不确定度评定中灵敏系数及相关系数分析论文

1、分类号 UDC 单位代码 10642 密 级 公 开 学 号 2002466013 重庆文理学院学士学位论文论文题目：不确定度评定中灵敏系数及相关系数分析论文作者：姚金才指导教师：吴 强 副教授专 业：物理学提交论文日期：2006年 05月 25 日论文答辩日期：2006年 06月 03 日学位授予单位：重庆文理学院 中 国 · 重 庆2006年06月Graduate Thesis of Chongqing University of Arts and SciencesThe Sensitivity Coefficient and Correlation Coefficient An

2、alysis about the Estimate Uncertainty EvaluationCandidate: Yao Jin-caiSupervisor: Wu QiangMajor: PhysicsDepartment of Physics & Information EngineeringChongqing University of Arts and SciencesJune 2006目 录摘 要I关键词IABSTRACTII0.引言11.不确定度评定中灵敏系数的计算11.1灵敏系数的相关概念11.2灵敏系数的计算11.2.1 计算机小扰动分析法2解析微分法22.不确定度

3、评定中相关系数的分析计算42.1 相关输入量的合成42.2 相关系数的性质52.3 相关系数的计算63. 不确定度评定中忽略相关项所带来的风险评估84.案例95.结论10参考文献11致 谢12不确定度评定中灵敏系数及相关系数分析物理学专业2002级 姚金才 指导教师: 吴强摘 要本文对合成不确定度中的灵敏系数以及相关系数进行分析，包括灵敏系数的计算，协方差及相关系数的概念和计算。在合成不确定度评定中,相关性问题经常被人为确定,或被故意忽略。这种现象经常发生,尤其在低端实验室更是如此。这种评定结果将给用户和实验室在测量不确定度的评定中带来一定的风险。文章给出评估这种风险的计算公式。关键词 灵敏系

4、数;相关系数; 协方差; 风险评估AbstractThis text to analysis the sensitivity coefficient and correlation coefficient about the combined standard uncertainty， including the concept and the calculation of the intelligent coefficient, covariance and correlation coefficient. To estimate measurement uncertainty, the c

5、orrelation problems are always not analyzed precisely, or ignored subjectively completely. It is often the case in practive, especially in the lower end of metrological chain. In this case, the customers and the laboratories have to afford the risk that is certainly caused by artificial judgment of

6、the correlation coefficients for calculating measurement uncertainty. The formula for measuring this risk is presented.Key words delicacy coefficient, correlation coefficient, covariance, risk evaluate 0 引言 自1993 年国际标准化委员会( ISO) 等七个与计量测试相关的国际组织发表了“测量不确定度表达导则”之后,各国计量部门结合本国情况,已经或正在对量大面广的不同量值的测量不确定度评估方

7、法进行研究。我国国家质量技术监督局和中国计量科学研究院亦采用上述ISO 导则,编制了相应技术文件。许多文献也对测量不确定度评定做了相应的讨论，本文从合成不确定度灵敏系数以及相关系数及忽略相关系数给实验室和顾客带来的风险进行研究讨论。1 不确定度评定中灵敏系数的计算1.1 灵敏系数的相关概念现行不确定度评定中，对于灵敏系数的概念及相关性质描述的都比较少，但是在不确定度评定中灵敏系数又是一个非常重要的参数，因此有必要对其进行探讨。有些文献中又称灵敏系数为传递系数或传播系数。灵敏系数的概念为：在不确定度的评定中，当全部输入量都彼此独立或不相关时，输出量y的估计值Y的合成标准不确定度以下式计算： （1

8、）式中：输入量的标准不确定度； -灵敏系数。灵敏系数符号为，。它描述输出估计值Y如何随输入估计值，的变化而变化。在工程试验不确定度的评定中。可以将灵敏系数理解为每个测量变量的不确定度对最终试验结果不确定度的影响。这个影响可以是输入量每变化一个单位，输出量变化的单位值，也可以是输入量每变化一个百分数，输出量变化的百分数，也可以是输入量每变化一个单位，输出量变化的百分数等等。采用何种单位的灵敏系数，取决于不确定度分量合成的方便程度和试验结果的函数形式。但注意在进行不确定度分量合成时，相应的输入量标准不确定度和输出量标准不确定度的单位必须和灵敏系数单位一致，这一点非常重要,在文献2中并通过实例分析来

