第一章线性系统分析_2013

1、信息光学信息光学杨卫平杨卫平云南师范大学云南师范大学物理与电子信息学院物理与电子信息学133988563962022-3-41QQ：553655747参考文献参考文献J. W. Goodman. Introduction to Fourier OpticsM. Roberts and Company Publishers, Third Edition2.2.吕乃光吕乃光. . 傅里叶光学傅里叶光学M. M. 北京北京: : 机械工业出版社机械工业出版社, 2007, , 2007, 第二版第二版. .5.5.宋菲君宋菲君. .近代光学信息处理近代光学信息处理M.M.北

2、京北京: : 北京大学出版社北京大学出版社, 1998., 1998.3.3.陈家壁等陈家壁等. . 光学信息技术原理及应用光学信息技术原理及应用M. M. 北京北京: : 高等教育出版社高等教育出版社, , 2002. 2002.4.4.谢敬辉等谢敬辉等. . 物理光学教程物理光学教程M. M. 北京北京: : 北京理工大学出版社北京理工大学出版社, , 2005. 2005.2022-3-42作业作业P325 . 16 . 17 . 18 . 111. 112. 11.4用宽度为用宽度为a a的狭缝，对平面上光强分布的狭缝，对平面上光强分布)2cos(2)(0 xfxf 扫描，在狭缝后用光

3、电探测器，扫描，在狭缝后用光电探测器，求输出强度分布求输出强度分布。补充题补充题2022-3-43前言前言 光学是一门较早发展的学科，它在光学是一门较早发展的学科，它在科学科学( (量子论、相量子论、相对论对论）与）与技术技术的发展史上占有重要地位。近几十年来，的发展史上占有重要地位。近几十年来，由于光学自身的发展以及和其它科学技术（如电子技由于光学自身的发展以及和其它科学技术（如电子技术、计算机技术等）的广泛结合与相互渗透，传统的术、计算机技术等）的广泛结合与相互渗透，传统的光学在理论方法和实际应用光学在理论方法和实际应用( (如信息的存贮如信息的存贮, ,光纤通信光纤通信) )上都有了许多

4、重大的突破和进展，形成了许多新的分上都有了许多重大的突破和进展，形成了许多新的分支学科或边缘学科。支学科或边缘学科。2022-3-44光学的研究范围光学的研究范围2022-3-45 光波传播规律的科学光波传播规律的科学 （天文，显微，视光学，（天文，显微，视光学，自然奇观）自然奇观） 光波与物质的相互作用（光合，照片胶卷，光波与物质的相互作用（光合，照片胶卷，辐射与生物，光电子）辐射与生物，光电子）2022-3-46 中国 墨子 小孔成像 古希腊 欧几里德 反射光学 古代的光学古代的光学2022-3-47 1608， 望远镜， 荷兰，李普塞 1612， 显微镜， 荷兰，姜森 1860，光谱分析

5、仪， 德国，基尔霍夫光学仪器光学仪器2022-3-48哈勃望远镜哈勃望远镜2022-3-491919世纪末期世界科学几大发现世纪末期世界科学几大发现 相对论 量子力学 麦克斯韦方程组 门捷列夫的元素周期表 1935 1935年年F.ZernikeF.Zernike相衬原理的提出相衬原理的提出; ; 1948 1948年年D.GaborD.Gabor全息照相术的发明全息照相术的发明; ; 1955 1955年年H.H.HopkinsH.H.Hopkins光学传递函数理论的建立（评价镜头）光学传递函数理论的建立（评价镜头）; ; 1960 1960年年T.H.MaimanT.H.Maiman红宝石

6、激光器的诞生红宝石激光器的诞生。 1961 1961年，中国的第一台激光器（长春光机所）年，中国的第一台激光器（长春光机所） 它们它们是现代光学发展中的几件大事，连同是现代光学发展中的几件大事，连同6060年代以后由于年代以后由于各种激光器的研制成功而迅速发展起来的非线性光学、纤维光各种激光器的研制成功而迅速发展起来的非线性光学、纤维光学、集成光学等诸方面，使现代光学广泛地活跃在现代科学技学、集成光学等诸方面，使现代光学广泛地活跃在现代科学技术的许多部门。术的许多部门。2022-3-410现代光学现代光学的几大的几大发展发展2022-3-41119611961年，我国第一台激光器年，我国第一台

7、激光器2022-3-412光学照相的发展光学照相的发展 I （振幅，光强），（振幅，光强），1792， 黑白照相黑白照相 （波长，频率），（波长，频率），1908， 彩色照片彩色照片 （位相），（位相），1935，相衬显微镜，相衬显微镜 I， 全息照相全息照相 CT 计算机技术，计算机技术，1979诺贝尔医学奖诺贝尔医学奖2022-3-413近代光学与信息科学近代光学与信息科学 90%的信息通过视觉的信息通过视觉 古代古代 烽火台烽火台 光波，承载，传播，记录，萃取，显示信息光波，承载，传播，记录，萃取，显示信息 光纤通信技术光纤通信技术 光驱外设，光盘存储技术光驱外设，光盘存储技术 空间光学

8、与航空技术空间光学与航空技术 表征现代光学重大进展的另一件大事，是表征现代光学重大进展的另一件大事，是P.M.Duffieux P.M.Duffieux 19461946年把傅里叶变换的概念引入光学领域，由此发展成现代年把傅里叶变换的概念引入光学领域，由此发展成现代光学的一个重要分支光学的一个重要分支傅里叶光学（信息光学傅里叶光学（信息光学）。它应用）。它应用线性系统理论和空间频谱的概念，分析光的传播、衍射和成线性系统理论和空间频谱的概念，分析光的传播、衍射和成像等问题。像等问题。 它用改变频谱的方法处理相干处理系统中的光信息；用频它用改变频谱的方法处理相干处理系统中的光信息；用频谱被改变的观

