全国大学生数学建模竞赛

1、储油罐的变位识别与罐容表标定内容摘要生活中的数学是丰富多彩的。用数学知识来解决实际问题，既简洁又明了。在日常生活中，加油站随处可见，但其中有些设备就可以用数学知识来判定、来求证，这给我们的工作人员带来了巨大的方便，同时也提高了工作效率。比如：许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形、温度等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化，从而导致罐容表发生改变。按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。所以，本文就是通过建立数学模型来研究储油罐的变位与罐容表标定，希望我们的研究会给社会带来福音。本文内容翔实，是通过查找许多资料、图片来进行研究与学习的。可能有许多不足的地方需要改进，希望广大读

2、者勇于提出，我们会虚心接受并改进的。【关键词】：储油罐 变位 罐容表 体积形成 计算 图标一、 问题的提出通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐（图1是一种典型的储油罐尺寸及形状示意图），并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。油油浮子出油管油位探测装置注油口检查口地平线LhhR油位高度图1 储油罐正面示意图油位探针许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化，从而导致罐容表发生改

3、变（如图2）。按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定.地平线图2 储油罐纵向倾斜变位后示意图油油浮子出油管油位探测装置注油口检查口水平线 现在的一个问题是如何确定储油罐是否变位？这个问题在加油站的管理中是非常重要的。那如和确定呢？ 一般方法：先导出圆柱体的体积公式v1和球罐的体积公式v2 ,在根据附件1和附件2中的数据求出高度差H，利用储油罐的体积与高度差的函数关系式讨论出储油罐是否变位。变位时与不变位的关系用比较分析法，层次分析法，数据处理用平均数法，方差进行。二、 体积模型的导出体积公式的导出： 本章假设在储油罐没有发生变化时，当油为的高度为h时，其油的体积V。（已知参数R,L,且0h

4、2R），其油罐没有变化时油罐的模型图如下（图3） 图3为了计算方便，所有把体积分成两部分计算：模型一：1、 先计算油罐圆柱体部分的体积 V： （1）当0hR时，其圆柱体体积为v11, 图4为圆柱体横截面。 图4圆柱体横截面 图5圆的方程公式：X2+Y2=R2 设弧段函数公式为：f(x1)= AB段函数：f(x2)=h-R 由题意经分析得：A（、h-R） B(、h-R) 令： V11=L* S1截V11=L*2(h-R)+R2arccos-sin2arccos 模型二： 当R时，体积为v12,图5为圆柱截面。图5 圆柱体截面由图5，经分析可得：C D设弧CD段的的函数为： CD段函数： 所：)即

5、：V12= L*R +2(h-R)-R2arccos+sin2arccos所以有： 模型三：设球罐的体积为v2 。根据西安交通大学 理学院 王郑耀的卧式加油罐剩余体积的计算中，可以得出球罐的体积公式为：=其中（(r-H)2+R2=r2,H=1m）三、模型的建立与求解无论变位与否进出油时标值是定了的因此只研究进油或出油时的数据即可以下我们只研究进油的情况（1）、比较分析法比较数据并作出其高度差值，取出有效数据。无变位时进油倾斜时进油累加进油量/L油位高度/mm累加进油量/L油位高度/mm油位高度差50159.02747.86411.29252.27100176.14797.86423.45247

6、.31150192.59847.86438.33245.74200208.50897.86450.54242.04250223.93947.86463.90239.97300238.97997.86477.74238.77350253.661047.86489.37235.71400268.041097.79502.56234.52450282.161147.79514.69232.53500296.031197.73526.84230.81550309.691247.73538.88229.19表1600323.151297.73551.96228.81650336.441347.73564

7、.40227.96700349.571397.73576.56226.99750362.561447.73588.74226.18800375.421497.73599.56224.14850388.161547.73611.62223.46900400.791597.73623.44222.65950413.321647.73635.58222.261000425.761697.73646.28220.521050438.121747.73658.59220.471100450.401797.73670.22219.821150462.621847.73680.63218.011200474

8、.781897.73693.03218.251250486.891947.73704.67217.781300498.951997.73716.45217.501350510.972047.73727.66216.691400522.952097.73739.39216.441450534.902147.73750.90216.001500546.822197.73761.55214.731550558.722247.73773.43214.711600570.612297.73785.39214.781650582.482347.73796.04213.561700594.352397.73

9、808.27213.921750606.222447.73820.80214.581800618.092497.73832.80214.711850629.962547.73844.47214.511900641.852597.73856.29214.441950653.752647.73867.60213.852000665.672697.73880.06214.392050677.632747.73892.92215.292053.83678.542797.73904.34225.802103.83690.532847.73917.34226.812105.06690.822897.739

