用于求解某些变系数非线性微变分方程的变换假设法

1、用于求解某些变系数非线性偏微分方程的变换假设法马双双周宇斌兰州大学数学与统计学院,甘肃兰州(731000)关键词：变换假设方法,变系数非线性Schr¨odinger方程,变系数Sine-Gorden方程.中图分类号：O24计算数学1引言在本论文中,我们主要讨论变系数非线性偏微分方程的求解.与多数致力于求解变系数方程的工作不同的地方在于,我们这篇文章研究的是变系数不仅仅局限于空间相关,或是局限于时间相关,而是研究与空间与时间同时相关的变系数非线性偏微分方程.对这种方程,我们首先构造一种自变量变换,然后在变换的基础上做出合理的变系数假设,从而将变系数偏微分方程化为常系数常微分方程组.这样

2、,我们若得到常微分方程的解就可以得到变系数偏微分方程的解.1.1非线性方程变系数的由来与研究现状在我们建立如物理模型、化学模型、生物学模型等等实际模型的过程中,多种量之间的复杂作用产生1无论是以离散模式3-5出现还是以连续模式(2,6-12)出现,变系数非线性微分方程引起了越来越多的注意,并且通过不同的研究我们对多种变系数方程有了许多已知结果.pn+1pn=npn+n.1+(pn)m与此同时,对连续模式的变系数方程的研究也是很广泛的.在文献2中,作者得到了变系数非线性Schr¨odinger方程Iux+p(x)utt+q(x)u|u|2=0,ut+(t)uux+(t)u2ux+uxx

3、x+(t)uxyy=01.2关于非线性常微分方程的一些求解方法简介F(v(),v() ,v() ,···)=0.拟设v()的形式为v()=其中()满足如下形式的Jacobi椭圆方程() m=i=ni=0i=N i=0(1.1)ai()i,qi()i,(1.2)qi(i=0,1,2,···,n)为任意实常数.当n2m时,Jacobi椭圆方程(1.2)的解无分叉情况,当n>2m时,Jacobi椭圆方程(1.2)存在分叉解.多数文献采用m=2,n=4,q1=q3=0的情况.当q0,q2,q4满足一定的关系时,我们可以得到以Jacobi

4、椭圆函数表示的辅助函数().由齐次平衡原则17,我们可以确定出N的值.将方程(1.2)与v()=Ni=0ai()i代入方程(1.1),令()i() j(i,j均为整数)的系数为0,从而得到关于ai的若干方程.求解这些方程得到ai,从而我们就由Ni=0v()=ai()i得到v().需要说明的是,本篇论文的重点在于提出变系数方程的处理方法,而并非在于求出变系数方程（也就是对应的常微分方程）所有的解,所以我们在文章中所求得的解并非所有的解.3L(u,x, )=0,B(u, )=0,那么对小的参数值 ,我们可以假设有u(x, )的近似式为u(x, )=u0(x)+ u1(x)+ 2u2(x)+

5、3;··1.3论文的主要结构本文如下组织：第2节将用一个一般变系数方程来大致说明我们提出的变换假设法.第3节,第4节分别对有实际物理背景的两个变系数非线性方程,源于非线性光学的非线性变系数Schr¨odinger方程、与描述稳态脉冲形成过程的变系数Sine-Gorden方程,进行求解.第5节对上述两节所得到的结论作出了总结,并加入了关于论文所提出方法的一些讨论.2变换假设法的描述在这一节中,我们利用一个一般变系数非线性方程来说明我们的处理方法.不失一般性,我们假定方程具有两个自变量：空间变量x,时间变量t,并且不妨假定方程有一个变系数p(x,t),方程形式即为F(

6、u,ut,ux,···,p(x,t)=0.利用如下五个步骤我们来求解这个变系数方程.4(2.1)1.将非线性偏微分方程(2.1)变换为非线性常微分方程.假设u(x,t)=u(),其中设=(x,t)为所需的变换,则方程(2.1)可写为以下形式F(u,u,···,p(x,t),(x,t),x,t,···)=0.(2.2)方程(2.2)为一个带有变系数p(x,t),(x,t)以及关于(x,t)的偏导数(即x,t,xx,···)的非线性常微分方程.2.通过观察方程(2.2),做出变系