9、点评价谱被改变的观点评价非相干成像系统非相干成像系统的像质。的像质。信息光学信息光学促进促进了图像科学、应用光学和光电子学的发展。可以认为它是光了图像科学、应用光学和光电子学的发展。可以认为它是光学、光电子学、信息论和通讯理论的学、光电子学、信息论和通讯理论的交叉学科交叉学科。2022-3-414 光学薄膜和光学晶体是现代科学技术中不可缺少的重要器光学薄膜和光学晶体是现代科学技术中不可缺少的重要器件，用途非常广泛。研究光在光学薄膜中的反射、折射、偏件，用途非常广泛。研究光在光学薄膜中的反射、折射、偏振及光谱特性，以及晶体对光波的双折射和偏振效应，分别振及光谱特性，以及晶体对光波的双折射和偏振效

10、应，分别构成了薄膜光学和晶体光学的重要内容，也是现代光学的重构成了薄膜光学和晶体光学的重要内容，也是现代光学的重要组成部分。要组成部分。 当今社会是信息社会当今社会是信息社会, ,信息技术正在改变着人类社会。在各信息技术正在改变着人类社会。在各种各样的信息技术中种各样的信息技术中, ,光信息技术的地位光信息技术的地位越来越重要越来越重要, ,作用也作用也越越来越突出来越突出。在信息的产生、采集、显示、传输、存贮以及处。在信息的产生、采集、显示、传输、存贮以及处理的各个环节中，光信息技术都扮演着重要的角色。光信息理的各个环节中，光信息技术都扮演着重要的角色。光信息科学与技术是光学和信息科学相结合

11、的一门学科。科学与技术是光学和信息科学相结合的一门学科。2022-3-4152022-3-416信息光学的研究信息光学的研究 傅里叶光学（傅里叶级数）傅里叶光学（傅里叶级数） 线性系统理论引入现代光学线性系统理论引入现代光学 光的传播，衍射，成像光的传播，衍射，成像 从空域到频域从空域到频域 光学信息处理光学信息处理 应用，高密度存储应用，高密度存储 光学测量技术光学测量技术光信息科学与技术与应用介绍光信息科学与技术与应用介绍一、光信息科学基础一、光信息科学基础 1 1、线性系统理论、线性系统理论 2 2、光学变换理论、光学变换理论 3 3、光传播理论、光传播理论 4 4、光成像理论、光成像理

12、论基础篇基础篇二、光信息技术基础二、光信息技术基础 1 1、激光技术、激光技术 2 2、空间光调制器、空间光调制器 2022-3-417基本技术篇基本技术篇一、光信息的采集和显示技术一、光信息的采集和显示技术光信息的采集光信息的采集 1 1、光电信息变换法：光电信息有直接对应关系，如数码相机。、光电信息变换法：光电信息有直接对应关系，如数码相机。 2 2、光信息编码法、光信息编码法-按一定的规律把图像的信息映射到按一定的规律把图像的信息映射到某一空某一空间间，再把映射信息转化为电信息或光信息。这里的电信息（光，再把映射信息转化为电信息或光信息。这里的电信息（光信息）对应的不是图像本身的信息，而

13、是信息）对应的不是图像本身的信息，而是映射信息映射信息，因此在重，因此在重现过程中直接重现的往往不是图像本身，而是其映射的结果。现过程中直接重现的往往不是图像本身，而是其映射的结果。如果需要重现图像的话，就必须通过一定的如果需要重现图像的话，就必须通过一定的重建重建方法来实现。方法来实现。这种方法常用于光学信息处理。比如，通过傅里叶变换，空间这种方法常用于光学信息处理。比如，通过傅里叶变换，空间信息变为频域信息。信息变为频域信息。2022-3-418光信息显示光信息显示1 1、CRTCRT阴极射线显示器（电子束扫描），传统的电阴极射线显示器（电子束扫描），传统的电 视机，电脑显示器。视机，电脑

14、显示器。2 2、液晶显示器、液晶显示器 结构简单，在两片敷有透明导电电极的平板玻璃夹层结构简单，在两片敷有透明导电电极的平板玻璃夹层中装入一种具有液体性质而光学上具有晶体性质的物体中装入一种具有液体性质而光学上具有晶体性质的物体（液晶），在透明电极上加上几伏至几十伏的电压，电极（液晶），在透明电极上加上几伏至几十伏的电压，电极之间的之间的透光率、色彩、反射率透光率、色彩、反射率就会发变化。液晶显示器的就会发变化。液晶显示器的突出优点是电压低，功率小，可与集成电路配套使用，体突出优点是电压低，功率小，可与集成电路配套使用，体积小。此外，在明亮的条件下能得到使人满意的对比度、积小。此外，在明亮的条

15、件下能得到使人满意的对比度、色彩。但它的工作温度范围小，一般在色彩。但它的工作温度范围小，一般在050050度度，目前制作，目前制作大面积的平板显示器有一定的困难。大面积的平板显示器有一定的困难。2022-3-4193 3、等离子显示板、等离子显示板 在两块平板玻璃中封入电离发光的气体，在透明电极上加在两块平板玻璃中封入电离发光的气体，在透明电极上加上几百伏的电压，电极之间电场使气体电离发光。它最适用于上几百伏的电压，电极之间电场使气体电离发光。它最适用于组装成大屏幕显示屏，多用于体育场、军事指挥中心。组装成大屏幕显示屏，多用于体育场、军事指挥中心。二、光信息的传输技术二、光信息的传输技术1

