二项式定理及应用

1、二项式定理及应用授课人：_时间：_ 编号_教学目标（1）掌握二项式定理和二项展开式的性质（2）能利用二项展开式的通项公式求二项式的指数、求满足条件的项或系数（3）能利用二项式系数的性质求多项式系数的和与求一些组合数的和教学重点二项式定理，二项展开式的通项公式，二项式系数及二项式系数和。命题方向二项式定理是高中数学的重点内容，也是高考每年必考内容，新高考会继续考察。考察形式：单独的考题会以选择题、填空题的形式出现（一）基础知识1二项式定理： 2二项展开式的性质： （1）在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数 （2）若是偶数，则 的二项式系数最大；若是奇数，则的二项式系数 最大（3

2、）所有二项式系数的和等于 （4）奇数项的二项式系数的和与偶数项的二项式系数的和 （二）课前热身1设二项式的展开式的各项系数的和为，所有二项式系数的和为，若，则（） 4 5 6 82当且时，（其中,且），则的值为 （ ） 0 1 2 与有关3在的展开式中常数项是；中间项是4在的展开式中，有理项的项数为第3，6，9项5求展开式里的系数为-1686在的展开式中，的系数是的系数与的系数的等差中项，若实数，那么（三）典型例题例1：（1）在的展开式中，的幂的指数是2的整数次幂的项共有 A3项 B4项 C5项 D6项 解析：本题主要考查二项式展开通项公式的有关知识；解：（1），当r0，3，6，9，12，15

3、，18，21，24时，x的指数分别是24，20，16，12，8，4，0，4，8，其中16，8，4，0，8均为2的整数次幂，故选C；（2）在的展开式中，求的系数（即含的项的系数）解：法一：展开 法二： 法三：利用排列组合知识变式：（1）在的展开式中，求的系数。（2）求的展开式中的常数项。（3）求的展开式中的系数。解:（1）原式=,展开式中的系数为（2）=，展开式中的常数项（3）方法一：原式= 的系数为。方法二：展开式中的系数为：题后启示：该题考查了利用二项式定理求多项式的和或积的展开式特定项的系数例2：（1）求展开式中系数最大项（2）求展开式中系数最大项解：(1)设第项系数最大，则有，即，即，且

4、，所以系数最大项为(2)展开式共有8项，系数最大项必为正项，即在第一、三、五、七这四项中取得，故系数最大项必在中间或偏右，故只需比较和两项系数大小即可又因为，所以系数最大的项是第五项为例3（1）证明能被整除()（2）求 （精确到0.001的近似值）（四）课堂练习1、的展开式中的系数是（ B ） A B C3 D4 2、设则中奇数的个数为（A ） A2 B3 C4D53、（x-）12展开式中的常数项为C（A）-1320（B）1320（C）-220 (D)2204、 展开式中的常数项为 DA1 B46 C4245 D42465、在的展开式中，含的项的系数是A （A）-15 （B）85 （C）-12

5、0 （D）2746、如果的展开式中含有非零常数项，则正整数的最小值为（B） 356107、已知展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为，则等于（C）8、在（x）2006 的二项展开式中，含x的奇次幂的项之和为S，当x时，S等于（B ）A. B.- C. D.- 9、若多项式 ( D )(A)9 (B)10 (C)-9 (D)-1010、已知的展开式中第三项与第五项的系数之比为,其中=1，则展开式中常数项是 ( D)(A)45i (B) 45i (C) 45 (D)4511、展开式中的系数为_12、若(x-2)5=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,则a1+a2+a3

6、+a4+a5=_31_13、已知（是正整数）的展开式中，的系数小于120，则 114、已知的展开式中没有常数项，且2n8，则n=_5 15、若的展开式中含有常数项,则最小的正整数n等于 16、已知,则( 的值等于 -256 17、展开式中含的整数次幂的项的系数之和为（用数字作答）18、若的展开式中的系数是-80,则实数的值是 -2 19、（2012年教学参考书）的二项展开式中，整数项共有_项20、设，若展开式中关于的一次项系数和为11，试问为何值时，含项的系数取得最小值解：由题意知，即，又展开式中含项的系数，当或时，含项的系数最小，最小值为此时；或21、设展开式中第2项的系数与第4项的系数的比为4：45，试求项的系数解：第项，即， 或（舍负）令，即，项的系数（五）高考真题检测1（2015年全国新课标）的展开式中，的系数为2. (2015年全国新课标) 的展开式中的奇数次幂的系数之和为32，则3. (2015年北京卷) 在的展开式中，的系数为4.（2015年湖南卷）已知的展开式中含有的项的系数为30，则5（15年广东理科）在的展开式中，的系数为 6（15年福建理科） 的展开式中，的系数等于 7（15年陕