7、数常微分方程(2.2)系数之间的一个恰当假设.从而使得常微分方程(2.2)的可以化为一个仅含变系数p(x,t)、(x,t)以及关于(x,t)的偏导数的偏微分方程，和一个仅与u()有关的常微分方程F(u,u,···)=0(2.3)的形式.这样方程(2.2)就等价上述两个微分方程.在这一步骤中恰当的假设是我们能得到方程(2.3)的解的关键.而方程(2.2)的解又与方程(2.3)的解通过变换相互转化.3.从上步骤的恰当假设中解出(x,t)与p(x,t)的关系式.一般来说,(x,t)的具体形式与方程的变系数p(x,t)有关.4.求解常微分方程(2.3)从而得到u().在这

8、篇文章中,我们采用参数摄动法与辅助方程方法来求解常微分方程以得到其近似解与精确解.当然其他的求解方法也将会是奏效的.5.结合上述两个步骤的结果,在变系数p(x,t)满足一定条件的前提下,方程(2.1)的解将可以表示为x和t的函数形式.值得注意的是如果方程(2.1)是一个常系数方程,那么变换(x,t)将会是一个关于x与t的线性形式,通常是形波变换形式.若方程(2.1)不是一个常系数方程,(x,t)在通常情况下将会是一个关于x与t的非线性函数.类似的,当变系数非线性方程带有更多的变系数时,通过以上步骤我们可能也能够得到变系数方程的解.在这篇文章中,我们将以带有一个或两个变系数的非线性发展方程来说明

9、我们的方法.533.1变系数非线性Schr¨odinger方程变系数非线性Schr¨odinger方程的物理背景在非线性光学中,我们知道对细束流有方程(2021)2Ikx+其中2=22n2k22|=0,+n0(3.1)+m.从而上方程亦写为Ix+1mn2k2rr+|=0.2k2k2n0(3.2)当m=0时对应了平面情形,当m=1时对应了柱对称情形.在这一节中我们主要研究平面情形,即m=0的情形.这一情形也可以看作是一列强振幅波在介质中传播22.m=0的情形即：Iut+其中k为波数,n0为介质的折射率,n2k21|u|u=0,uxx+2k2n0(3.3)nk0为非线性折射率,

10、且n2与介质的性质有关.在某些情况下,假设k、n0或n2不再是常量是合理的.因而,这就产生了如下形式的变系数非线性Schr¨odinger方程,即Iut+q(x,t)uxx+p(x,t)|u|2u=0,其中p(x,t)=nk0,(3.4)q(x,t)=1.从上方程可以看到,p(x,t)为非线性项的系数,q(x,t)为扩散项的系数.在本文的系数的推广中两者均可以被认为是复的.3.2具有单个变系数非线性Schr¨odinger方程2k当介质的折射率或其非线性折射率不再是常量而波数k为常量,即n0为变量时,变系数非线性Schr¨odinger方程(3.4)化为具有单个变

11、系数p(x,t)的非线性Schr¨odinger方程.在这一节中我们首先研究带有单个变系数p(x,t)的非线性Schr¨odinger方程,其次再研究带有单个变系数q(x,t)的非线性Schr¨odinger方程,即波数k为变量时的情形.odinger方程1.带有单个变系数p(x,t)的非线性Schr¨带有单个变系数p(x,t)的非线性Schr¨odinger方程写为：Iut+uxx+p(x,t)|u|2u=0.6(3.5)设u(x,t)=u(),并假设有变换=(x,t),则方程(3.5)可写为2u+p(x,t)|u|2u=0.(It+xx)u

12、+x(3.6)此时我们注意到在特殊情况下当变系数p(x,t)为常数时,取=(x,t)=kxt,方程(3.7)的解易知,见文献20.当变系数p(x,t)为不为常数时,我们考虑如下.假定系数间有关系12=p(x,t),It+xx=x(3.7)并且作变换t=I,则方程(3.7)变为2+xx+x=0,2p(x,)=x(3.8)(3.9)从方程(3.8)与方程(3.9)中我们很容易解出(x,t),p(x,t).在此我们需要考虑xx是否为0.因为如果xx=0,则从方程(3.8)-(3.9),我们有2(x,t)=kxIk2t,p(x,t)=k2.(3.10)这就是说当xx=0时,方程(3.5)退化为一个常系