16、1、光纤通信技术、光纤通信技术2 2、无源导波器件、无源导波器件 光纤连接器、光分路耦合器、波分复用器件、光隔离器、光纤连接器、光分路耦合器、波分复用器件、光隔离器、光开关。光开关。2022-3-420三、光信息存贮技术三、光信息存贮技术1 1、光盘的存贮原理、光盘的存贮原理 只读存贮光盘、可擦重写相变光盘、直接重写相变光盘、只读存贮光盘、可擦重写相变光盘、直接重写相变光盘、 可擦重写磁光光盘。可擦重写磁光光盘。2 2、相变光盘的结构及制备、相变光盘的结构及制备3 3、光盘存贮器设备中的光学系统、光盘存贮器设备中的光学系统2022-3-4212022-3-422人民日报全文数据库（人民日报全文

17、数据库（19931993）2022-3-423激光体全息高密度存储实验系统激光体全息高密度存储实验系统2022-3-424激光全息防伪人民币（建国激光全息防伪人民币（建国5050周年纪念币）周年纪念币）2022-3-425四、光信息的加工及其处理技术四、光信息的加工及其处理技术1 1、 空间滤波空间滤波2 2、照相图像的恢复、照相图像的恢复3 3、假彩色编码、假彩色编码- -用黑白胶片保存彩色像用黑白胶片保存彩色像4 4、图像增强、图像增强五、光学图像特征识别五、光学图像特征识别2022-3-426空间滤波的应用空间滤波的应用2022-3-427相干光学信息处理实验相干光学信息处理实验 图像相

18、减的实验结果 微分滤波（边缘增强）的实验结果2022-3-428 调制实验的彩照其它其它 应用技术篇应用技术篇一、光学计量技术一、光学计量技术1 1、全息干涉计量、全息干涉计量2 2、全息散斑计量、全息散斑计量二、全息术二、全息术1 1、白光再现全息图、白光再现全息图2 2、计算全息、计算全息3 3、模压全息技术、模压全息技术三、层析成像技术三、层析成像技术1、投影数据和拉冬变换、投影数据和拉冬变换2、图像的重建、图像的重建3、图像的光学模拟重现、图像的光学模拟重现2022-3-4292022-3-430奥迪轿车车身在线三维测量系统奥迪轿车车身在线三维测量系统2022-3-431激光测距与激光

19、雷达（激光测距与激光雷达（1 1）2022-3-432激光测距与激光雷达（激光测距与激光雷达（2 2）2022-3-433长度测量四、条形码技术四、条形码技术 条形码系统是按照特定格式组合起来的一组条形码系统是按照特定格式组合起来的一组宽度不同宽度不同的平行线条，其线条和间隔代表了某些数字符号，用以表的平行线条，其线条和间隔代表了某些数字符号，用以表示某些信息。这种代码非常容易使用简便的阅读器装置进示某些信息。这种代码非常容易使用简便的阅读器装置进行识别，经过阅读设备的光电转换的信号只需经过简单的行识别，经过阅读设备的光电转换的信号只需经过简单的接口电路即能输送到微型机等数据处理装置，进行信息

20、的接口电路即能输送到微型机等数据处理装置，进行信息的处理。处理。2022-3-434五、红外技术五、红外技术 红外技术一开始主要用于军事方面，近年来随着红外技红外技术一开始主要用于军事方面，近年来随着红外技术的发展，特别是一些新型的红外探测器和成像器件的陆续术的发展，特别是一些新型的红外探测器和成像器件的陆续问世及其成本的不断下降，使得红外技术的应用范围大大扩问世及其成本的不断下降，使得红外技术的应用范围大大扩展。在一些技术发达的国家，红外技术不仅用于军事、科学展。在一些技术发达的国家，红外技术不仅用于军事、科学研究、工农生产、医学等方面，而已进入人们的日常生活中。研究、工农生产、医学等方面，

21、而已进入人们的日常生活中。六、高速激光印刷系统六、高速激光印刷系统2022-3-435进展篇进展篇一、光纤通信新技术一、光纤通信新技术1 1、光纤接入网、光纤接入网2 2、相干光通信、相干光通信3 3、光复用技术、光复用技术4 4、全光传输、全光传输5 5、光孤子通信、光孤子通信二、光信息存储新进展二、光信息存储新进展 1 1、新型光信息存贮、新型光信息存贮2 2、全息信息存贮、全息信息存贮2022-3-436四、二元光学四、二元光学 又称衍射光学，光学元器件的大小在微米又称衍射光学，光学元器件的大小在微米的量级，可以构成大量光学器件阵列。的量级，可以构成大量光学器件阵列。三、光计算三、光计算

22、1 1、模拟光计算、模拟光计算2 2、数字光计算、数字光计算2022-3-43716相位级相位级CdTe（铬锑）（铬锑）微透镜阵列电子扫描显微图微透镜阵列电子扫描显微图2022-3-438第一章第一章 线性系统分析线性系统分析 一个光学系统可以用一个光学系统可以用一个有输入和输出的方框图一个有输入和输出的方框图来表来表示。光学系统对输入信号的作用可以是线性的，也可以是示。光学系统对输入信号的作用可以是线性的，也可以是非线性的。对于非线性系统，目前还没有通用的技术来求非线性的。对于非线性系统，目前还没有通用的技术来求解。虽然任何一个光学系统都不是严格线性的，但在一定解。虽然任何一个光学系统都不是