9、说明它的重要性。只有知道了灵敏系数的意义及其重要性，才会在不确定度评定中自觉的分析灵敏系数。1.2 灵敏系数的计算根据（1）式灵敏系数的定义，我们可以直接计算，但在多数情况下,我们不能建立Y 与 的关系式,因此不能用数学方法求得 的标准差传递系数，即灵敏系数。有时可用实验方法来求得,即分别给 一个小的变量 ,其它项保持不变,测量出Y的变量，,则/。撇开这种方法的可靠性问题,在操作上也存在难以解决的问题。如以弹性环式测力计为例,我们无法给出其长期稳定度的小变量,也无法测出因此而产生的力值变化。现实中会遇到很多这样的问题,实际上多数同志在此时把标准差传递系即灵敏系数作为“1”来处理。这样处理带来的

10、偏差可能会超过单个分量的标准不确定度，因为有时候灵敏系数是远大于“1”的。以上对不能确定模型函数时灵敏系数做了粗略估算，但还不严格，它们在不确定度评定中都将带来一定的风险。在工程上灵敏系数的计算已经比较成熟了，以下给出了在工程上计算灵敏系数的几种方法；1.2.1 计算机小扰动分析法对于较为复杂的工程试验，往往编制有较为成熟的试验结果计算程序，分别使用某一变量的两个数值对试验进行两次评估并注意其差别。比如对于一个汽轮机性能试验，要计算主蒸汽温度不确定度对热耗不确定度影响。主蒸汽温度的测量平均值为535.2，热耗的计算结果为8720.78即2.42。采用主蒸汽温度=535.2+0.5=535.7，

11、其它测量参数的值不变，带入计算机程序进行重新计算，热耗的计算结果为8726.27，则主蒸汽温度不确定度对热耗不确定度的影响为(8726.278720.78)0.5=10.98，它表示主蒸汽温度不确定度每变化1热耗不确定度会变化1099。试验计算程序可以是采用编程语言专门进行编制的执行程序，也可以是使用EXCEL进行单元格计算的工作表。在大多数工程试验中，都可以利用EXCEL的强大功能进行计算，而且在EXCEL中，改变参数值是很方便和直观的，减少了出错。在计算机较为普及的今天，如果有试验计算程序，采用这种方法是非常简便和可靠的。对于函数关系较为复杂的工程试验，应优先考虑采用这种方法。1.2.2

12、解析微分法对于不太复杂的函数形式，可以采用解析微分法。灵敏系数的定义为偏导数，符号为，即。对于不太复杂的函数形式，手动求取偏导数不是很复杂，最好是利用EXCEL进行单元格计算，减少出错和提高效率。对于某些特定形式的函数形式，可以用更简单的方法来求取灵敏系数。 线性的函数形式对于相加的线性函数形式，灵敏系数的求取是很方便的 （2）则对输入量求偏导数，灵敏系数 就等于输入量的系数。它表示输入量每变化1个单位，输出量Y变化的单位值。1.2.2.2 相乘的非线性函数形式对于相乘的非线性函数形式，可以采用相对灵敏系数。首先将函数形式改写为对数形式，如：立方体的体积的测量是通过输入长、宽和高计算的，其函数

13、形式为： (3)将式(3)改写为对数形式： (4)逐项微分，注意，并用差分“”代替“d”， (5)设,则式(5)转化为： (6)这样使用新的变量，将函数转换为式(2)形式的线性化函数，新变量的灵敏系数就是新变量的系数1。实际上新变量就是输入变量的相对标准不确定度。此时的灵敏系数就是相对灵敏系数。因此如果函数形式为如下相乘的形式： (7)式中：指数可以是正数、负数或分数。则标准不确定度可表示为： (8)相对灵敏系数就等于输入量的指数，单位为，表示输入量每变化l，输出量变化的百分数。这种函数形式，采用相对不确定度和相对灵敏系数进行合成是非常方便的。所以在进行微分计算灵敏系数的过程中，应该尽可能将复

14、杂的数学模型转换成式(2)和式(7)这种特定的形式。1.2.2.3查表法在工程试验中，很多时候函数形式是图表，例如：在汽轮机试验中，主蒸汽温度功率修正系数的函数形式就是一条曲线，如图1所示。在这条曲线中，可以通过主蒸汽温度测量求取主蒸汽温度对功率的修正系数。根据灵敏系数的定义，实际上就是曲线在主蒸汽温度测量值(也就是平均值)处的斜率，它表示主蒸汽温度不确定度每变化1，功率修正系数不确定度变化值。图1 典型的主蒸汽温度修正曲线（汽轮机进汽为过热蒸汽）在不确定度评定中，不断积累评定经验，根据试验结果的函数形式，求取合适形式的灵敏系数。2 不确定度评定中相关系数的分析计算在国家计量技术规范JJ F1