13、数非线性偏微分方程.这也就对应了我们前面所提到的特殊情况.现假定xx=0,那么从方程(3.8)与方程(3.9)中可以解出以下四组解(a) p(x,t)=(x,t)=(xc)2,I(xc)2lnt,(3.11)(b) p(x,t)=(f3(x,t)11)2, (x,t)=1ln(1+f(x,t)2)+x+c,33(3.12)12当然我们可以作其他的假设,例如设系数间有常数倍数.这里我们简单的假设三个含变系数P(x,t)的系数相等.在这里我们仅列出方程(3.8)与方程(3.9)有代表性的解,而并非全部的解,下同.7(c) 2 p(x,t)=1c0kf2(x,t)+ck,2 (x,t)=ln(1+f

14、(x,t)2)+ln(f(x,t)+22x(3.13)+c2,(d) 2 ck1 p(x,t)=,+c0kf1(x,t)+1 (x,t)=ln(f(x,t)1)ln(f(x,t)+1)+ln(f(x,t)+111x(3.14)+c2,其中c0>0,ci(i=1,2),k为常数,f1(x,t)=tanh(c0(tI+kx+c1),f2(x,t)=tan(c0(tI+kxc1),1tI+kxc2)f3(x,t)=tan().k从而可知当系数p(x,t)与变换(x,t)满足(3.11)(或(3.12),或(3.13),或(3.14)时,具有单个变系数的Schr¨odinger方程(3

15、.5)可化为3uu+|u|2u=0.设u()=f()+Ig(),代入方程(3.15)可知f()=g(),从而方程(3.15)可化为ff+2f3=0,u()=(1+I)f().利用参数摄动法,将(3.16)式改写为ff+2f3= .其中,f()=f(, ), 1.从而我们设f(, )=3(3.15)(3.16)(3.17)(3.18)i= i=0 ifi(),在这一节中方程(3.16)的解将会经常用到,我们仅在这里将其写出,以后用到时将会引用此结果.8代入(3.18),按 的幂次进行整理,从而可以得到f0()=0,f1()=c1e+c2,f2()=c1e+c2,c3122(f3()=1e3+(3

16、c2c+6c)3c22111)e324+(6c1c2(22+2)+2c1(332+66)+c3+6c1c22(1)e(3.19)(3.20)(3.21)12234(2c2+2)33(c22+2c2+2)2(c2+3c2+6c2+6)+c4,2112323f4()=c21c2e+3(2c1c22c1c2+c1+4c1c2()e24(3.22)33222+(12c21c2(1)+2c2(3+66)+6c2(2+2)+6c2(1)+c32322+6c21(2+2)e2c16c1(1+c2)6c1(c2+2c2+2)+c4,(3.23)···通过()=fi=4i=0 if

17、i(),(3.24)(3.25)().u()=(1+I)f我们可以得到u(, )的 四阶近似解u().与此同时取任意参数ci=1(i=1,2,3,4)使其满()|=0=0,从而u()的近似解可得.足f非线性Schr¨odinger方程(3.5)化为常系数方程后所对应的常微分方程(3.15)的近似解可由式(3.19)-(3.25)表出,且此时变系数与变换所满足的条件由(3.11)-(3.14)给出.2.具有单个变系数q(x,t)的非线性Schr¨odinger方程2k从非线性Schr¨odinger方程的物理意义可以看到当波数k为变量而n0为常量时,讨论具有单个变系

18、数q(x,t)的非线性Schr¨odinger方程是有意义的,即Iut+q(x,t)uxx+|u|2u=0.假设u(x,t)=u(),=(x,t),则方程(3.26)可化为2u+|u|2u=0.(It+q(x,t)xx)u+q(x,t)x(3.26)(3.27)9在假设2=1It+q(x,t)xx=q(x,t)x(3.28)下,方程(3.27)等价于I t1xxx=1,(3.29) x uu+|u|2u=0.从上方程组中我们很容易得到(x,t)=ln(x+c1)+c2,q(x,t)=(x+c1)2q(x,t)=1(3.30)(3.31)这种形式的变换与系数就对应了变系数方程的特殊形式