23、严格线性的，但在一定的条件下，许多光学系统可以作为线性系统来处理。另外，的条件下，许多光学系统可以作为线性系统来处理。另外，由于光学系统几乎都是用二维空间变量来描述，所以我们由于光学系统几乎都是用二维空间变量来描述，所以我们首先介绍二维线性系统的一些基本知识首先介绍二维线性系统的一些基本知识。系统系统h(x,y)输入输出),(yxf),(yxg2022-3-439g(x,y) = f(x,y) * h(x,y)1.1 1.1 光学中常用的几种初等函数光学中常用的几种初等函数 一、矩形函数一、矩形函数矩形函数的定义为矩形函数的定义为 )(0axxrect2, 10aaxx 其它其它0函数图像如下

24、函数图像如下图所示图所示x)(0axxrect 0 01 10 x20ax 20ax 位移量位移量2022-3-440高度为高度为1，中心位于，中心位于x=x0，宽度和面积都等于宽度和面积都等于 a 缩放量缩放量二维矩形函数可表示成一维矩形函数的乘积二维矩形函数可表示成一维矩形函数的乘积)()(),(byrectaxrectbyaxrect 式中式中a 0 ,b 0,a 0 ,b 0,它在它在 xyxy平面上，以原点为中心的平面上，以原点为中心的a a b b矩形范矩形范围内，函数值为围内，函数值为1 1，其它地方为零。，其它地方为零。物理应用：物理应用：光学上常用矩形函数表示不透明屏上的矩形

25、孔、光学上常用矩形函数表示不透明屏上的矩形孔、狭缝的透过率。它与其它函数相乘时，可限制函数自变量的狭缝的透过率。它与其它函数相乘时，可限制函数自变量的取值范围，起到截取函数的作用，故又称为取值范围，起到截取函数的作用，故又称为“门函数门函数”。如如xaxrectcos)(表示一个只出现在区间表示一个只出现在区间上的余弦函数 2,2aa2022-3-441当有当有 因子时，它的因子时，它的0点出点出现在现在x0 na。当没有。当没有 因因子时，子时，0点出现在点出现在x0 n a。因此，有因此，有 因子时确定零因子时确定零点的位置更方便。点的位置更方便。 二、二、sincsinc函数（函数（Br

26、acewellBracewell） 一维一维 sincsinc函数的定义为函数的定义为)(sin0axxc axxaxx/ )(/ )(sin00 式中式中a0,a0,函数在函数在x=xx=x0 0处有最大值处有最大值1 1。.)2 , 1(0 nnaxx对于对于x x0 0=0,=0,该函数在原点处有最大值该函数在原点处有最大值1 1。二个第一级零值之间的宽。二个第一级零值之间的宽度为度为2a,2a,函数图像如图所示函数图像如图所示x)(sinaxcaa2a3a a2 a3 零点位于零点位于2022-3-442二二 维维 sincsinc函数的定义为函数的定义为 ),(sinbyaxcaxx

27、axx/ )(/ )(sin00 byybyy/ )(/ )(sin00 物理应用：物理应用：sincsinc函数常用来描述函数常用来描述矩孔或单缝矩孔或单缝的夫琅和费衍射图的夫琅和费衍射图样，且与样，且与rectrect函数互为函数互为傅里叶变换傅里叶变换。2022-3-443 三、阶跃函数三、阶跃函数阶跃函数的定义为阶跃函数的定义为 )( xstep0, 1 x0, 0 x)( xstepx10阶跃函数与某函数相乘时，如阶跃函数与某函数相乘时，如x0 x0，则积等于原函数，在，则积等于原函数，在x0 x0,a0,函数图形是底边宽为函数图形是底边宽为2a2a，高为，高为1 1的三角形。的三角

28、形。物理应用物理应用：三角形函数可表示光：三角形函数可表示光瞳为矩形的非相干成像系统的瞳为矩形的非相干成像系统的光光学传递函数学传递函数。2022-3-446六、圆域函数六、圆域函数圆域函数的定义为圆域函数的定义为 )(22ayxcircayx 22, 1其其它它,0函数图形呈圆柱形，底半径为函数图形呈圆柱形，底半径为a a，高度为，高度为1 1。极坐标下的形式为极坐标下的形式为 )(arcircar , 1其其它它, 0物理应用：物理应用：圆域函数常用来描述无限大不透明屏上圆域函数常用来描述无限大不透明屏上圆孔的圆孔的透过率透过率)(22ayxcirc xy012022-3-447七、高斯函

29、数七、高斯函数高斯函数的定义为高斯函数的定义为 )(0axxGaus 20expaxx 二维高斯函数的形式是二维高斯函数的形式是 ),(byaxGaus 22expbyax 曲面下的体积为曲面下的体积为abab)(axGausxa aa0a0。当。当x x0 0=0=0时，函数在原点处有最大值时，函数在原点处有最大值1 1。高斯图形中曲线下的面积为高斯图形中曲线下的面积为a a。式中式中2022-3-448性质：性质： 是一个光滑的函数，即它的一切导数都是连续的。是一个光滑的函数，即它的一切导数都是连续的。 一个高斯函数的傅里叶变换是另一个高斯函数。一个高斯函数的傅里叶变换是另一个高斯函数。

30、),(byaxGaus 22expbyax 曲面下的体积为曲面下的体积为ababa=1, b=1a=1, b=1时时 ),(yxGaus )(exp22yx 极坐标下极坐标下 )(rGaus 2expr )(axGausxaa 物理应用：物理应用：高斯函数在统计领域中经常用到。高斯函数在光高斯函数在统计领域中经常用到。高斯函数在光学中常用来描述激光器发出的学中常用来描述激光器发出的高斯光束高斯光束，有时也用于光学信，有时也用于光学信息处理中的息处理中的切趾术。切趾术。2022-3-4492022-3-450高斯光束高斯光束1.2 1.2 函数函数 在物理学和工程技术中常用狄拉克提出的在物理学和