10、29.90239.082155.06702.852947.73941.42238.572205.06714.912997.73954.60239.692255.06727.033047.73968.09241.062305.06739.193097.73980.14240.952355.06751.423147.73992.41240.992404.98763.703197.731006.34242.642406.83764.163247.731019.07254.912456.83776.533297.731034.24257.712506.83788.993299.741035.36246

11、.37表1续 （2）层次分析法以下在同一个坐标系中作出倾斜和没有变化时的的函数图象； 图6倾斜和没有变化时的的函数图象再比较表中数据发现不管是否倾斜每次进油与前一次的差值均为50因而为了研究方便我们将初始值定为50然后按照以50为初始值50为公差中依次累计，并通过数学软件模拟出图象得到有效数据； 图7模拟进油时油位高度差与油的体积关系进一步模拟猜测其函数图象类型，则将其勾成光滑曲线。结果如下； 图8图象猜测与勾画通进参考上图并对照下表整理出有效数据；表2（3）平均数与方差法得出有效数据列表如下； 累加进油量/L100300350700850115016001950平均值850油位高度/mm24

12、7.31238.77235.71226.99223.46218.01214.78213.85平均值22736表3表中数据作以下处理 油位度差的平均值；油位高度差的方差为得到油位高度的方差为130.23 而油的体积平均值为850（4）数形结合与猜想假设假设1该变化曲线为一个反比例函数；设于是得到的图象如下 图9 假设2；该变化曲线为一个低于3次的函数；用拉格朗日插值公式进行计算拉格朗日插值公式； 于是有如下函数图象出现； 图10通与模拟出来的图象比较得到假设一成立，而变形与不变时的情况油位高度与箱内油的体积差关系应该是假设1情形，并且得到函数关系为则该油箱倾斜时油的体积与箱内油位高度为的关系式为

13、；其中r=1.6 R=1.5 H=1 L=8其表达式为此标定我们用数学软件来标定从零开始每隔一厘米做一个标定终止为300厘米于是 MATLAB提供了两种求多项式值的函数：polyval与polyvalm，它们的输入参数均为多项式系数向量P和自变量x。两者的区别在于前者是代数多项式求值，而后者是矩阵多项式求值。在此我们调用的格式为； 在此为多项式的的系数而次数由高到低依次排列没有的补0 而且x可为矩阵。 为了表示方便和直观起见我们将箱内油的油位高度起始值为1间隔为1终值为300，其书写程序如下；P= ;X=1:1:300；Polyval(p,x)总结；本次数学建模中运用到不少数学知识和计算机应用

14、，其中主要是用数学建成模型以数学为工具以计算机应技术为辅助工具，求解实际问题，其中充分体现了数学与生活的距离，数学建模使我们更加体会到生活中处处有数学，数学中处处是生活，同时在本次建模中我们团队积极合作，各抒己见。才得以如此成果。有道是合作才能发展，才能双赢。但是在建过程中发现有很多知识没有得到好的运用，同时也深感书到用时方更少。以使得在数据处理，层次分析，不胜满意，尤其是猜想假设方面因为知识的缺陷使得猜测不是理想感觉有缺陷。总之无论如何我们还是较为顺利地完成此次建模。参考文献1. 王郑耀2.3.4.5.数学建模与数学实验（第二版）.高等教育出版社.2003年6月6.数学建模方法与分析.机械工

15、业出版社.2005年6月附件1：无变位时进油倾斜时进油累加进油量/L油位高度/mm累加进油量/L油位高度/mm油位高度差50159.02747.86411.29252.27100176.14797.86423.45247.31150192.59847.86438.33245.74200208.50897.86450.54242.04250223.93947.86463.90239.97300238.97997.86477.74238.77350253.661047.86489.37235.71400268.041097.79502.56234.52450282.161147.79514.692

16、32.53500296.031197.73526.84230.81550309.691247.73538.88229.19600323.151297.73551.96228.81650336.441347.73564.40227.96700349.571397.73576.56226.99750362.561447.73588.74226.18800375.421497.73599.56224.14850388.161547.73611.62223.46900400.791597.73623.44222.65950413.321647.73635.58222.261000425.761697.

17、73646.28220.521050438.121747.73658.59220.471100450.401797.73670.22219.821150462.621847.73680.63218.011200474.781897.73693.03218.251250486.891947.73704.67217.781300498.951997.73716.45217.501350510.972047.73727.66216.691400522.952097.73739.39216.441450534.902147.73750.90216.001500546.822197.73761.5521

18、4.731550558.722247.73773.43214.711600570.612297.73785.39214.781650582.482347.73796.04213.561700594.352397.73808.27213.921750606.222447.73820.80214.581800618.092497.73832.80214.711850629.962547.73844.47214.511900641.852597.73856.29214.441950653.752647.73867.60213.852000665.672697.73880.06214.392050677.632747.73892.92215.292053.83678.542797.73904.34225.802103.83690.532847.73917.34226.812105.06690.822897.73929.90239.082155.0