多元函数微分（课堂PPT）

1、.1高数课件重庆大学数理学院 教师 吴新生 .2第八章 多元函数微分法及其应用.3.4第一节第一节 多元函数的基本概念多元函数的基本概念.5第一节 多元函数的基本概念 一、区域 1.邻域 设 是xOy平面上的一个点，是某一正数.与点 距离小于的点 的全体称为 的邻域，记为 ，即也就是000(,)P xy000(,)P xy( , )P x y0P0(, )U P00(, )U PP PP22000(, )( , )()()U Px yxxyy.62.区域 设E是平面上的一个点集，P是平面上的一个点.如果存在点P的某一邻域 使 ， 则称P为E的内点(图8-1). 如果点集E的点都是内点，则 称E

2、为开集. 如果点P的任一邻域内既有属 P 于E的点，也有不属于E的点， E 则称P为E的边界点（图8-2）. 设D是开集.如果对于D内的 图 8-1 任何两点，都可用折线连结起( )U P( )U PE.7 来,而且该折线上的点都属于D, P 则称开集D是连通的. 连通的开集称为区域或开区域. E 开区域连同它的边界一起,称 为闭区域. 图 8-23.n维空间 设n为取定的一个自然数,我们称有序n元数组 的全体为n维空间,而每个有序n元数组 称为n维空间中的一个点,数 称12( ,)nx xx12( ,)nx xxix.8为该点的第i个坐标,n维空间记为 . n维空间中两点 及 间的距离规定为

3、n12( ,)nP x xx12(,)nQ y yy2221122()()()nnPQyxyxyx.9二、多元函数概念 定义定义1 1 设设D D是平面上的一个点集是平面上的一个点集. .如果对于如果对于每个点每个点P=(x,y)D,P=(x,y)D,变量变量z z按照一定法则总有确按照一定法则总有确定的值和它对应定的值和它对应, ,则称则称z z是变量是变量x x、y y的的二元函数二元函数( (或点或点P P的函数的函数),),记为记为点集D称为该函数的定义域,x、y称为自变量,z( ,)()zfx yzfP或.10也称为因变量,数集 称为该函数的值域. 把定义1中的平面点集D换成n维空间

4、内的点集D.则可类似的定义n元函数 .当n=1时，n元函数就是一元函数.当n2时n元函数统称为多元函数. .( , ),( , )z zf x yx yD12( ,)nuf x xx.11三、多元函数的极限 二元函数 当 , ,即 时的极限.这里 表示点 以任何方式趋于 ，也就是点 与点 间的距离趋于零，即 定义定义2 2 设函数设函数f(x,y)f(x,y)在开区域（或闭区域）在开区域（或闭区域）内有定义，内有定义， 是是D D的内点或边界点如果的内点或边界点如果对于任意给定的正数对于任意给定的正数，总存在正数，总存在正数，使得，使得对于适合不等式对于适合不等式( , )zf x y0 xx

5、0yy000( , )(,)P x yP xy0PP0P0P22000()()0PPxxyy000(,)PxyPP.12的一切点的一切点P(x,y)DP(x,y)D，都有，都有成立，则称常成立，则称常A A为函数为函数f(x,y)f(x,y)当当 ， 时的极限，记作时的极限，记作或或 这里这里 . . 220000()()P Pxxyy( , )f x yA0 xx0yy0lim( , )xxf x yA( , )f x yA(0)0PP.13四、多元函数的连续性 定义定义3 3 设函数设函数f(x,y)f(x,y)在开区域在开区域( (或闭区域或闭区域)D)D内有定义，内有定义， 是是D D

6、的内点或边界点且的内点或边界点且 . .如果如果则称函数则称函数f(x,y)f(x,y)在点在点 连续连续. . 若函数f(x,y)在点 不连续，则称 为函数f(x,y)的间短点. 函数0PD0000lim ( , )(,)xxyyf x yf xy0P222222,0( , )0,xyxyxyf x yxy=0000(,)P xy000(,)P xy000(,)P xy.14当x0,y0时的极限不存在，所以点(0,0)是该函数的一个间断点. 函数在圆周 上没有定义，所以该圆周上各点都是间断点，是一条曲线. 性质性质1(1(最大值和最小值定理最大值和最小值定理) ) 在有界闭区在有界闭区域域D

7、 D上的多元连续函数，在上的多元连续函数，在D D上一定有最大值和上一定有最大值和最小值最小值. . 在D上至少有一点 及一点 ，使得 为最大值而 为最小值，即对于一切PD，有221sin1zxy221xy1P2P1()f P2()f P.15 性质性质2(2(介值定理介值定理) ) 在有界闭区域在有界闭区域D D上的多元上的多元函数，如果在函数，如果在D D上取得两个不同的函数值，则它上取得两个不同的函数值，则它在在D D上取得介于这两个值之间的任何值至少一次。上取得介于这两个值之间的任何值至少一次。 如果是函数在D上的最小值m和最大值M之间的一个数，则在D上至少有一点Q，使得f(Q)=.