19、,即变系数仅与空间变量有关的情形.u()的近似解可由式(3.19)-(3.25)给出.3.3具有两个变系数的非线性Schr¨odinger方程将具有单个变系数的非线性Schr¨odinger方程做进一步推广,从而我们考虑具有两个变系数的非线性Schr¨odinger方程Iut+q(x,t)uxx+p(x,t)|u|2u=0,此情况对应于两种情况1.波数k为变量而介质的折射率与非线性折射率均为常量,2k2.波数k,介质的折射率与非线性折射率均为变量,且n0为变量.(3.32)假设u(x,t)=u(),=(x,t),则方程(3.44)可化为2u+p(x,t)|u|2u

20、=0.(It+q(x,t)xx)u+q(x,t)x(3.33)假设系数间有关系2=p(x,t).It+q(x,t)xx=q(x,t)x(3.34)此时我们需要讨论xx是否为0的情况.101.当xx=0时当xx=0时,方程(3.34)可写为2=0, It+q(x,t)xp(x,t)=q(x,t)2,xuu+|u|2u=0.即当变系数满足 p(x,t)=It,q(x,t)=Itx,时,原变系数非线性Schr¨odinger方程可化为uu+|u|2u=0.此时,(x,t)为一个满足xx=0的任意函数.u()的近似解可由式(3.19)-(3.25)给出.例1Iu2xt2tuxx2xt|u|u

21、=0,做变换=Ixt2,上方程可化为uu+|u|2u=0,其解如式(3.19)-(3.25)所示.2.当xx=0时当xx=0时,方程(3.34)可化为It+q(x,t)xx+q(x,t)2x=0,p(x,t)=q(x,t)2,xuu+|u|2u=0.11(3.35)(3.36)(3.37)(3.38)(3.39)(3.40)即有4 2It p(x,t)=, xxx Itq(x,t)=xx,x uu+|u|2u=0.(3.41)从上式中我们可以得到变换(x,t)与变系数p(x,t),q(x,t)之间有关系p(x,t)=dx.q(x,t)x此时,(x,t)仍可以取为一个任意函数但需满足xx=0.此

22、时u()的近似解可由式(3.19)-(3.25)给出.例2t4x2tu|u|2u=0,Iutxx1+2x1+2x做变换=x2+It2,上方程可化为uu+|u|2u=0,其解如式(3.19)-(3.25)所示.(3.44)(3.43)(3.42)44.1变系数Sine-Gordon方程变系数Sine-Gordon方程的物理背景光在无损介质中传输,条件适合时将产生一种自感透明的稳态脉冲传输现象22.以二能级原子介质为例我们来说明自感透明的含义.当光脉冲前沿经过时,光被吸收,原子由基态跃迁到激发态,能量被存储.等到光脉冲后沿经过时,由于受激辐射,原子又由激发态跃迁到基态.在这一过程中,光脉冲能量等效

23、地从前沿移至后沿,光脉冲的波形未发生改变,好像经过透明介质一样.在这一过程中,可以证明光在含二能级原子介质中的传输,其电场 ,极化强度P,反转粒子有关系4这里我们首先给出一个满足xx=0的任意变换(x,t),随之我们通过求解相应微分方程可以得出变系数偏微分方程的系数.12 =GP,xP= ,= P.(4.1)=xct,(4.2)(4.3)其中参数G与光速c、激光的角频率、激活粒子的电偶极矩阵元等因素有关23.在满足初始条件P=0,=1时可以得到Sine-Gordon方程uxt=Gsinu,(4.4)若激光的角频率、激活粒子的电偶极矩阵元等量为常量,则方程(4.4)为常系数的,若激光的角频率、激

24、活粒子的电偶极矩阵元等量不为常量,则方程(4.4)为变系数的.所以我们考虑变系数Sine-Gordon方程是有实际意义的.4.2求解变系数Sine-Gordon方程变系数Sine-Gordon方程仅有一种形式即为:uxt=p(x,t)sinu.假定=(x,t),则xtu+xtu=p(x,t)sinu.此时我们有必要讨论xt是否为0.1.若xt=0若xt=0,则方程(4.5)等价于 p(x,t)=tx,u=sinu,(4.5)(4.6)(4.7)由方程(4.7)的第二个式子我们有uu=2sin,2则u()=4arctane+c,13(4.9)(4.8)(x,t)为满足条件(x,t)xt=0的任意