31、工程技术中常用狄拉克提出的 函数描述某种函数描述某种极限状态和高度集中的物理量。例如，在电学中常用极限状态和高度集中的物理量。例如，在电学中常用 函数表函数表示点电荷，而在光学中，示点电荷，而在光学中， 函数表示的是点光源。函数表示的是点光源。 函数不是函数不是普通函数，是广义函数，它不像普通函数那样完全由数值对应普通函数，是广义函数，它不像普通函数那样完全由数值对应关系确定，其属性完全由它在关系确定，其属性完全由它在积分积分中的作用表现出来。从应用中的作用表现出来。从应用的角度看，也可以把的角度看，也可以把 函数与普通函数联系起来，用普通函数函数与普通函数联系起来，用普通函数描述它的性质。下

32、面介绍三种最基本的描述它的性质。下面介绍三种最基本的 函数函数定义。定义。一、一、 函数定义函数定义2022-3-451 ),(yx 0, 0, yx0, 0, 0 yx定义定义A A1),( dxdyyx ),(yx 定义定义B B1),( dxdyyxgn0),(lim yxgnn0, 0 yx定义定义A A 对对 函数给出了类似普通函数形式的定义，然而定义式函数给出了类似普通函数形式的定义，然而定义式描述的图像并不普通，它是一个在原点以外处处为零，而在描述的图像并不普通，它是一个在原点以外处处为零，而在原点处出现无穷大的函数。原点处出现无穷大的函数。2022-3-452定义定义B B是把

33、是把 函数看作一些普通函数构成的序列的极限。下图给函数看作一些普通函数构成的序列的极限。下图给出了一维矩形函数序列和高斯函数序列的例子，随着出了一维矩形函数序列和高斯函数序列的例子，随着NN的增大，的增大，所取的矩形函数和高斯函数对应的曲线将变得越来越窄，峰值所取的矩形函数和高斯函数对应的曲线将变得越来越窄，峰值却越来越高，而曲线下的面积始终保持为却越来越高，而曲线下的面积始终保持为1 1。当。当NN时，它们时，它们的函数曲线趋近于定义的函数曲线趋近于定义 A A中的中的“脉冲脉冲”。g gn n(x,y)(x,y)的具体形式是的具体形式是多种多样的，常用的有矩形函数，高斯函数和多种多样的，常

34、用的有矩形函数，高斯函数和sinc(x,y)sinc(x,y)函数。函数。)()(),(2limnyrectnxrectnyxn )(exp),(2222limyxnnyxn )(sin)(sin),(2limnycnxcnyxn 2022-3-453x)(NxNrect121N 121N 1N2N3N01N2N3N)exp(22xNN x0back2022-3-454定义定义C C 中中f f(x,y)(x,y)在原点处连续。该式表明在原点处连续。该式表明 函数在积分域中的函数在积分域中的作用就是赋与函数在作用就是赋与函数在x=0,y=0 x=0,y=0处的数值处的数值f(0,0)f(0,0

35、)。这是。这是广义函广义函数的定义方式数的定义方式，具有普遍意义。不同形式的函数，只要它们，具有普遍意义。不同形式的函数，只要它们在积分中的作用和上式相同，就可认为它们与在积分中的作用和上式相同，就可认为它们与 函数相等，这函数相等，这一性质在理论推导中经常用到。一性质在理论推导中经常用到。定义定义C C)0,0(),(),(fdxdyyxfyx 2022-3-455广义函数与检验函数广义函数与检验函数 广义函数广义函数不便于像普通函数那样做加、减、乘、除，的不便于像普通函数那样做加、减、乘、除，的运算，只有积分时才能得到定值，总要经过积分式才能作用运算，只有积分时才能得到定值，总要经过积分式

36、才能作用与另一函数。与另一函数。 (x，y)在在积分中也和普通函数不同积分中也和普通函数不同。普通积分普通积分遇到函数值为遇到函数值为 时就不可积，积分限为时就不可积，积分限为-0到到+0时积分值为时积分值为0。但用但用 函数，积分中可得函数，积分中可得f(0，0) 。2022-3-456 设有两个设有两个广义函数广义函数f1(x，y)和和f2(x，y)，在同时满足下面两式时，在同时满足下面两式时NdxdyyxyxfNdxdyyxyxf),(),(),(),(-2-1， 即即f1(x，y)对对 (x，y)的作用和的作用和f2(x，y)对对 (x，y)的作用都得到的作用都得到同一个数同一个数N时

37、时，就认为就认为f1(x，y)=f2(x，y)。 即这时，即这时， (x，y)是用来检验广义函数的效果的，叫做是用来检验广义函数的效果的，叫做“检验检验函数函数”。检验函数应满足：。检验函数应满足：（1 1）是连续的，并处处可微；）是连续的，并处处可微；（2 2）当）当x,y x,y 时，时， (x，y)下降足够快下降足够快。 大于某一值大于某一值时，时， (x，y)和它的一切导数都等于和它的一切导数都等于0，或至少比，或至少比 收敛得收敛得快。快。N为任意整数。就是说，为任意整数。就是说， (x，y)在一段（在一段（x,y）的有限范的有限范围以外基本上都等于围以外基本上都等于0。yx,Nyx