8、*性质性质3(3(一致连续性定理一致连续性定理) ) 在有界闭区域上在有界闭区域上的多元连续函数必定在的多元连续函数必定在D D上一致连续上一致连续. . 若f(P)在有界闭区域D上连续，那么对于任意给定的正数，总存在正数，使得对于D上的21()( )()f Pf Pf P.16任意二点 ，只要当 时，都有成立. 一切多元初等函数在其定义区域内是连续的一切多元初等函数在其定义区域内是连续的. . 由多元初等函数的连续性，如果要求它在点 处的极限，而该点又在此函数的定义区域内，则极限值就是函数在该点函数值，即12()()f Pf P0P00lim( )()PPf Pf P12,P P12P P.

9、17第二节第二节 偏导数偏导数.18一、偏导数的定义及其计算方法 定义定义 设函数设函数 在点在点 的某的某一邻域内有定义，当一邻域内有定义，当y y固定在固定在 而而x x固定在固定在 处处有增量有增量x x 时，相应地函数有增量时，相应地函数有增量如果如果 （1 1）存在，则称此极限为函数存在，则称此极限为函数 在点在点 处对处对x x的偏导数的偏导数 ，记作，记作( , )zf x y00(,)xy0y0 x0000(,)(,)f xx yf xy00000(,)(,)limxf xx yf xyx ( , )zf x y00(,)xy.19例如，极限(1)可以表示为 (2)类似地,函数

10、函数 在点在点 对对y y的偏导的偏导数定义为数定义为 0000000,0,()xx xxx xx xy yy yy yzfzfx yxx或0000000(,)(,)(,)limxxf xx yf xyfxyx ( , )zf x y00(,)xy.20 (3)记作记作 如果函数 在区域D内每一点(x,y)处对x的偏导数都存在,那么这个偏导数就是x、y函数,它就称为函数 对自变量x的偏导函数，记作00000(,)(,)limxf xx yf xyy 0000000,0,()xx xxx xx xy yy yy yzfzfx yxx或( , )zf x y( , )zf x y.21 类似的，可

11、以定义函数z=f(x,y)对自变量y的偏导函数，记作 求 时只要把y暂时看作常量对x求导数；求 时只要把暂x时看作常量对y求导数.,( ,)xxzfzfx yxx或,( ,)yyzfzfx yyy或fxfy.22 图 8-6xyz0 x0yO0MxTyT0(, )zf xy0( ,)zf x y.23二、高阶偏导数 设函数z=f(x,y)在区域D内具有偏导数那么在D内 都是x,y的函数.如果这两个函数的偏导数也存在,则称它们是函数z=f(x,y)的二阶偏导数.按照对变量求导次序的 不同下列四个二阶偏导数：222( , ),( , )xxxyzzzzfx yfx yxxxyxx y ( , ),

12、( , )xyzzfx yfx yxy( , )( , )xyfx yfx y、222( , ),( , )xxxyzzzzfx yfx yxxxyxx y .24 二元函数z=f(x,y)在点 的偏导数有下述几何意义. 设 为曲面z=f(x,y)上的一点,过 作平面 ，截此曲面得一曲线，此曲线在平面 上的方程为 ,则导数 ，即偏导数 ,就是这曲线在点 处的切线 对x轴的斜率(见图8-6).同样偏导数 的几何意义是曲面被平面 所截得的曲线在点 处的切线 对y轴的斜率.00(,)xy00000(,(,)Mxyf xy0M0yy0yy0( ,)zf x y00( ,)df x yxxdx00(,)

13、xfxy0M0 xM T00(,)yfxy0 xx0M0 xM T.25其中第二、第三两个偏导数称为混合偏导数.同样可得三阶、四阶、以及n阶偏导数.二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数. 定理定理 如果函数如果函数z=f(x,y)z=f(x,y)的两个二阶混合偏的两个二阶混合偏导数导数 及及 在在D D内连续，那么在该区域内内连续，那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等这两个二阶混合偏导数必相等. .222( , ),( , )xxxyzzzzfx yfx yxxxyxx y 222( , ),( , )yxyyzzzzfx yfx yxyy xyyy 2zy x 2zx y .26第三节

14、第三节 全微分及其应用全微分及其应用.27第三节第三节 全微分及其应用全微分及其应用 二元函数对某个自变量的偏导数表示当另一个自变量固定时，因变量相对于该自变量的变化率.上面两式的左端分别叫做二元函数对x和对y的偏增量，而右端分别叫做二元函数对x和对y的偏微分. 设函数z=f(x,y)在点P(x,y)的某邻域内有定义，并设 为这邻域内的任意一(, )( , )( , )xf xx yf x yfx yx( ,)( , )( , )yf x yyf x yfx yy(,)P xx yy.28点，则称这两点的函数值之差为函数在点P对应于自变量增量x、y的全增量，记作z，即 定义定义 如果函数如果函