15、059 - 1999测量不确定度评定与表示中规定, 当输入量 明显相关时,其合成方差 必须考虑相关项,实际上处理相关的问题时, 由于数学上的或物理学的问题难以解决,我们在无奈之下，一般都采取了简化处理:比如相关系数只取-1 、0 、+1三个值, 一般按不相关处理等。如在分析弹性环式测力计的不确定度时,其示值的分散性与其长期稳定性及使用环境温度的影响三者之间的相关性是必然的,只是苦于无法找到其间的联系,不得已“认为”它们是相互独立的。又如,江苏省计量测试技术研究所生产的标准转速、里程计价器检定装置,在分析它的不确定度时,其技术指标中,转速稳定度、记数器脉冲数的准确度、频率准确度与转速分散性等之间

16、由于电源、基准频率的关系,其相关性是显然的,但基于同样的原因,我们只得估计它们是相互独立的。这样处理带来的偏差究竟有多大,难以确定。这就必然会给实验室和用户带来一定的风险。2.1 相关输入量的合成在估计输入量之值 时,输入量之间常因使用同一测量标准、测量仪器、参考数据或测量方法而造成彼此相关,其表现在一对对的观测值中的相互依赖的变化。假设两个输入量 、 的估计值 、 取决于一组不相关的变量 , , 得: = 和 ,设 是 的估计值 的估计方差,则 的估计方差: (9) 的估计方差也可类似表达为 (10)根据四川大学数学学院组编的概率论与数理统计给出的两个变量相关时的协方差为： (11)考虑到测

17、量学里的意义及其函数关系，可以将（11）式写为： (12)2.2 相关系数的性质输入量相关时,测量结果的合成方差的表达式: （13）相关系数是两个变量之间相互依赖性的度量,它等于两个变量间协方差除以各自方差之积的正平方根,相关系数表示为: （14）因此相关系数的灵敏度要受数据的分布范围的影响。且在概率论与数理统计里面给出了相关系数性质: （15）当> 0 ,我们说两量正相关,即一量增大时,另一量取值平均也增大;当< 0 ,两量负相关,即一量增大时,另一量取值平均减小;当= 0 ,两量无关,它们的取值彼此无关。在概率论与数理统计给出了证明，并进行了实例分析。我们也可以把合成方差 表示

18、为: （16）当所有输入估计值都相关, 且相关系数= 1 的特殊情况下,上式可简化为: （17）这时,合成标准不确定度 为每个输入估计值标准不确定度 的线性和。举例分析:当标称值均为1k 的10 个电阻器, 用同一个值为Rs 的标准电阻器较准时, 设校准不确定度可忽略,检定证书给出的Rs 不确定度为u ( Rs) = 0.10,如将此10 只电阻器用可忽略电阻的导线串联,构成标称值为10k 的参考电阻。由于对每个电阻器来说,相关系数:灵敏系数:且所以: 得： 但如果忽略了10 个电阻校准值的相关性因素,按方和根进行计算,得出: ,其结果显然是错误的。象这样人为的降低不确定度，用户是不会满意的。

19、2.3 相关系数的计算高等教育出版社第二版概率论与数理统计以及科学出版社出版的概率论与数理统计都给出相关系数的计算公式： （18）其中为相关系数，为相关量的协方差，分别为X，Y的方差。在测量学里（18）还可以表示为： （19）通过相关性测量的实例, 说明相关系数的计算过程，例如：用分度值为1mm 的钢卷尺测量某商品房间的面积,对房间的长（）和宽（d ） 各测量6 次,其测量列如表1 所示。表1 房间长和宽的测量数据6007.56008.56009.56008.56008.06006.0=6008.04010.54011.54011.54011.04010.04011.5=4011.0商品房间的

20、面积的数字模型：，因为对长和宽采用了同一测量仪器，则它们的估计值会出现相关，根据表1有 和d 算术平均值的标准不确定度为：协方差 =0.3所以相关系数 则考虑相关系数得：当不考虑相关系数时，从以上两式的结果可以看出考虑相关系数与不考虑相关系数存在明显的区别，不考虑相关系数时是人为的降低了不确定度，从而给不确定度评定带来了一定的风险。在准确度要求很高的情况下相关系数不能忽略，否则就会产生较大的误差。在一些准确度要求不是很高的情况下可以忽略相关系数，这就必然会带来一定的风险，以下就对这种风险进行评估分析。3 不确定度评定中忽略相关项所带来的风险评估在不确定度评定中，由于相关系数的难确定及其复杂性，