38、,12022-3-457二、二、 函数的表示和性质函数的表示和性质)(x 0 x1),(yx 0 xy12 2、筛选性质、筛选性质),(),(),(0000yxfdxdyyxfyyxx x0 x0)(xf),()(000yxfxx 1、 函数和其它函数的乘积函数和其它函数的乘积),(),(),(),(000000yyxxyxfyxfyyxx 3 3、坐标缩放性质、坐标缩放性质),(1),(yxabbyxa )(1)(00axxaxxa 2022-3-4584 4、可分离变量性质、可分离变量性质)()(),(yxyx 5 5、 函数是偶函数函数是偶函数三、梳状函数三、梳状函数光学上，光学上，单位

39、光通量单位光通量间隔为间隔为1 1个单位的点光源线阵的亮度，个单位的点光源线阵的亮度，可用一个一维梳状函数表示：可用一个一维梳状函数表示： nnxxcomb)()( n n为整数为整数梳状函数也是广义函数，其性质可由梳状函数也是广义函数，其性质可由 函数的性质推出。函数的性质推出。)( xcombx01231 2 3 2022-3-459利用坐标缩放性质，可以把间隔为利用坐标缩放性质，可以把间隔为x x0 0的等间距脉冲序列表示为的等间距脉冲序列表示为 nnxx)(0 )(100 xxcombx 梳状函数与普通函数的乘积是梳状函数与普通函数的乘积是)(1)(00 xxcombxxf )()(0

40、0nxxnxfn 因此，可以利用梳状函数对普通函数作因此，可以利用梳状函数对普通函数作等间距抽样等间距抽样。在。在x x和和y y方向间隔分别为方向间隔分别为a a和和b b的二维脉冲序列表示为的二维脉冲序列表示为)()(1)()(aycombaxcombabmbynaxnm nnxxx)(100 2022-3-460 xy0ab)()(1aycombaxcombab2022-3-4611.3 1.3 二维傅里叶变换二维傅里叶变换1 1、二维傅里叶变换的定义、二维傅里叶变换的定义含有两个变量含有两个变量x,yx,y的函数的函数 f f (x,y)(x,y)，其二维傅里叶变换定义为，其二维傅里叶

41、变换定义为 yxyxjyxfFdd)(2exp),(),( ),( F ),(yxf在此定义中，在此定义中，),( F本身也是两个自变量本身也是两个自变量 和的函数。的函数。率率. .为为X X和和Y Y方方向向的的空空间间频频分分别别称称, ,频频谱谱, ,y y) )的的傅傅里里叶叶谱谱或或空空间间) )称称为为f f( (x x, ,F F( (, , ,(exp),(),(jFF 用用模模和和幅幅角角表表示示如如下下),(F变换变换F F2022-3-462),( F振幅谱振幅谱),(相位谱相位谱2),( F功率谱功率谱类似地，函数类似地，函数f (f (x,y)x,y)也可以用其频谱

42、函数表示，即：也可以用其频谱函数表示，即： dd)(2exp),(),(yxjFyxf 上式称为上式称为F F（ ， ）的二维傅里叶）的二维傅里叶逆变换。逆变换。正变换和逆变换在形式上非常相似，只是被积函数中指数正变换和逆变换在形式上非常相似，只是被积函数中指数因子的符号和积分变量不同而已。因子的符号和积分变量不同而已。我们可以用傅里叶变换对偶式来表示两种变换之间的关系式。我们可以用傅里叶变换对偶式来表示两种变换之间的关系式。),( F),(yxf= -1 ),( FF F-1（）F FF F( )2022-3-463二、傅里叶变换存在的条件二、傅里叶变换存在的条件（1 1）函数）函数f(x,

43、y)f(x,y)必须对整个必须对整个XYXY平面绝对可积，即平面绝对可积，即 yxyxfdd),(（2 2）函数）函数f(x,y)f(x,y)必须在必须在XYXY平面上的每一个有限区域内局部连平面上的每一个有限区域内局部连续，即仅存在有限个不连续点和有限个极大和极小点。续，即仅存在有限个不连续点和有限个极大和极小点。 （3 3）函数）函数f(x,y)f(x,y)必须没有无穷大间断点。必须没有无穷大间断点。2022-3-464 上述三个存在条件是从数学的角度提出的，我们不证明它。上述三个存在条件是从数学的角度提出的，我们不证明它。这是因为，从应用的角度看，这是因为，从应用的角度看，作为时间或空间

44、函数而实际存作为时间或空间函数而实际存在的物理量，其傅里叶变换总是存在的在的物理量，其傅里叶变换总是存在的。 但需说明的，为了物理学上描述方便起见，我们往往又用但需说明的，为了物理学上描述方便起见，我们往往又用理想化的数学函数来表示实际的物理图形，对这些有用的函理想化的数学函数来表示实际的物理图形，对这些有用的函数而言，上面的三个条件中的一个或多个可能均不成立。例数而言，上面的三个条件中的一个或多个可能均不成立。例如阶跃函数，如阶跃函数， 函数等就不满足存在条件。函数等就不满足存在条件。 因此，为了在傅里叶分析中能有更多的函数来描述物理图因此，为了在傅里叶分析中能有更多的函数来描述物理图形，有

45、必要对傅里叶变换的定义作一些推广。形，有必要对傅里叶变换的定义作一些推广。2022-3-465三、广义傅里叶变换三、广义傅里叶变换 对于不严格满足存在条件的函数，首先把它定义为某一个对于不严格满足存在条件的函数，首先把它定义为某一个序列的极限，该序列中的每一成分都具有通常的傅里叶变换，序列的极限，该序列中的每一成分都具有通常的傅里叶变换，然后求出该序列各成分的傅里叶变换，从而得到一个相应的变然后求出该序列各成分的傅里叶变换，从而得到一个相应的变换序列。如果换序列。如果后一序列后一序列极限存在，就称它为所考虑函数的广义极限存在，就称它为所考虑函数的广义傅里叶变换。所以傅里叶变换。所以广义广义傅里