15、数z=f(x,y)z=f(x,y)在点在点(x,y)(x,y)的全增的全增量量 (1)(1)可表示为可表示为(,)( , )f xx yyf x y (,)( , )zf xx yyf x y (,)( , )zf xx yyf x y ( )zA xB yo .29其中其中A A、B B不依赖于不依赖于xx、yy而仅与而仅与x,yx,y有关，有关， ，则称函数，则称函数z=f(x,y)z=f(x,y)在点在点(x,y)(x,y)可微分，而可微分，而 称为函数称为函数z=f(x,y)z=f(x,y)在点在点(x,y)(x,y)全微分，记作全微分，记作dz,dz,即即 (2) (2) 如果函数在

16、区域D内各点处都可微分，那么称这函数在D内可微分. 下面讨论函数z=f(x,y)在点(x,y)可微分的条件. 定理定理1(1(必要条件必要条件) ) 如果函数如果函数z=f(x,y)z=f(x,y)在点在点22()()xy A xB y dzA xB y .30(x,y)(x,y)可微分，则该函数在点可微分，则该函数在点(x,y)(x,y)的偏导数的偏导数 必定存在，且函数必定存在，且函数z=f(x,y)z=f(x,y)在点在点(x,y)(x,y)的全微的全微分为分为 (3)(3) 证 设函数z=f(x,y)在点P(x,y)可微分.于是对于点P的某个邻域内的任意点 ，(2)式总成立.特别当 时

17、(2)式也应成立，这时 ，所以(2)式成为zxzyzzdzxyxy (,)P xx yyx 0y .31上式两边各除以 ，再令 而极限，就得从而，偏导数 存在，而且等于A.同样可证 =B.所以三式成立.证毕.(, )( , )()f xx yf x yAxx x0 x 0(, )( , )limxf xx yf x yAx zxzy.32 定理定理2(2(充分条件充分条件) ) 如果如果z=f(x,y)z=f(x,y)的偏导数的偏导数 在在(x,y)(x,y)连续，则函数在该点可微分连续，则函数在该点可微分. . 证 因为我们只限于讨论在某一区域内有定义的函数(对于偏导数也如此)，所以假定偏导

18、数在点P(x,y)连续，就含有偏导数在该点的某一邻域内必然存在的意思.设点 为这邻域内任意一点，考察函数的全增量zzxy、(,)xx yy(,)( , )zf xx yyf x y (,)( ,)f xx yyf x yy.33在第一个方括号内的表达式，由于y+y不变，因而可以看作是x的一元函数 的增量.于是应用拉格郎日中值定理，得到 又依假设， 在点 连续，所以上式可写为(,)( ,)f xx yyf x yy( ,)( , )f x yyf x y( ,)f x yy(,)( ,)f xx yyf x yy11(,)01xfxx yyx()( , )xfx y( , )x y.34 (4)

19、其中 为x、y的函数，且当时， . 同理可证第二个方括号内的表达式可写为 (5)其中 为y的函数，且当 时， . 由(4)、(5)两式可见，在偏导数连续的假定下，全增量z可以表示为(,)( ,)f xx yyf x yy1( , )xfx yxx 10,0 xy 102( ,)( , )( , )yf x yyf x yfx yyy 20y 20.35 容易看出它就是随着 即 而趋于零的. 这就证明了z=f(x,y)在点P(x,y)是可微分的.12( , )( , )xyzfx yxfx yyxy 1212xy 0,0 xy 0.36第四节第四节 多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则.

20、37第四节第四节 多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则 定理定理 如果函数如果函数 及及 都在点都在点t t可导，函数可导，函数z=f(u,v)z=f(u,v)在对应点在对应点(u,v)(u,v)具有连续偏具有连续偏导数，则符合函数导数，则符合函数 在在t t可导，切可导，切其导数可用下列公式计算：其导数可用下列公式计算： (1)(1) 证 设t获得增量t，这时 、 的对应增量为u 、v,由此，函数z=f(u,v)( )ut( )vt( ),( )zfttdzz duz dudtu dtv dt( )ut( )vt.38相应的获得增量z.根据规定，函数z=f(u,v)在点(u,v)具有

21、连续偏导数，于是由第三节公式(6)有这里，当 时， . 将上式两边各除以t，得因为当 ，时 ， ，12zzzuvuvuv 0,0uv 120,012zzuzvuvtutvttt 0t 0,0uv udutdt.39 ，所以 这就证明符合函数 在点t可导，且其导数可用公式(1)计算.证毕. 全微分形式不变全微分形式不变 设函数z=f(u.v)具有连续偏导数，则有全微分vdvtdt0limxzz duz dvtu dtv dt( ),( )zftt.40如果u、v又是x、y的函数 、 且这两个函数也具有连续偏导数，则复合函数 的全微分为zzdzdudvuv( , )ux y( , )vx y( ,

22、 ),( , )zfx yx yzzdzdxdyxy.41其中 及 发分别由公式(4)及(5)给出.把公式(4)及(5)中的 及 带如上式，得zxzyzxzxzyzuzvzuzvdzdxdyuxv xuyv y zuuzvvdxdydxdyuxyvxyzzdudvuv.42由此可见，无论z是自变量u、v的函数或中间变量u、v的函数，它的全微分形式是一样的.这个性质叫做全微分形式不变性.43第五节第五节 隐函数的求导公式隐函数的求导公式.44一、一个方程的情况 隐函数存在定理隐函数存在定理1 1 设函数设函数 在点在点 的某一邻域内具有连续偏导数，且的某一邻域内具有连续偏导数，且 ， ，则方程，