25、函数.例1u(x,t)xt=(4xt+2x)sinu(x,t).做变换(x,t)=x2+t2+t,从而有解u(x,t)=4arctane+c=4arctanex2+t2+t+c.其解图形由图1左图给出.例2u(x,t)t2xt=xsinu(x,t).做变换t)=lnx+t3(x,3,从而有解u(x,t)=4arctane+c3=4arctanelnx+t+c若xt=0,则方程(4.5)等价于p(x,t)=tx=xt, u+u=sinu,利用摄动方法,我们可以得到解.由方程组(4.14)中的第一式,我们有(x,t)=c1ln(xkt+c2),p(x,t)=k(xkt+c,2)14(4.10)(4

26、.11)(4.12)(4.13)(4.14)(4.15)(4.16)Figure1:左图对应于解(4.11)的瞬时孤子类型图像,取参数c=1.右图对应于解(4.13)的准扭孤波图像,取参数c=1.其中k为任意常数.利用摄动方法,我们可以得到方程组(4.14)中的第二式的近似解.由于方程组(4.14)中的第二式显然有零解存在,故在u=0处对sin(u)进行Taylor展开,即u3u5u7sin(u)=u+O(u8).61205040设u()有级数形式u()=u0()+ u1()+ 2u2()+···利用参数摄动方法,在u()=0附近的近似解可表示为f1()=f2()

27、=f3()=c1e(1)+c2e(,(4.17)(4.18)f1(),+11(f1()+c3ec4e883+11(33)311(33)c5e+c6e,456456(3)(4.19)(4.20)(4.21)f4()=u(, )=3f3(),i=4 i=1ifi()+O( 5).Figure2:图像对应于式(4.22),取小参数为 =0.1.从而u()的近似形式可认为是u( i=4)= ifi(),i=1其中参数ci满足u()=0,从而u()的图像可表示为图2.例3Theorem1(变系数非线性Schr¨odinger方程).(i)在方程具有单个变系数的情形中,若变系数p(x,t)与变换

28、(x,t)满足方程(3.11)(或方程(3.12),或方程(3.13),或方程(3.14),那么非线性Schr¨odinger方程(3.5)就可化为常系数方程(3.15),此常系数方程有近似解u()以式(3.19)-(3.25)表示.(ii)在方程具有两个变系数的情形中,若变系数p(x,t),q(x,t)以及变换(x,t)满足方程(3.11)(或方程(3.12),或方程(3.13),或方程(3.14),那么变系数非线性Schr¨odinger方程(3.5)就可化为常系数方程(3.15),此常系数方程有近似解u()以式(3.19)-(3.25)表出.Theorem2(变系数S

29、ine-Gordon方程).(i)若方程的变系数p(x,t)可以写为xt形式,其中xt=0,那么变系数Sine-Gorden方程(4.5)的解可由式(4.9)表示.(ii)若方程的变系数p(x,t)满足方程(4.16),那么变系数Sine-Gorden方程(4.5)在变换(4.15)下可化为常系数方程,此常系数方程存在有渐近解如式(4.17)-(4.20)与式(4.22)所示.5.2讨论在这篇论文的写作过程中,我们曾经用变系数Burgers方程进行讨论并得到了满意的结果：在一定的条件下我们可以得到变系数方程的混沌解、坍塌解、周期性单扭孤波解、具有peakon的周期性混沌解、双扭孤波解以及带pe

30、akon的双扭孤波解,限于篇幅我们不再一一列出.然而我们发现仍存在一些问题值得讨论.首先,步骤2中的假设形式存在多种,但在某些假设形式下我们也许不能得到变换(x,t)与变系数p(x,t)(或q(x,t)之间的关系.这一点就使得我们的方法对某些变系数方程并不适用.再者,当我们将方法应用于高阶方程时,我们发现高阶项的变系数使得同样会较难从假设中得到变换与系数的关系.或者我们应该从步骤1中改进方法或者采用一个更恰当的假设.我们并不能将其一一列出,具体的变系数方程就需要具体的分析.在本文所提供的方法下,也许某些变系数问题就可以得到解决.References2Yi-TianGaoandBoTian,Va

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