46、叶变换就是极限意义下的傅里叶变傅里叶变换就是极限意义下的傅里叶变换。换。2022-3-4662022-3-467设设f(x)f(x)是一个无法确定狭义傅氏变换的函数，如是一个无法确定狭义傅氏变换的函数，如f f( (x x) )和一个和一个函数序列函数序列f fn n( (x x)(n = 1,2,)(n = 1,2, ) )具有如下关系具有如下关系( )lim( )nnf xfx并且对函数序列中的每一个函数并且对函数序列中的每一个函数f fn n( (x x) )来说，它的狭义傅氏变换来说，它的狭义傅氏变换( )( )nnFFfx都存在，且当都存在，且当n n时，函数序列时，函数序列F(F(

47、 ) )也有确定的极限，则称也有确定的极限，则称该极限为函数在极限意义下的傅氏变换。该极限为函数在极限意义下的傅氏变换。2022-3-468例题：求函数例题：求函数f(x,y)=1f(x,y)=1的傅里叶变换的傅里叶变换解：上述函数显然不符合傅里叶变换存在的条件，现在我们解：上述函数显然不符合傅里叶变换存在的条件，现在我们把它定义为矩形函数序列的极限。把它定义为矩形函数序列的极限。)()(limayrectaxrecta),(yxfx)(axrect012a2a 先求矩形函数的傅里叶变换先求矩形函数的傅里叶变换xeaxrectxjd)(2 xexjaad222 )(212222ajajeej

48、asin aaasin )(sinaca rect(y)(sinaca rect(x)F FF F请同学业们动手推导请同学业们动手推导2022-3-469rect函数和函数和sinc函数是一对函数是一对Fourier变换对变换对在广义下的傅氏变换，在广义下的傅氏变换，允许交换几分运算和允许交换几分运算和求极限运算的次序求极限运算的次序2022-3-470f (x,y)=1f (x,y)=122()222()22( ,)( ,)limlimsin() sin()(,)ajxyaajxyaaaFfx yfx y edxdyxyrectrectedxdyaaac ac a 所以所以1 1的傅里叶变换

49、是的傅里叶变换是 函数。函数。 函数定义函数定义问题：问题： 函数的逆函数的逆傅里叶变换傅里叶变换等于等于1 1吗？吗？ d)(2xje d)(0e d)( 1 yxeyxjdd),()(2 )( -1F F物理图像物理图像),(f(x,y)=1f(x,y)=1请同学业们动手推导请同学业们动手推导2022-3-471 函数定义函数定义所以：所以：2022-3-4721N2N3Nx0对任一常数来说，如果不借助对任一常数来说，如果不借助 函数，函数，其极限其极限意义下的傅氏变换难以确定。意义下的傅氏变换难以确定。这是因为：尽管可以用适当定义的函这是因为：尽管可以用适当定义的函数序列极限描写任一函数

50、，并且构成数序列极限描写任一函数，并且构成该函数序列的主函数都存在傅氏变换，该函数序列的主函数都存在傅氏变换，但相应的傅氏变换序列的极限，在通但相应的傅氏变换序列的极限，在通常以一下并不存在。例：对常数常以一下并不存在。例：对常数1 1来说，来说，可以看成是可以看成是Frect(x/N)= Frect(x/N)= ，当，当N N 时，矩形高度始终等于时，矩形高度始终等于1 1， 曲线高度也曲线高度也 。NsinNsinNsin2022-3-473这就是说，所得的傅氏变换序列不存在通常意义下的这就是说，所得的傅氏变换序列不存在通常意义下的确定的极限。从而，对常数确定的极限。从而，对常数1 1来说

51、，难于确定其极限意来说，难于确定其极限意义下的傅氏变换。如果引入义下的傅氏变换。如果引入 函数概念，则由函数概念，则由构成上述傅氏变换序列，随着构成上述傅氏变换序列，随着 ，而以，而以 ( ( ) )为极限，为极限，即，可将常数即，可将常数1 1的极限意义下的傅氏变换确定为的极限意义下的傅氏变换确定为 ( ( ) )。Nsin例子：求梳状函数例子：求梳状函数comb(x/a)comb(x/a)的傅里叶变换的傅里叶变换)(axcomb nnax)( 因为梳函数是因为梳函数是周期性周期性函数，可将其展开为函数，可将其展开为傅里叶级数傅里叶级数)(axcomb)2exp(axnjcnn 其中其中dx

52、xfacaa 220)(1dxnaxaaaan 22)(1 aa dxxaaaa 22)(1 1 nnaxa)( 2022-3-474dxenaxaacanxjaann/222)(1 dxexaacanxjaan/222)(1 1)(22 dxxcaan )2exp(axnjn )(axcomb所以，梳函数的所以，梳函数的傅里叶变换为傅里叶变换为dxxjaxnjn)2exp()2exp( xdxanjn )(2exp )( nan )( nnaa )( aacomb aa )(axcombF F其其间隔为间隔为?2022-3-4752022-3-4761 赵军芳赵军芳. 傅里叶变换在数字图像处