23、则方程 在点在点的某一邻域内恒能唯一确定一个单质来年许具的某一邻域内恒能唯一确定一个单质来年许具有连续导数的函数有连续导数的函数 , ,它满足条件它满足条件 ，并有，并有 （1 1）( , )F x y00(,)P xy00(,)0F xy00(,)0yF xy00(,)0F xy00(,)xy( )yf x00()yf xxyFdydxF .45 公式推导： 将方程 所确定的函数 代入，得恒等式其左端可以看作是x的一个复合函数，求这个函数的全导数，由于恒等式两端求导后仍然恒等，即得 由于 ，且 ，所以存在 的00(,)0F xy( )yf x( ,( )0F x f x0FF dyxy dx

24、yF00(,)0yF xy00(,)xy.46一个邻域，在这个邻域内 ，于是得 如果 的二阶偏导数也都连续，我们可以把等式(1)的两端看作x的复合偏导数而再求一次导，即得0yF xyFdydxF ( , )F x y22xxyyFFd ydydxxFyFdx.47 隐函数存在定理可以判定由方程所确定的二元函数 的存在，以及这个函数的性质。隐函数存在定理隐函数存在定理2 2 设函数设函数 在点在点 的某一邻域内具有连续的偏导数，的某一邻域内具有连续的偏导数，22xxyyxxxyyyyxxyyyF FF FF FF FFFFF2232xxyxyxyyyxyF FF F FF FF( , , )0F

25、 x y z ( , )zf x y( , , )0F x y z 000( ,)P x y z.48且且 ，则方程，则方程 在点在点 的某一邻域内恒能的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数数 ，它满足条件，它满足条件 ，并，并有有 (2)将公式(2)做如下的推导，由于 将上式两端分别对x和y求导，应用复合函数求导 000000(,)0,(,)0 xF xyzF xyz( , , )0F x y z 000(,)x y z( , )zf x y000(,)zf x y,yxzzFFzzxFyF ( , ,( , )0F x y f x

26、 y.49法则得因为 连续，且 ，所以存在点 的一个邻域，在这个邻域内 ，于是得0,0 xzyzzzFFFFxyzF000(,)0zF xyz000(,)xyz0zF ,yxzzFFzzxFyF .50二、方程组的情况 考虑方程组 (5)在四个变量中，一般只能有两个变量独立化，因此方程组(5)就有可能确定两个二元函数.这种情形下我们可以由函数F、G的性质来断定方程组(5)所确定的两个二元函数的存在，以及它们的性质.( , , , )0( , , , )0F x y u vG x y u v.51 隐函数存在定理隐函数存在定理3 3 设设 以及以及 在点在点 的某一邻域内的某一邻域内具有对各个变

27、量的连续偏导数，又具有对各个变量的连续偏导数，又 、 ，且，且 偏导数所组成的函数行列式偏导数所组成的函数行列式 ( (或称雅可比或称雅可比(Jacobi)(Jacobi)行列式行列式) )：( , , , )F x y u v( , , , )G x y u v0000(,)P xy u v0000(,)0F xy u v0000(,)0G xy u v(,)( , )FFF GuvJGGu vuv.52在点在点 不等于零，则方程组不等于零，则方程组 、 在点在点 的某一邻域内恒能唯一确定一组的某一邻域内恒能唯一确定一组单值连续且具有连续偏导数的函数单值连续且具有连续偏导数的函数 ， ，它们

28、满足条件，它们满足条件 ， ，并有，并有0000(,)P xy u v0000(,)0F xy u v0000(,)0G xy u v0000(,)xy u v( , )uu x y( , )vv x y000(,)uu xy000(,)vv xy1(,)( , )xvxvuvuvFFGGuF GFFxJx uGG .53 (6)1(,)( , )uxuxuvuvFFGGuF GFFxJu xGG 1(,)( , )yvyvuvuvFFGGuF GFFyJy vGG .54 下面仅就公式(6)做如下推导. 由于1( ,)( , )uyuyuvuvFFGGuF GFFyJu yGG , , (

29、, ), ( , )0F x y u x y v x y, , ( , ), ( , )0G x y u x y v x y.55将恒等式两边分别对x求导，应用复合函数求导法则得这是关于 的线性方程组，由假设可知在点 的一个邻域，系数行列式00 xuvxuvuvFFFxxuvGGGxx,uvxx0000(,)P xy u v0uvuvFFJGG.56从而可解出 ，得 同理，可得 ,uvxx1( ,)1( ,),( , )( , )uF GvF GxJx vxJu x 1( ,)1( ,),( , )( , )uF GvF GyJy vyJu y .57第六节第六节 微分法在几何上的应用微分法在

