一类变系数抛物方程解的存在性研究

1、HUNAN UNIVERSITY毕业设计(论文)设计论文题目：一类变系数抛物方程解的存在性 学生姓名：学生学号：专业班级：学院名称：数学与计量经济学院指导老师：学院院长：蒋月评 2012年 5 月 16 日一类变系数抛物方程解的存在性摘要 本文我们主要研究一类变系数抛物方程在有界区域上初始值问题的弱解的存在性。首先，利用Galerkin逼近法构造有限维空间上的逼近解，然后利用能量估计方法证明了逼近解及上的一致有界性，并由此利用弱收敛性证明变系数二阶抛物方程初边值问题弱解的存在性。全文共分3章。第一章中，简单介绍了变系数抛物方程的研究背景，本文研究的主要问题以及得到的主要结果。第二章中，简单介绍

2、了本文所涉及的基本概念及相关定理。第三章中，证明了该变系数抛物方程的解的存在性。关键词：抛物方程；弱解；Galerkin逼近；能量估计The existence of a class of parabolic equations with variable coefficientsAbstractIn this paper, we focus on the existence of solutions to an initial-boundary problem for a class of parabolic equations with variable coefficients. Fir

3、stly, by using Galerkin approximation,we will obtain the approximationsolution of the problem in the finite dionsion space one.Then the boundess in andwas proved by using energy estimates method.Thus,the existence of wek solution of initial-boundary problem of the second-order parabolic equation wit

4、h variable coefficients was proved . The paper includes 3 chapters.In chapter 1, we simply introduce some works on PDE and the blow-up solution, the main problem and results which we will study and the parabolic equation which will be used in this paper.In chapter 2, we simply present some concepts

5、and related theorems, which will be used in the following sections of the paper.In chapter 3, proving the existence of weak solutions of the parabolic equation with variable coefficents.Key words:Parabolic equations;weak solutions;galerkin approximation; energy estimates.目录第一章 绪论 1.1.研究背景 1.2.本文研究的主

6、要问题 1.3.本文得出的主要结论第二章 预备知识2.1. 基本概念2.2. 基本定理第三章 抛物方程解的存在性 3.1 逼近解的构造 3.2 逼近解的能量估计 3.3 弱解存在性的证明总结致谢参考文献第一章 绪论1.1研究背景在偏微分方程中，抛物方程是一类具有重要物理背景的偏微分方程，具有广泛的应用前景，已被广泛的应用到了当今工业和我们的日常生活之中。抛物型偏微分方程在研究热传导过程、一些扩散现象及电磁场传播等许多问题中都有广泛应用,已受到广泛关注。近年来, 对常系数抛物方程的研究已有许多结果，在工程技术领域中,特别是在地球物理及材料科学等领域,此领域的应用研究受到人们越来越多的关注。二阶抛

7、物方程是偏微分方程的重要研究内容，它研究的问题来源于物理、化学、半导体学及量子力学的许多领域，描述的是这些领域的热传导和物质扩散等问题。目前国内外数学界对抛物方程解的存在性研究很活跃，取得了许多研究成果。1997年，Evans在文献1得到了如下抛物方程 （1.1）其中为常系数二阶椭圆算子，证明了弱解的存在性。但据我所知，上述问题的变系数情形弱解的存在性还没有相关结果。由于热导率、扩散率一般与时间有关，因此，研究变系数的抛物方程非常具有理论和实际意义。1.2.本文研究的主要问题 本文主要研究变系数二阶抛物方程 (1.2) 在边界条件 (1.3)及初始条件 （1.4）下的弱解的存在性。其中且，为一

8、有界开集。为一二阶椭圆偏微分算子。1.3.本文所得到的主要结论 本文通过Galerkin逼近法和能量估计方法,证明了抛物方程（1.2）的初边值问题的如下结论：定理1.1 若,则（1.2）（1.4）存在唯一弱解。第二章 预备知识本章简单介绍所需要的相关概念、定理及主要不等式，为简便起见，所有结论只叙述而不证明。2.1 基本概念（抛物型算子）如果存在常数>0，使得 对于所有的都成立，则称偏微分算子是抛物型的。 （弱解） 是抛物方程（1.2）的初始边界值问题的弱解，若u满足（i）对于任意,，均成立。（ii）。其中 基本空间在中的闭包，为的对偶空间。 2.2 基本原理 定理2.2.1 假设且(1

