必修四第二章 平面向量 第三讲 向量的坐标表示1 平面向量基本定理（学案含答案）

1、.高中数学平面向量根本定理一、考点打破知识点课标要求题型说明平面向量根本定理1. 理解平面向量根本定理及其意义；2. 理解基底的含义；3. 会用任意一组基底表示指定的向量；4. 能应用平面向量根本定理解决一些实际问题选择填空平面向量根本定理表达了平面内向量的“统一思想，是向量坐标表示的根底，注意认真掌握二、重难点提示重点：平面向量根本定理及其意义；难点：平面向量根本定理的应用。考点一：基底的概念基底：不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。【要点诠释】1. 对基底的理解基底的特征基底具备两个主要特征：基底是两个不共线向量；基底的选择是不唯一的，平面内两向量不共线是这两个向量

2、可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件。2. 零向量与任意向量共线，故不能作为基底。考点二：平面向量根本定理定理：假如e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2。其中当e1，e2所在直线互相垂直时，这种分解也称为向量a的正交分解。【难点剖析】准确理解平面向量根本定理1平面向量根本定理的本质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的。2平面向量根本定理中，实数1、2的唯一性是相对于基底e1，e2而言的，平面内任意两个不共线的向量都可以作为基底，一旦选定一组基底，那么给定向量

3、沿着基底的分解是唯一的。3平面向量根本定理提醒了平面向量的根本构造，即同一平面内任意三个向量之间的关系是：其中任意一个向量都可以作为其他两个不共线的向量的线性组合。【核心打破】关于基底的一个结论设e1，e2是平面内的一组基底，当0时，恒有120。注意：这个结论很有用，可以实现向量向代数值的转化。【随堂练习】向量e1，e2不共线，实数x，y满足3x4ye12x3ye26e13e2，那么xy的值为_。思路分析：利用结论：“假设e1，e2是平面内的一组基底，当0时，恒有120解决。答案：33x4ye12x3ye26e13e2，且e1，e2不共线，解得xy633。技巧点拨：向量是数形结合的知识交汇，注

4、意掌握从向量向代数转化的这个重要结论：“设e1，e2是平面内的一组基底，当0时，恒有120。例题1 用基底表示向量如下图，以向量a，b为邻边作AOBD，又，用a，b表示，。思路分析：，再将各量转化为，。答案：ab，ab，又ab，ab，ababab。技巧点拨：1. 假设题目中已给出了基底，求解此类问题时，常利用向量加法三角形法那么或平行四边形法那么，结合数乘运算，找到所求向量与基底的关系。2. 假设题目中没有给出基底，常结合条件先寻找一组从同一点出发的两不共线向量作为基底，而后用上述方法求解。例题2 平面向量根本定理的应用如图，在OAB中，延长BA到C，使ABAC，D是将分成21的一个分点靠近B

5、点，DC和OA交于点E，设a，b，1用a，b表示向量，；2假设，务实数的值。思路分析：1由题意可知A是BC的中点，利用平行四边形法那么求，利用三角形法那么求；2利用C，D，E三点共线，结合共线向量定理求解。答案：1A为BC中点，2ab；2abb2ab，2设，那么a2ab2ab，与共线，存在实数m，使得，即2abm2ab，即2m2a1mb0，a，b不共线且为非零向量，解得。技巧点拨：1. 此类问题要结合图形条件与所求证的问题，寻求解题思路。此题充分利用三点共线，即共线向量定理，共面向量定理，建立方程组求解，同时要恰中选择基底简化运算。2. 应用平面向量根本定理来证明平面几何问题的一般方法是：先选取一组基底，再根据几何图形的特征应用向量的有关知识解题。【例证】用向量法证明三角形的三条中线交于同一点。思路分析：令ABC的中线AD与中线BE交于点G1，中线AD与CF交于点G2，利用向量说明G1与G2重合，证得三条中线交于一点。答案：如图，AD，BE，CF是ABC的三条中线。令a，b，那么ab，ab，ab，令AD与BE交于点G1，并假设，那么有ab，ab，1a1b，由此可得，再令AD与CF相交于G2，同样的方法可得AD，G1与G2重合，即AD，BE，CF相交于同一点，三角形三条中线交于一点。技巧点拨：向量方法证明三线共点的