30、几何上的应用.58一、空间曲线的切线与法平面 设空间曲线的参数方程 (1)这里假定(1)式的三个函数都可导. 在曲线上取对应与 的一点及对应于 的邻近一点 .根据解析几何，曲线的割线 的方程是 ( ),( ),( )xtytzt0tt000(,)M xyz0ttt000(,)M xx yy zzMM000 xxyyzzxyz.59当 沿着趋于 ，时割线 的极限位置 就是曲线在点 处的切线(图8-7).用t除上式的各分母，得 令 (这t0)， 通过对上式取极限，即得 图 8-7 曲线在点 处的切线方程MMMMTMzMMMM000 xxyyzzxyztttzxyMTM O.60 这里当要假定 都不

31、能为零. 切线的方向向量称为曲线的切向量.向量就是曲线通过在点 处的一个切向量. 点通过 而与切线垂直的平面称为曲线在000000( )( )( )xxyyzztttz000( )( )( )ttt、000( ),( ),( )TtttMM.61点 处的法平面，它是通过点 而以T为法向量的平面，因此这法平面的方程为zM000(,)M xyz000000( )()( )()( )()0txxtyytzz.62二、曲面的切平面与法线 我们先讨论由隐式给出曲面方程的情形，然后把显式给出的曲面方程z=f(x,y)作为它的特殊情形. 设曲面由方程(9)给出， 是曲面上的一点，并设函数 的偏导数在该点连续

32、且不同时为零.在曲线上，通过点M引一条曲线(图8-8)，假定曲线的参数方程为z( , , )0F x y z 000(,)M xyz( , , )F x y z.63程为 (10) 对应于点 且 ， ， 不全为 零，则由(2)式可得这 曲线的切线方程为 图 8-8 ( ),( ),( )xtytztzzxyOMTn0tt000(,)M xyz0( )t0( )t0( )t000000( )( )( )xxyyzzttt.64 引入向量 则表示(10)在点M处的切向量 z000000000(,),(,),(,)xyzF xyzF xyzF xyz0000000(,)( )(,)( )xyF xy

33、 ztF xy zt000(,)( )0zF xy zt0( ),( ),( )Tttt.65与向量n垂直.因为曲线(10)是曲面上通过点M的任意一条曲线，它们在点M的切线都与同一个向量n垂直，所以曲面上通过点M的一切曲线在点M的切线都在同一个平面上.这个平面称为曲面在点M的切平面.这切平面的方程是 (12) 通过点 而垂直于切平面(12)的直线称为曲面在该点的法线.法线方程是z00000000(,)()(,)()xyF xyzxxF xyzyy0000(,)()0zF xyzzz000(,)M xyz.66 垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量.向量就是曲面在点M处的一个法向量.z000

34、000000000()()()(,)(,)(,)xyzxxyyzzF xyzF xyzF xyz000000000(,),(,),(,)xyzF xyzF xyzF xyz.67第七节第七节 方向导数与梯度方向导数与梯度.68第七节 方向导数与梯度 一、方向导数 设函数z=f(x,y)在P(x,y)的某一邻域U(P)内有定义.自点P引射线.设x轴正向到射线 的转角为 ，并设 为 上的另一点(图8-9)且 .我们考虑函数的增量 与 两点间的距离 的比值 .当 沿着 趋于 时，如果这个比的极限存在，则称这极ll(,)P xx yyl( )PU P(,)( , )f xx yyf x yPP、22(

35、)()xy PlP.69 限为函数f(x,y)在点P沿 方向 的方向导数，记 作 ，即 图 8-9lyOxyPxPlfl0(,)( , )limff xx yyf x yl.70 定理定理 如果函数如果函数z=f(x,y)z=f(x,y)在点在点P(x,y)P(x,y)是可微是可微分的，那么函数在该点沿任一方向的导数都存分的，那么函数在该点沿任一方向的导数都存在且有在且有其中其中 为为x x轴到方向轴到方向 的转角的转角. . 证证 根据函数z=f(x,y)在点P(x,y)是可微分的假定，函数的增量可以表达为cossinffflxyl(,)( , )( )fff xx yyf x yxyoxy

36、 .71两边各除以 ，得到所以 (,)( , )f xx yyf x y( )fxfyoxy ( )cossinffoxy.72这就证明了方向导数存在且其值为0(,)( , )limf xx yyf x ycossinffxycossinffflxy.73 对于三元函数u=f(x,y,z)来说，它在空间一点P(x,y,z)沿着 (设方向 的方向为)的方向导数，同样可以定义为其中 ， 同样可以证明，如果函数在所考虑的点处可微分，那么函数在该点沿着方向 的方向导数ll、 、0(,)( , , )limff xx yy zzf x y zl222()()()xyz cos ,x cos,cos .y

37、z l.74为coscoscosfffflxyz.75二、梯度 在二元函数的情形，设函数z=f(x,y)在平面区域D内具有一阶连续偏导数，则对于每一点P(x,y)D，都可以定出一个向量这向量称为函数z=f(x,y)在点P(x,y)的梯度，记作 ，即ffijxygrad ( , )f x ygrad ( , )fff x yijxy.76 函数在某点的梯度是这样一个向量，它的方向与取得最大方向导数的方向一致，而它的模为方向导数的最大值. 由梯度的定义可知，梯度的模为 一般来说二元函数z=f(x,y)在几何上表示一个曲面，这曲面被平面z=c(c是常数)所截得的曲线L的方程为22grad ( , )