9、) 则(2) 映射是绝对连续的，且其中(3) 此外，可以得到估计 其中，C是仅依赖于T的常数。第三章 解的存在性本章证明定理1.1，即抛物方程的弱解的存在性。3.1.逼近解的构造假设光滑函数为 的正交基 （3.1）是的标准正交基。 （3.2） 引理1（近似解的构造）对于任意整数存在唯一的形如且满足 （k=1,m）和的函数。证明：，而为的标准正交基 （3.13） 且 （3.14）现在固定一个正整数m。我们将寻找一个函,形如，, （3.10）其中，记 则得线性常微分方程组 （3.15） 根据常微分方程的存在性定理可知，存在唯一确定的连续函数在区间满足（3.15）。在区间由（3.10）所定义的函数满

10、足引理1.引理1成立。3.2 逼近解的能量估计引理2（能量估计）存在常数C且C仅依赖于U、T和系数L，使得对于成立证明：方程相乘，并对k求和，得：， （3.16）由引理2 （3.17）又因为因此，存在常数 使得 （3.18）记， （3.19），（3.20）则由（3.18）可推出.因此，由Gronwall不等式（B.2）的微分形式可以得出 （3.21） (3.22)又由（3.18）可得 （3.23）任取且,记，其中且。由于函数在上正交，则。利用方程，在上可推导出 （3.10）可以推导出由可知因此所以 （3.24）由（3.22）（3.24）可知引理2成立。3.3. 证明存在性。接下来，证明初始边界

11、值问题（1.2）（1.4）的弱解的存在性。根据引理2（能量估计），可知存在序列和及函数，使得 在上，弱收敛于 （3.22）在上，弱收敛于接下来固定一个整数N，选取函数,且有如下形式 （3.23） 其中是给定的光滑函数。选取时，将方程与相乘，对k求和，在关于t积分得 （3.24）令则由（3.22），取弱极限得到 （3.25）有稠密性可知都有且 (3.26)最后，证明u(0)=g。首先我们从（3.25）可知，且，都有 （3.27）类似地，由（3.24）中可以推导出 （3.28）令并且再一次运用（3.22）及得到 （3.29）因为v(0)是任意的，比较（3.27）（3.29），我们可以得出结论。 综

12、上所述，抛物问题（1.2）（1.4）的弱解存在。总结 在本文中系统的研究了二阶抛物问题（1.2）（1.4）解的存在性。我们得到：利用Galerkin逼近法和能量估计法得到本文抛物问题的弱解，证明了问题（1.2）（1.4）解的存在性。但是由于能力有限，本文只证明了变系数二阶抛物方程解的存在性，而没有验证解是否具有唯一性，这是本文的不足之处。致谢 经过半年学习，本次毕业论文的撰写工作已经接近尾声。作为一个本科生，由于缺乏经验，难免有很多考虑不周的地方。如果没有指导老师的督促指导以及同学们的大力支持，我将很难完成这篇论文。 在这里首先感谢我的指导老师杨林，在我进行毕业设计的每个阶段，无论从论文的选题，设计方案的确定，还是中期检查及后期的详细检查等整个过程中杨老师都给予了我悉心的指导，细心地纠正了我每一处的错误，令我受益匪浅。 然后还要感谢大学四年来所有的任课老师，为我们打下扎实的数学专业知识的基础，同时还要感谢所有的同学，正是因为有了你们的鼓励和支持，此次毕业论文的撰写才会顺利完成。 最后衷心感谢湖南大学数学与计量经济学院四年来对我的悉心培养。参考文献1. L . C. Evans, <<Partial Differential Equations>> Spring