53、理中的应用傅里叶变换在数字图像处理中的应用J. 国外电子测量技术国外电子测量技术, 2004, (6): 17-20.2 熊元新熊元新, 陈允平陈允平. 离散傅里叶变换的定义研究离散傅里叶变换的定义研究J. 武汉大学学报武汉大学学报(工学版工学版), 2006, 39(1): 89-91+142.3 张宪超张宪超, 武继刚武继刚, 蒋增荣等蒋增荣等. 离散傅里叶变换的算术离散傅里叶变换的算术傅里叶变换算法傅里叶变换算法J. 电子学报电子学报, 2000, 28(5): 107-107.4 朱朱 , 王富东王富东. 利用利用MATLAB实现二维图像傅立叶实现二维图像傅立叶变换算法变换算法J. 计

54、算机应用与软件计算机应用与软件, 2006, 23(12): Readings1.4 1.4 卷积与相关（卷积与相关（Convolution and CorrelationConvolution and Correlation）一、一、 卷积的定义卷积的定义h(x,y)h(x,y),(yxf),(yxg 一个线性系统的由输入与系统脉冲响应的卷积给出。于一个线性系统的由输入与系统脉冲响应的卷积给出。于是，在理论上，如果知道了系统的脉冲响应，则仅仅实行一是，在理论上，如果知道了系统的脉冲响应，则仅仅实行一个卷积，就能够对任何输入来计算系统的输出。个卷积，就能够对任何输入来计算系统的输出。2022-

55、3-478两个函数两个函数f(x,y)f(x,y)和和h(x,y)h(x,y)的的卷积的定义为卷积的定义为： dd),(),(),(yxhfyxg),(),(yxhyxf它是包含两个参量的二重无穷积分，这里的参变量它是包含两个参量的二重无穷积分，这里的参变量x,yx,y和积分和积分 变量变量 ， 均为实数，但函数均为实数，但函数f(x,y) f(x,y) 和和h(x,y)h(x,y)可以是实数，也可以可以是实数，也可以是复数。是复数。“ ”“ ”号表示号表示卷积运算。卷积运算。1 1、 卷积的定义卷积的定义 dd),(),(),(yxhfyxg),(),(yxhyxf 2 2、 卷积运算的例子

56、卷积运算的例子例：如图，已知两个函数例：如图，已知两个函数f(x)f(x)和和h(x),h(x),求其求其卷积卷积 )x(h1021 x,其其它它,0 )x(f101 x,其其它它,02022-3-479求卷积的图解方法：卷积的图解方法：21)( xh1x01)( xf1x0（1 1）变元：将）变元：将f f (x)(x)和和h h (x)(x)变为变为f f ( ( ) )和和h h ( ( ) )，并画出相应的曲线，并画出相应的曲线21)(h1 0 1)( f10（2 2）镜像：将）镜像：将h(h( ) ) h(-h(- ) )，只要将，只要将h(h( ) )曲线相对纵轴折叠便曲线相对纵轴

57、折叠便得到其镜像得到其镜像h(-h(- ) )曲线。曲线。2022-3-48021)(- h 0 1)( f10（3 3）对任一）对任一x(-x(- , , + + ) ) ，只要将曲线，只要将曲线h(-h(- ) )沿沿x x轴平移轴平移x x便得到便得到h(x-h(x- ) )21)-(x h 0 x x x 00右移，右移，x0,x0,左移左移（4 4）计算）计算)-(x h)( f所对应的曲线下的面积所对应的曲线下的面积1)( f1 0)-(x h21x2022-3-481（5 5）选择新的）选择新的x x值，重复（值，重复（4 4）。为了）。为了得到得到卷积，需对卷积，需对- - ,

58、 , + + 的每一个的每一个x x值求值求其卷积值。其卷积值。)( f 0)-(x h21x10(1) x )d()(0 xxhf2x 21(2) x2(3) x1)( f1 0)-(x h21x 1)(121x21x )d()(11 xxhf0)d()( xhf0(4) x0)d()( xhf1)( f1 0)-(x h21x1 x2022-3-482综合上面的结果可得两函数的综合上面的结果可得两函数的卷积卷积)y,x(h)y,x(f)y,x(g 021x 2x010 x0 x21 x2 xx)(y,xg2x21x 0122022-3-483上述上述卷积的图解方法，概括起来有四个步骤：卷积

59、的图解方法，概括起来有四个步骤：折叠、位移、相折叠、位移、相乘和积分。乘和积分。图解方法在系统分析中是很有用的，它使我们能直观理解许图解方法在系统分析中是很有用的，它使我们能直观理解许多抽象的关系。在直接计算多抽象的关系。在直接计算卷积积分时，图解方法也有助于卷积积分时，图解方法也有助于确定积分限。确定积分限。为了加深印象，再看一个例子。为了加深印象，再看一个例子。例：如图，已知两个函数例：如图，已知两个函数f(x)f(x)和和h(x),h(x),求其求求其求卷积卷积 )x(f01 x,其其它它,0 )x(h0 x,ex其其它它,01)( xfx01)( xh1x02022-3-4841)(

60、f 01)( h1 0解：解：（1 1）、将）、将f f (x)(x)和和h h (x)(x)变为变为f f ( ( ) )和和h h ( ( ) )，并画出相应的曲线，并画出相应的曲线（2 2）、将）、将h(h( ) ) h(-h(- ) )只要将只要将h(h( ) )曲线相对纵轴折叠便得到其镜曲线相对纵轴折叠便得到其镜像像h(-h(- ) )曲线。曲线。1)(- h1 01)( f 02022-3-485（3 3）、将曲线）、将曲线h(-h(- ) )沿沿x x轴平移轴平移x x便得到便得到h(x-h(x- ) )，0)()(, xhf0 0时时当当x x因此因此 g(x)=0g(x)=0