38、fff x yxy.77 这条曲线 在xOy面 的投影是一条平面曲 线 (图8-10)，它 在xOy平面直角坐标 系中的方程为 图 8-10( , )zf x yzcyOxgrad ( , )f x y1( , )f x yc( , )f x yc2( , )f x yc*LL*L( , )f x yc.78对于曲线 上的一切点，已给函数的函数值都是c，所以我们称平面曲线 为函数z=f(x,y)的等高线. 由于等高线f(x,y)=c上任一点P(x,y)处的法线斜率为所以梯度*L11xyxyfdyffdxf *Lffijxy.79为等高线上点P处的法向量.因此我们可得梯度与等高线的下述关系：函数

39、z=f(x,y)在点P(x,y)的梯度方向与过点P的等高线f(x,y)=c在这点的法线的一个方向相同，且从数值较低的等高线指向数值较高的等高线，而梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导数.这个法线方向就是方向导数取得最大值的方向. 对于三元函数来说，函数u=f(x,y,z)在空间区域G内具有一阶连续偏导数，则对每一点 ，都可定出一个向量( , , )P x y zG.80这向量称为函数u=f(x,y,z)在点P(x,y,z)的梯度，将它记作 ，即 如果我们引进曲面fffijkxyzgrad ( , , )f x y zgrad ( , )ffff x yijkxyz( , , )f x y z

40、c.81为函数u=f(x,y,z)的等量面的概念，则可得函数u=f(x,y,z)在点P(x,y,z)的梯度的方向与过点P的等量面f(x,y,z)=c在这点的法线的一个方向相同，且从数值较低的等量面指向数值较高的等量面，而梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导数.82第八节第八节 多元函数的极值及其求法多元函数的极值及其求法.83第八节 多元函数的极值及其求法 一、多元函数的极值及最大值、最小值 定义定义 设函数设函数 在点在点 的的某个邻域内有定义，对于该邻域内异于某个邻域内有定义，对于该邻域内异于 的点的点 ：如果都适合不等式：如果都适合不等式则称函数在点则称函数在点 有有极大值极大值 ；如

41、；如果都适合不等式果都适合不等式( , )zf x y00(,)xy00(,)xy( , )x y00( , )(,)f x yf xy00(,)xy00(,)f xy.84则称函数在点则称函数在点 有有极小值极小值 . .极大极大值、极小值统称为值、极小值统称为极值极值. .使函数取得极值的点称使函数取得极值的点称为为极值点极值点. . 以上关于二元函数的极值概念，可推广到n 元函数.设n元函数 在点 的某一邻域内有定义，如果对于该邻域内有异于 的任何点 都不适合不等式 00( , )(,)f x yf xy00(,)xy00(,)f xy( )uf P0P0PP.85则称函数 在点 有极大

42、值(极小值) . 定理定理1(1(必要条件必要条件) ) 设函数设函数 在在点点 具有偏导数，且在点具有偏导数，且在点 处有极处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：值，则它在该点的偏导数必然为零： 证证 不妨设 在点 处有极大值.依极大值的定义，在 的某邻00( )()( ( )()f Pf Pf Pf P( )f P0P0()f P( , )zf x y00(,)xy00(,)xy0000(,)0,(,)0 xyfxyfxy( , )zf x y00(,)xy00(,)xy.86域内异于 的点 都适合不等式特殊地，该邻域内取 而 的点，也应合适不等式这表明一元函数 在 处取得极大值，因而必有

43、 ( , )x y00(,)xy00( , )(,)f x yf xy0yy0 xx000( ,)(,)f x yf xy0( ,)f x y0 xx00(,)0 xfxy.87类似地可证 如果三元函数 在点 具有偏导数，则它在点 具有极值的必要条件为 定理定理2(2(充分条件充分条件) ) 设函数设函数 在在00(,)0yfxy( , , )uf x y z000(,)xyz000(,)xyz000000000(,)0,(,)0,(,)0 xyzfxyzfxyzfxyz( , )zf x y.88点点 的某邻域内连续且具有的某邻域内连续且具有 一阶及二阶一阶及二阶连续偏导数，又连续偏导数，又

44、 ， ，令，令则则 在在 处是否取得极值的条件如处是否取得极值的条件如下：下： (1) (1) 时具有极值，且当时具有极值，且当 时有极大值，当时有极大值，当 时有极小值；时有极小值； (2) (2) 时没有极值；时没有极值； (3) (3) 时可能有极值，也可能没时可能有极值，也可能没00(,)xy00(,)0 xfxy00(,)0yfxy000000(,),(,),(,)xxxyyyfxyAfxyBfxyC( , )f x y00(,)xy20ACB0A0A20ACB20ACB.89有极值，还需另作讨论有极值，还需另作讨论. . 二阶连续偏导数的函数 的极值的求法叙述如下： 第一步 解方程

