一级倒立摆MATLAB仿真能控能观性分析数学模型极点配置

1、题目一：考虑如图所示的倒立摆系统。图中，倒立摆安装在一个小车上。这里仅考虑倒立摆在图面内运动的二维问题。倒立摆系统的参数包括：摆杆的质量（摆杆的质量在摆杆中心）、摆杆的长度、小车的质量、摆杆惯量等。图 倒立摆系统设计一个控制系统，使得当给定任意初始条件(由干扰引起)时，最大超调量d %10%，调节时间ts 4s ，使摆返回至垂直位置，并使小车返回至参考位置(x=0)。要求：1、建立倒立摆系统的数学模型2、分析系统的性能指标能控性、能观性、稳定性3、设计状态反馈阵，使闭环极点能够达到期望的极点，这里所说的期望的极点确定是把系统设计成具有两个主导极点，两个非主导极点，这样就可以用二阶系统的分析方法

2、进行参数的确定4、用MATLAB 进行程序设计，得到设计后系统的脉冲响应、阶跃响应，绘出相应状态变量的时间响应图。解：1 建立一级倒立摆系统的数学模型1.1 系统的物理模型如图1所示，在惯性参考系下，设小车的质量为M ，摆杆的质量为m ，摆杆长度为l，在某一瞬间时刻摆角(即摆杆与竖直线的夹角)为，作用在小车上的水平控制力为u。这样，整个倒立摆系统就受到重力,水平控制力和摩擦力的3外力的共同作用。图1 一级倒立摆物理模型1.2 建立系统状态空间表达式为简单起见，本文首先假设:(1)摆杆为刚体 ；(2)忽略摆杆与支点之间的摩擦；( 3) 忽略小车与导轨之间的摩擦。在如图一所示的坐标下，小车的水平位

3、置是y,摆杆的偏离位置的角度是，摆球的水平位置为y+lsin。这样，作为整个倒立摆系统来说，在说平方方向上，根据牛顿第二定律，得到 （1）对于摆球来说，在垂直于摆杆方向，由牛顿第二运动定律，得到 （2）方程(1)，(2)是非线性方程，由于控制的目的是保持倒立摆直立，在施加合适的外力条件下，假定很小，接近于零是合理的。则sin，cos1。在以上假设条件下，对方程线性化处理后，得倒 （3） （4）对于（3）（4）两个式子联立求解，得到 （5） （6）如果选择位移y、速度、角度和角速度为系统的状态变量，位移y为系统的输出，控制力u为输入量，并令x1=y,则得到系统的状态表达式为： （7-a） （7-

4、b）2 分析系统的性能指标能控性、能观测性、稳定性设系统的参数为M=1kg,m=0.1kg,l=1m,重力加速度g=9.81m/s2,于是 故 （8-a） （8-b）故而有： A=0 1 0 0;0 0 -1 0;0 0 0 1;0 0 11 0; B=0;1;0;-1; C=1 0 0 0;2.1 能控性在MATLAB中，输入 A=0 1 0 0;0 0 -1 0;0 0 0 1;0 0 11 0; B=0;1;0;-1; C=1 0 0 0;Qc=B A*B A*A*B A*A*A*B得到Qc = 0 1 0 1 1 0 1 0 0 -1 0 -11 -1 0 -11 0再输入 rank(

5、Qc)，得到ans = 4于是系统是能控的。2.2 能观测性在MATLAB中，输入 A=0 1 0 0;0 0 -1 0;0 0 0 1;0 0 11 0; B=0;1;0;-1; C=1 0 0 0;Q0=C;C*A;C*A*A;C*A*A*A;得到Q0 = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 -1再输入rank(Q0)ans = 4于是系统是能观测的。2.3 稳定性计算detI-A=0；求得的结果是1=0；2=0；3=；4=-。因为结果不全是负实部，故而该系统不稳定。3 状态反馈系统的极点配置以及求状态反馈阵3.1 状态反馈阵极点配置因为我们知道，该系统的能控性矩

6、阵满秩，所以该系统是能控的。可以通过状态反馈来任意配置极点。希望的极点为s1=-6，s2=-6.5,s3=-7,s4=-7.5。3.2 求状态反馈阵在MATLAB中输入命定A=0 1 0 0;0 0 -1 0;0 0 0 1;0 0 11 0;B=0;1;0;-1;P=-6 -6.5 -7 -7.5;K=place(A,B,P)得到计算结果为:K=-204.7500 -122.1750 -488.5000 -149.17504 MATLAB程序设计利用MATLAB/Simulink构造单级倒立摆状态反馈控制系统的仿真模型，如图所示运行仿真程序，得到的仿真曲线如下图所示从上图可以看出，可以将倒立

7、摆的杆子控制在与竖直方向偏角=0°的位置。题目二：根据自身的课题情况，任意选择一个被控对象，按照上题所示步骤进行分析和设计，并给出仿真程序及其执行结果。解：塑料球漂浮分析 y球风向仿真目标：小球在空中受重力mg，在竖直向上的风中保持漂浮在空中的稳定状态。1 建模分析小球在风向（如图所示）下保持稳定的状态。小球质量为m，风速为，简化风对球的阻力正比于相对速度，比例系数为f，球下落正向坐标为y，输入u为与风速相关的控制力。数学模型：由数学模型可知可设：，,2 控制分析2.1 能控性分析：rank（）=2，系统能控2.2 能观性分析：rank（）=2，系统能观2.3 稳定性分析：,不全为复实数，故系统不稳定3 求状态反馈阵K