21、在实际评定不确定度过程中,实验室是难以付出高昂的成本去精确计算相关系数。因此相关性问题经常被人为确定,或被故意忽略，这种现象经常发生,尤其是在低端实验室更是如此。这种评定结果将给用户和实验室在测量不确定度的评定中带来一定的风险。而目前国内在这方面研究还比较欠缺。下面我们就此进行分析：当评估模型为时，y 的标准合成不确定度按（16）有 （20）式中 是 的灵敏系数， 是 的标准不确定度; 是 和 的相关系数。特殊条件下的u ( y)计算公式可从式(20)中导出。如果所有变量都互为完全正相关,则,式(20)变为: （21）如果所有变量都互为完全负相关,则,式(20) 变为 （22）如果所有变量严格

22、的互不相关,则 ,式(20) 变为: （23）当评估模型中有3 个以上的变量时,相关系数的计算变得十分复杂,此时式(20) 难以使用。在实际评定不确定度过程中,实验室是难以付出高昂的成本去精确计算相关系数,或按文献4的建议对测量过程做出非相关性安排,尤其在低端实验室更是难以做到。所以有些实验室习惯用式（21）,而有些实验室则习惯用式(23)。由于相关系数被人为确定,所以无论是选用式(21) 还是式(23) 都将给实验室和用户带来一定的风险。因为当灵敏系数确定之后，随灵敏系数单调递增或递减。事实上，当变量多于3个时，式（22）很少被选用。式（21）有时被一些实验室使用，不管是使用（21）式还是使

23、用（22）式，对实验室和用户都存在一定的风险。设风险参数为，则式(24)可以对这种风险进行定量的评估： （24）（24）式的性质：1的值越小，则用户和实验室承担的风险也越小。2在人为忽略相关性问题条件下, r 是判断式(23)可靠性的重要参数。4 案例案例1 :工具显微镜显示误差测量不确定度评定下列数据可从参考文献6中获取:，置信概率，自由度根据式(21)根据式(22)根据式(23)根据式(24)扩展不确定度：式中为包含因子测量结果报告：，这项测量不确定度评定结果可靠性很差,因为接近75%,大于50%，相关性问题不能忽略,应予考虑。案例2 :中心长度为100 mm 的4 等量块校准测量不确定度

24、评定下列数据可从参考文献6中获取， ，根据式(21)根据式(22)根据式(23)根据式(24)扩展不确定度：测量结果报告：，对用户来说,这份测量不确定度报告比案例1可靠。5 结论由以上分析可知，在精确测量中，相关系数不能忽略。而在一些准确度要求不是很高的测量情况下，由于相关系数的难以计算,在测量不确定度的评定中,忽略相关性是一个普遍的现象,这无疑给不确定度的评定及使用带来一定的风险。为了对这种风险进行评估和控制,在忽略相关性问题进行测量不确定度评估时,应遵循下列原则:在相关性问题被忽略的条件下,式(23)是评定测量不确定度的最佳选择;r 是风险参数,它代表着式(23)的可靠性和有效性。如果r

25、的值太大,或是超过了用户所愿意承担的风险水平,相关性问题则不能忽略,或选用其它公式代替式(23)若选用式(23)评定测量不确定度,测量结果中应包括风险参数r 。在这种情况下,完整的测量不确定度信息描述应给出、 和,这有助于实验室和用户对相关性问题进行粗略的评估和掌握测量不确定度评定结果的可靠性。测量不确定度报告应注明参数包括: 、 、r 。 是测量结果; U 是扩展不确定度; p是置信水平; 是有效自由度。参考文献 1王力. 关于测量不确定度计算的几个疑难问题.计量技术，2000. 92张欧.工程试验不确定度评定中灵敏系数的计算. 四川电力技术. 2005，1 3李庆忠，李宇红。计量不确定度评

26、估要点。计量技术，2003，14Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement S.Geneva : International Organization for Standardization. Corrected and reprinted , 1995.5朱爱民，张建志，贾克军。测量不确定度的实际应用。中国计量，2005，46上海市计量测试技术研究院，常用测量仪器测量不确定度评定案例M.北京:中国计量出版社, 2001. 34 36，62657Grade M. Estimation of measurement uncertainty-an alternative to the ISO GuideJ. Metrologia,2001,38(2):971068张相山，姜 波。合成标准不确定度评定中应注意的问题及讨论。计量与测试技术，2005 年第32