45、组求得一切实数解，即可求得一切驻点. 第二步 对于每一个驻点 ，求出二阶偏导数的值 和 . 第三步 定出 的符号，按定理2的( , )zf x y( , )0,( , )0 xyfx yfx y00(,)xyAB、C2ACB.90结论判定 是否是极值、是极大值还是极小值.0( ,)f x y.91二、条件极值 拉格朗日乘数法 上面所讨论的极值问题，对于函数的自变量，除了限制在函数的定义域以外，并无其他条件，所以有时候称为无条件极值.但在实际问题中，有时会遇到对函数的自变量还有附加条件的极值问题. 例如，求表面积为 而体积为最大的长方体的体积问题.设长方体的三棱的长为 还必须满足附加条件 .象这

46、种对自变量有附加条件的极值称为条件极值.2a, ,x y z22()xyyzxza.92 对于有些实际问题，可以把条件极值化为无条件极值，然后利用第一目中的方法加以解决.例如上述问题，可由条件 ，将z表示成x,y的函数再把它代入 中，于是问题就化为求222()axyzxyVxyz22()xyyzxza2222()xyaxyVxy.93的无条件极值. 但在很多情形下，将条件极值化为无条件极值并不这样简单.我们另有一种直接寻求条件极值的方法，可以不必先把问题化到无条件极值的问题. 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法 要找函数 在附加条件 下的可能极值点，可以先构成辅助函数其中 为某一常数.求其对x与y的

47、一阶偏导数，( , )zf x y( , )0 x y( , )( , )( , )F x yf x yx y.94并使之为零，然后与方程 联立起来：由这方程组解出 及 ，则其中 就是函数 在附加条件 下的可能极值点的坐标. ( , )0 x y( , )( , )0( , )( , )0( , )0 xxyyfx yx yfx yx yx y( , )f x y( , )0 x y, x y, x y.95第八章结束第八章结束.96总习题总习题 八八1.在“充分”、“必要”和“充分”三者中选择一个正 确的填入下列空格内： （1） 在点 可微分是 在该点连续的 充分 条件. 在点连续是 在该点

48、可微分的 必要 条件. （2） 在点 的偏导数 及 存在是 在该点可微分的 必要 ( ,)f x y( ,)x y( ,)f x y( ,)f x y( ,)x y( ,)f x y( ,)zf x y( ,)x yzxzy( ,)f x y.97条件. 在点 可微分是函数在该点的偏导数 及 存在的 充分 条件. （3） 的偏导数 及 在点 存在且连续是 在该点可微分的 充分 条件. （4）函数 的两个二阶混合偏导数 及 在区域D内连续是这两个二阶( ,)zf x y( ,)x yzxzy( ,)zf x yzxzy( ,)x y( ,)f x y( ,)zf x y2zx y 2zy x .

49、98混合偏导数在D内相等的 充分 条件.2.求函数 的定义 域，并求 .3.证明极限 不存在.120lim( ,)xyf x y2224( ,)ln(1)xyf x yxy22400limxyxyxy.994.设求 及 .5.求下列函数的一阶和二阶偏导数：2222222,0( ,)0,0 x yxyxyf x yxy( ,)xfx y( ,)yfx y2(1)ln()zxy(2)yzx.1006.求函数 当 时的全增量和全微分.7.设 证明： 在点(0,0)处连续且偏导数存在，但不可微分. 2222223/222,0()( , )0,0 x yxyxyf x yxy 0.03y2,1,0.01

50、,xyx22xyzxy( ,)f x y.1018.设 ，而 都是可微函数，求 .9.设 具有连续偏导数，而求 .10.设 ，其中f具有连续的二阶偏导数，求 . ,uvwdudt( ),( )xtytyux( , ,)zf u v w,zzz( , ,),yzf u x yuxe2zx y .10211.设 试求 和 .12.求螺旋线在点 处的切线及法平面方程.13.在曲面 上求一点，使这点处的法线垂直于平面 ，并写出这法线的方程.cos ,sin ,.uuxev yev zuvzxzycos ,sin,xayazb( ,0,0)azxy290 xyz.10314.设x轴正向到方向 的转角为

51、，求函数在点(1,1)沿方向 的方向导数，并分别确定转角 ，使这导数有(1)最大值，(2)最小值，(3)等于0.15.求函数 在椭球面上点 处沿外法线方向的方向导数.l22( ,)f x yxxyyl222uxyz2221xyzabc0000(,)Mxyz.10416.求平面 和柱面的交线上与xOy平面距离最短的点.17.在第一卦限内做椭球面的切平面，使该切平面与三坐标面所围成的四面体的体积最小.求着切平面的切点，并求此最小体积.221xy1345xyz2221xyzabc.105解：解：求定义域 需满足即 需满足( , )x y222224010ln(1)0 xyxyxy( , )x y22

