821390.274781.11245448220072284425412.910191.11245448220082640429373.248151.11245448220092968833026.548671.11245448220103207439230.600061.223127769201138211.8134746737.930151.22312776