52、222401011xyxyxy( , )x yD.106而 是D的一个内点.2224( , )ln(1)xyf x yxy222( , ) 40,01Dx yxyxy1,0212012lim( , ),032ln4xyf x yf.107解：解： 设当 时， 沿 的方向趋近于零显然，该极限随k的 不同而改变.0 x y22242420000limlimxxyyxykxxyxk x12ykx242400lim(1)1xykxkkxk.108解：解：当当 , ,显然显然 . .当当 , ,(, )( , )( , )limxxf xx yf x yfx yx 220 xy0 xf 220 xyxy

53、xyxyxxyxxfxx2222220)()(lim.1092222222220()()()lim()()xxxyxyxy xxyxxyxyx 2222222222220()()()()lim()()xxxxxxyxyy xyxxxxyxy 2223)(2yxxy.110同理同理当当 , ,显然显然 . .当当 , ,220 xy220 xy0yf 222222)()(yxyxxfy.111解：解：21xZxy22yxyZy22)(1yxZxx222()xyyxyZZxy222222)(22)(22)(2yxyxyxyyyxZyy.112解：解：1yxZyxxxZyyln2) 1(yxxxyy

54、Z11lnyyxyyxZZxyxx2)(lnxxZyyy.113解：解：全增量) 1 , 2()03. 1 ,01. 2(ffZ3203. 101. 203. 101. 2222222322222)()()2()(yxyxyyxxxyyxyZx2222322222)()()2()(yxxyxyxxyyyxxZy.11422210 010 030 03xxyxyydzZ.Z.115证明: 显然 时, 有(0 0)0f，, 022( ,)( ,)x yx yxy22222332222221 ()04()()x yxyxyxy.11621212241)(41yx处处连连续续在在)0 , 0(),(y

55、xf000lim)0 , 0()0 ,0(lim00 xxfxfxx又又0)0 , 0(xf0)0 , 0(yf同理：同理：.117(0,0)即即在在处处，偏偏导导存存在在yfxfZyx)0 , 0()0 , 0(而而0)0 , 0()0 ,0(fyxf232222)(yxyx222002200)(limlimyxyxyxZyxyx又又：.118若令若令 沿沿 方向趋近于方向趋近于0 xkyy22242222220000limlim()(1)xxyy k xxykxxykx 则则222(1)kk.119解解: xydudxdyuudtdtdt)( ln)( 1txxtyxyy.120解解: v

56、wvwzvwZZZZ uwuwzuwZZZZuuvzuvZZZZ .121解解: yuxuxZufffefxx2( )yyyyuuuuyxuxyZe ffxefefxefx y uyxyxuyuyyuuyfeffxefefxe 2.122解解: cos ,sinyuxev yevxyarctgvyxu),ln(2122ZZuZvxuxvx222222()1 ( )yxxvuyxyx.123 2222yxuyvyxxueuuvv)sincos(uevvvuyZ)sincos(同同理理：.124解解: sin ,cos ,xayaZb 0)0 , 0 ,(对对应应的的而而点点 a, 0baT 0b

57、yaZax切切线线方方程程为为0bZay法法平平面面方方程程为为：.125解解: 00000(,), 1Zxyxyzyxn设设曲曲面面上上这这点点为为113100 xy由由题题意意得得：33, 1000Zxy133113) 3 , 1, 3(Zyx法法线线方方程程为为：这这点点为为.126解解: cossinlfffxysin)2(cos)2(xyyx)4cos(2sincos11），（fl即即：24时，有最大值时，有最大值（1）当（1）当245时时，有有最最小小值值（2 2）当当时，值为0时，值为04 47 7（3）当（3）当.127解解: ( , , )(coscoscos )x y zx

58、yzuuuun)cos2cos2cos2000zyx)2,2,2(),(,1222222222czbyaxFFFnczbyaxFzyx则则令令.128 )2,2,2(202020),(000czbyaxnzyx则则420420420204204204202022cosczbyaxaxczbyaxax4204204202042042042020cos,cosczbyaxazczbyaxay.129 420420420220220220),(222000czbyaxczbyaxnuzyx.130解解: 221xy由由题题意意得得，就就是是要要在在的的条条件件下下有有最最小小值值使使)431 (5y

59、xZ得得：令令0)1 ()431 (522fffyxyxfyx由由010245023522yxyx.131 最短点最短点与面与面为为xoyZyx)1235,53,54(123553,54,2425.132解解: 000000000222(,)222()()()()()()0 xyzxyzxxyyzzabc设设切切点点, ,则则切切平平面面方方程程为为), 0 , 0);0 , 0);0 , 0 ,0)()()(020202020020020zcybxazzazyybyxxax（：则与三点坐标轴交点为则与三点坐标轴交点为即即.133 2220001,6a b cUx y z即为最小值即为最小值则

60、有则有, ,设设令令0)1 (61000202020000222ffffczbyaxzyxcbafzyx.134 102161021610181220220220202200022220220002222022000222czbyaxczzyxcbabyyzxcbaaxxzycba.135 abccbaabcczbyax3),3,3,3(343,3,3,3000极值为极值为所求点为所求点为解得：解得：.136习习 题题 8-18-11.已知函数 试 求 .2.试证函数 满足关系式.3.以知函数 ，试求 .22( , )tanxf x yxyxyy(,)f tx ty(,)( , )( , )(